1.4 Anneaux et corps

1.4.1 Généralités sur les anneaux

Définition 1.4.1 Un anneau est un triplet (A,+,.) tel que (A,+) est un groupe abélien et dans lequel la loi de multiplication est associative, possède un élément neutre {1}_{A} et est distributive par rapport à l’addition.

Remarque 1.4.1 Nous admettrons dans la suite que l’on puisse avoir {1}_{A} = {0}_{A}, auquel cas on obtient immédiatement que A = \{{0}_{A}\}.

Définition 1.4.2 On dit qu’un élément x d’un anneau A (non réduit à \{0\}) est inversible s’il possède un inverse (nécessairement unique) pour la multiplication. L’ensemble {A}^{×} des éléments inversibles d’un anneau A forme un groupe multiplicatif.

Définition 1.4.3 On dit qu’un anneau A est intègre s’il est commutatif et si xy = 0 ⇒ x = 0\text{ ou }y = 0.

Définition 1.4.4 On dit qu’une partie B de A en est un sous-anneau si elle est stable pour les deux lois et si pour les lois induites, B est un anneau de même élément unité que A.

Proposition 1.4.1 Une partie B de A en est un sous-anneau si et seulement si elle vérifie

Démonstration Elémentaire.

1.4.2 Idéaux et quotients

Définition 1.4.5 On dit qu’une partie I de A est un idéal à gauche (resp. à droite) de A si c’est un sous-groupe additif de A et si \mathop{∀}a ∈ A,\mathop{∀}x ∈ I, ax ∈ I (resp. xa ∈ I).

Définition 1.4.6 Un idéal bilatère est une partie qui est à la fois un idéal à gauche et à droite (exemples triviaux \{0\} et A).

Proposition 1.4.2 Une partie I de A en est un idéal à gauche si et seulement si elle vérifie

Proposition 1.4.3 Soit I un idéal à gauche de l’anneau A. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes

  • (i) I = A
  • (ii) {1}_{A} ∈ I
  • (iii) I ∩ {A}^{×}\mathrel{≠}∅

Démonstration On a clairement (i)(iii). De plus (iii)(ii) puisque si x ∈ I ∩ {A}^{×}, alors {x}^{−1} ∈ A,x ∈ I ⇒ {1}_{A} = {x}^{−1}x ∈ I. Enfin (ii)(i) puisque, si (ii) est vérifié, a ∈ A,{1}_{A} ∈ I ⇒ a = a{1}_{A} ∈ I, soit A ⊂ I et A = I.

Remarque 1.4.2 Soit I un idéal à gauche de l’anneau A. Puisque c’est un sous-groupe additif, on peut parler de l’ensemble quotient A∕I qui est un groupe additif. Mais si l’on veut munir A∕I d’une structure d’anneau raisonnable, il faut supposer que I est un idéal bilatère.

Théorème 1.4.4 Soit I un idéal bilatère. On munit l’ensemble quotient A∕I d’une structure d’anneau en posant

π(a) + π(b) = π(a + b),\quad π(a)π(b) = π(ab)

autrement dit (a + I) + (b + I) = (a + b) + I et (a + I)(b + I) = ab + I.

Démonstration Le seul point qui ne résulte pas d’un calcul évident est qu’on obtient bien une application en posant (a + I)(b + I) = ab + I, c’est-à-dire que si a + I = a' + I et b + I = b' + I, alors ab + I = a'b' + I. Mais dans ce cas, on a a' = a + i,b' = b + j (i,j ∈ I), et donc a'b' = ab + ib + aj + ij. Puisque I est un idéal bilatère, on a ib + aj + ij ∈ I et donc ib + aj + ij + I = I (un sous-groupe est stable par translation par ses éléments), soit a'b' + I = ab + (ib + aj + ij + I) = ab + I.

1.4.3 Morphisme d’anneaux

Définition 1.4.7 On dit que f : A → B est un morphisme d’anneaux si on a

  • (i)f({1}_{A}) = {1}_{B}
  • (ii) \mathop{∀}x,y ∈ A, f(x + y) = f(x) + f(y)
  • (iii) \mathop{∀}x,y ∈ A, f(xy) = f(x)f(y)

Remarque 1.4.3 On a alors f(0) = 0, f(−x) = −f(x) (comme pour tout morphisme de groupes) et de plus, si x est inversible, f(x) l’est également et f({x}^{−1}) = f{(x)}^{−1}.

Théorème 1.4.5 (factorisation canonique). Soit f : A → B un morphisme d’anneaux. Alors \mathop{\mathrm{Ker}}f = \{x ∈ A\mathrel{∣}f(x) = 0\} est un idéal bilatère de A et \mathop{\mathrm{Im}}f = f(A) est un sous-anneau de B. Il existe une unique application \overline{f} : A∕\mathop{\mathrm{Ker}}f →\mathop{\mathrm{Im}}f vérifiant \mathop{∀}x ∈ A, \overline{f}(x +\mathop{ \mathrm{Ker}}f) = f(x). L’application \overline{f} est un isomorphisme d’anneaux.

Démonstration L’existence, l’unicité et la bijectivité de \overline{f} résultent du théorème analogue sur les groupes. Le fait que ce soit un morphisme d’anneaux résulte d’un calcul élémentaire.

1.4.4 Corps

Définition 1.4.8 Un corps est un anneau non réduit à \{0\} où tout élément non nul est inversible.

Proposition 1.4.6 Soit K un corps. Alors les seuls idéaux de K sont \{0\} et K. En particulier tout morphisme d’un corps dans un anneau non réduit à \{0\} est injectif.

Démonstration En effet un idéal non nul doit contenir un élément non nul, donc un élément inversible, et donc doit être égal au corps tout entier. Le noyau d’un morphisme d’un corps dans un anneau étant un idéal du corps, ce doit être soit \{0\} (auquel cas le morphisme est injectif), soit le corps tout entier. Mais ceci est exclu puisqu’on doit avoir f({1}_{K}) = {1}_{A}.

Remarque 1.4.4 Tout corps commutatif est un anneau intègre. Inversement, tout anneau intègre fini est un corps : en effet si a ∈ A, l’application x\mathrel{↦}ax doit être injective à cause de l’intégrité de A, donc bijective puisque A est fini ; il doit donc exister {b}_{1} tel que a{b}_{1} = {1}_{A} ; de même il doit exister {b}_{2} tel que {b}_{2}a = {1}_{A} et alors {b}_{2} = {b}_{2}{1}_{A} = {b}_{2}a{b}_{1} = {1}_{A}{b}_{1} = {b}_{1} ce qui montre que {b}_{1} = {b}_{2} est inverse de a.

1.4.5 Idéaux maximaux

Définition 1.4.9 Soit A un anneau commutatif. On dit qu’un idéal I de A, distinct de A, est maximal si les seuls idéaux contenant I sont I et A.

Proposition 1.4.7 Soit A un anneau commutatif et I un idéal de A. Alors A est maximal si et seulement si A∕I est un corps.

Démonstration Supposons tout d’abord que A∕I est un corps. On a donc A∕I\mathrel{≠}\{0\} et donc I\mathrel{≠}A. Soit π : A → A∕I la projection canonique de A sur A∕I définie par π(x) = x + I. Soit J un idéal de A contenant strictement I et soit a ∈ J ∖ I. Alors π(a) ∈ A∕I ∖\{0\} et donc a + I est un élément inversible de A∕I. Il existe donc b ∈ A tel que (a + I)(b + I) = {1}_{A} + I ce qui se traduit encore par ab = {1}_{A} + i avec i ∈ I. Mais alors i ∈ I ⊂ J et ab ∈ J (puisque a ∈ J), et donc {1}_{A} = ab − i ∈ J. L’idéal J qui contient l’élément unité est donc nécessairement égal à A, et donc I est un idéal maximal de A.

Inversement, supposons que I est un idéal maximal de A et soit a + I un élément non nul de A∕I, si bien que a + I\mathrel{≠}{0}_{A} + I, soit a\mathrel{∉}I ; alors J = I + aA est un idéal de A qui contient strictement I, c’est donc A. On a alors {1}_{A} ∈ A = I + aA et donc il existe b ∈ A et i ∈ I tel que {1}_{A} = i + ab. Mais alors (a + I)(b + I) = ab + I = {1}_{A} + I ce qui montre que a + I est un élément inversible de A∕I, qui est donc un corps.

Théorème 1.4.8 Soit A un anneau commutatif. Alors tout idéal de A distinct de A est contenu dans un idéal maximal (non unique).

Démonstration Soit I un idéal distinct de A et soit X l’ensemble des idéaux distincts de A et qui contiennent I, ordonné par l’inclusion. Nous allons utiliser le théorème de Zorn pour montrer que X admet un élément maximal (qui sera bien évidemment un idéal maximal de A contenant I). Il nous suffit de montrer que toute partie Y totalement ordonnée de X admet un majorant ; pour cela considérons {J}_{Y} ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{J∈Y}J et montrons que {J}_{Y} est dans X (auquel cas il sera bien un majorant tel qu’on le cherche).

Tout d’abord, {J}_{Y} est bien un idéal de A :

  • si {a}_{1},{a}_{2} ∈ {J}_{Y}, il existe {J}_{1},{J}_{2} ∈Y tels que {a}_{1} ∈ {J}_{1},{a}_{2} ∈ {J}_{2} ; mais comme Y est une partie totalement ordonnée, on a soit {J}_{1} ⊂ {J}_{2}, soit {J}_{2} ⊂ {J}_{1} ; supposons par exemple que {J}_{1} ⊂ {J}_{2}, alors {a}_{1} et {a}_{2} sont dans {J}_{2} et donc {a}_{1} − {a}_{2} ∈ {J}_{2} ⊂ {J}_{Y} ; donc {J}_{Y} est un sous-groupe additif de A
  • si a ∈ {J}_{Y} et b ∈ A, il existe J ∈Y tel que a ∈ J et alors ab ∈ J ⊂ {J}_{Y}, ce qui montre que {J}_{Y} est bien un idéal de A.

Cet idéal contient bien évidemment I. Supposons qu’il est égal à A, on aurait alors {1}_{A} ∈ {J}_{Y} et donc il existerait J ∈Y tel que {1}_{A} ∈ J, soit J = A ; mais ceci contredit la définition de X. On a donc bien {J}_{Y}∈X.

1.4.6 Idéaux et anneaux principaux

Remarque 1.4.5 Soit A un anneau commutatif. On vérifie facilement que si a ∈ A, l’idéal engendré par a est aA = \{ax\mathrel{∣}x ∈ A\} c’est-à-dire encore l’ensemble des multiples de a.

Proposition 1.4.9 Soit A un anneau intègre. Alors aA = bA \mathrel{⇔} \mathop{∃}x ∈ {A}^{×},b = ax.

Démonstration Supposons que aA = bA ; on a b ∈ bA et donc il existe x ∈ A tel que b = ax et de même il existe y ∈ A tel que a = by ; on a donc a = axy. Si a\mathrel{≠}0, alors on a {1}_{A} = xy et donc x est un élément inversible qui vérifie b = ax ; si par contre a = 0, on a aussi b = 0 et alors b = a{1}_{A} avec {1}_{A} inversible.

Inversement, si b = ax avec x inversible, on a xA = A (car x inversible) et donc bA = axA = aA.

Remarque 1.4.6 Autrement dit, l’élément qui engendre l’idéal est unique à la multiplication près par un élément inversible de l’anneau.

Définition 1.4.10 On dit que a et b sont associés, et on note a ∼ b, s’il existe x ∈ {A}^{×} tel que b = ax (c’est-à-dire lorsqu’ils engendrent le même idéal). C’est bien évidemment une relation d’équivalence.

Définition 1.4.11 Un idéal I de A est dit principal s’il est engendré par un élément. L’anneau A est dit principal s’il est intègre et si tout idéal de A est principal.

Théorème 1.4.10 (propriété de Noether). Soit A un anneau principal, et soit {({I}_{n})}_{n∈ℕ} une suite croissante d’idéaux. Alors cette suite est stationnaire, c’est à dire qu’il existe N ∈ ℕ tel que \mathop{∀}n ≥ N, {I}_{n} = {I}_{N}.

Démonstration Considérons en effet I ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{n∈ℕ}{I}_{n}. Montrons que c’est un idéal de A.

  • il est évidemment non vide
  • si {a}_{1},{a}_{2} ∈ I, il existe {n}_{1},{n}_{2} ∈ ℕ tels que {a}_{1} ∈ {I}_{{n}_{1}},{a}_{2} ∈ {I}_{{n}_{2}} ; mais alors, si n =\mathop{ max}({n}_{1},{n}_{2}), on a {a}_{1},{a}_{2} ∈ {I}_{n}, soit {a}_{1} − {a}_{2} ∈ {I}_{n} ⊂ I ; donc I est un sous groupe additif de A
  • si a ∈ I et b ∈ A, il existe n ∈ ℕ tel que a ∈ {I}_{n}, alors ab ∈ {I}_{n} ⊂ I ; donc I est bien un idéal de A

Puisque A est principal, il existe a ∈ I tel que I = aA ; mais alors, il existe N ∈ ℕ tel que a ∈ {I}_{N} et donc I = aA ⊂ {I}_{N}. Alors, pour tout n ≥ N, on a {I}_{N} ⊂ {I}_{n} ⊂ I ⊂ {I}_{N}, et donc {I}_{n} = {I}_{N}.

On dit que a divise b et on note a\mathrel{∣}b s’il existe x ∈ A tel que b = ax (soit bA ⊂ aA)

Définition 1.4.12 Soit A un anneau intègre, a et b deux éléments de A. Soit d ∈ A. On dit que d est un PGCD de a et b si on a

\mathop{∀}x ∈ A,\quad x\mathrel{∣}a\text{ et }x\mathrel{∣}b \mathrel{⇔} x\mathrel{∣}d

Soit m ∈ A. On dit que m est un PPCM de a et b si

\mathop{∀}x ∈ A,\quad a\mathrel{∣}x\text{ et }b\mathrel{∣}x \mathrel{⇔} m\mathrel{∣}x

Remarque 1.4.7 On vérifie immédiatement qu’un PGCD est défini à la multiplication par un élément inversible près ; il en est de même d’un PPCM.

Théorème 1.4.11 Soit A un anneau principal, a et b deux éléments de A. Soit d ∈ A vérifiant aA + bA = dA. Alors d est un PGCD de a et b. Il est caractérisé par la propriété de Bézout : d\mathrel{∣}a,d\mathrel{∣}b et \mathop{∃}u,v ∈ A, d = ua + vb.

Démonstration En effet d\mathrel{∣}a \mathrel{⇔} aA ⊂ dA, d\mathrel{∣}b \mathrel{⇔} bA ⊂ dA et donc d\mathrel{∣}a et d\mathrel{∣}b est équivalent à aA + bA ⊂ dA. De même \mathop{∃}u,v ∈ A, d = ua + vb \mathrel{⇔} dA ⊂ aA + bA. D’où la caractérisation par Bézout. Le fait que d est un PGCD en découle immédiatement.

De même

Théorème 1.4.12 Soit A un anneau principal, a et b deux éléments de A. Soit m ∈ A vérifiant aA ∩ bA = mA. Alors m est un PPCM de a et b.

Définition 1.4.13 Soit A un anneau, a et b deux éléments de A. On dit que a et b sont premiers entre eux si 1 est un PGCD de a et b (autrement dit si les seuls diviseurs communs à a et b sont les éléments inversibles de l’anneau).

Théorème 1.4.13 (Bézout). Soit A un anneau principal, a et b dans A. On a équivalence de (i) a et b sont premiers entre eux (ii) aA + bA = A (iii) \mathop{∃}u,v ∈ A, ua + vb = 1.

Théorème 1.4.14 (Gauss). Soit A un anneau principal, a,b et c dans A. On suppose que (i) a\mathrel{∣}bc (ii) a et b sont premiers entre eux. Alors a divise c.

Démonstration On écrit ua + vb = 1 d’où c = uac + vbc les deux termes de la somme étant divisibles par a.

Corollaire 1.4.15 Soit A un anneau principal, {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n} des éléments deux à deux premiers entre eux. Soit b ∈ A. On suppose que \mathop{∀}i, {a}_{i}\mathrel{∣}b. Alors {a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n}\mathrel{∣}b.

Démonstration Récurrence facile. On suppose que {a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{k}\mathrel{∣}b, on écrit b = {a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{k}c et le théorème de Gauss nécessite que {a}_{k+1}\mathrel{∣}c, soit {a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{k}{a}_{k+1}\mathrel{∣}b.

Définition 1.4.14 Soit A un anneau. On dit qu’un élément non nul a de A est irréductible s’il est non inversible et vérifie les trois propriétés équivalentes suivantes (i) x\mathrel{∣}a ⇒ x ∼ a ou x ∈ {A}^{×} (ii) a = bc ⇒ a ∼ b ou a ∼ c (iii) a = bc ⇒ b ∈ {A}^{×} ou c ∈ {A}^{×}.

Théorème 1.4.16 Soit A un anneau principal et a ∈ A ∖\{0\} non inversible. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes (i) a est irréductible dans A (ii) a\mathrel{∣}bc ⇒ a\mathrel{∣}b ou a\mathrel{∣}c (iii) A∕aA est un anneau intègre (iv) A∕aA est un corps.

Démonstration On a clairement (ii) \mathrel{⇔} (iii), (ii)(i) et (iv)(iii). Si a est irréductible, il est premier avec tout élément qu’il ne divise pas ; soit X un élément non nul de A∕aA, X = π(x) ; puisque X\mathrel{≠}0, a ne divise pas x, donc est premier avec x ; d’après Bézout, il existe u,v tels que ua + vx = 1 et on a alors π(u)π(x) = 1, donc X = π(x) est inversible dans A∕aA qui est donc un corps, ce qui montre que (i)(iv) et achève la démonstration.

Définition 1.4.15 On notera P un système de représentants des éléments irréductibles de A à la multiplication par un élément inversible près.

On a alors le théorème suivant

Théorème 1.4.17 (décomposition en éléments irréductibles). Soit A un anneau principal et a ∈ A, a\mathrel{≠}0. Alors a s’écrit de manière unique sous la forme a = u{p}_{1}^{{n}_{1}}\mathop{\mathop{…}}{p}_{k}^{{n}_{k}} avec u inversible, k ≥ 0, {p}_{1},\mathop{\mathop{…}},{p}_{k} ∈P, {n}_{1},\mathop{\mathop{…}},{n}_{k} > 0.

Démonstration L’existence découle immédiatement d’une double application du lemme de Noether : d’une part a doit être divisible par un élément irréductible sinon on pourrait trouver une chaîne infinie de diviseurs de a et donc une chaîne infinie strictement croissante d’idéaux ; enfin le processus de division par des éléments irréductibles doit s’arrêter au bout d’un nombre fini d’opérations pour la même raison ; quand il s’achève, c’est que l’on est tombé sur un élément inversible et donc sur une décomposition adéquate.

L’unicité provient bien évidemment du théorème de Gauss et d’une petite récurrence sur {m}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {m}_{k} : si on a

u{p}_{1}^{{m}_{1} }\mathop{\mathop{…}}{p}_{k}^{{m}_{k} } = v{q}_{1}^{{n}_{1} }\mathop{\mathop{…}}{q}_{l}^{{n}_{l} }

alors {q}_{l} doit diviser le terme de droite, donc l’un des {p}_{i} (puisqu’ils sont irréductibles), donc être égal à ce {p}_{i} que l’on peut supposer être {p}_{k}. Mais alors en simplifiant par {p}_{k} (car A est intègre) on obtient

u{p}_{1}^{{m}_{1} }\mathop{\mathop{…}}{p}_{k}^{{m}_{k}−1} = v{q}_{ 1}^{{n}_{1} }\mathop{\mathop{…}}{q}_{l}^{{n}_{l}−1}

et d’après l’hypothèse de récurrence u = v, les {p}_{i} sont les mêmes que les {q}_{i} et les exposants sont les mêmes. Le démarrage de la récurrence avec {m}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {m}_{k} = 0 est laissé au lecteur.

Définition 1.4.16 Pour p ∈P on notera {v}_{p}(a) la puissance de p qui intervient dans la décomposition en facteurs irréductibles de a.

Remarque 1.4.8 On a alors a\mathrel{∣}b \mathrel{⇔} \mathop{∀}p ∈P, {v}_{p}(a) ≤ {v}_{p}(b) d’où

Proposition 1.4.18 Soit a,b ∈ A. Alors un PGCD de a et b est {\mathop{\mathop{∏ }} }_{p∈P}{p}^{\mathop{min}({v}_{p}(a),{v}_{p}(b))} et un PPCM est {\mathop{\mathop{∏ }} }_{p∈P}{p}^{\mathop{max}({v}_{p}(a),{v}_{p}(b))}.

1.4.7 Anneaux euclidiens

Définition 1.4.17 Soit A un anneau. On appelle stathme euclidien sur A toute application v:A ∖\{0\} → ℕ vérifiant a\mathrel{∣}b ⇒ v(a) ≤ v(b). On dit que A intègre est un anneau euclidien s’il existe sur A un stathme euclidien v sur A vérifiant

\mathop{∀}(a,b) ∈ {A}^{2},b\mathrel{≠}0, \mathop{∃}q,r ∈ A,\quad a = bq + r

avec r = 0 ou v(r) < v(b) (division euclidienne)

Théorème 1.4.19 Tout anneau euclidien est principal.

Démonstration Soit I un idéal non réduit à \{0\} et b un élément de I tel que v(b) soit minimal. Si a ∈ I, \mathop{∃}q,r ∈ A,\quad a = bq + r avec r = 0 ou v(r) < v(b) ; la dernière possibilité est exclue car r = a − bq ∈ I. Donc I ⊂ bA, l’inclusion réciproque étant évidente.

Remarque 1.4.9 Algorithme d’Euclide. Dans un anneau euclidien on dispose d’un algorithme pour déterminer un PGCD de a et b en construisant des suites {q}_{n} et {r}_{n} de la manière suivante : {r}_{0} = a, {r}_{1} = b et pour n ≥ 1, {r}_{n−1} = {q}_{n}{r}_{n} + {r}_{n+1} avec {r}_{n+1} = 0 (auquel cas on stoppe l’algorithme) ou v({r}_{n+1}) < v({r}_{n}). La construction s’arrête au bout d’un nombre fini d’opérations par décroissance stricte de la suite d’entiers naturels v({r}_{n}) ; comme l’ensemble des diviseurs communs à {r}_{n} et {r}_{n+1} reste constant (invariant de boucle), le dernier reste non nul est un PGCD de a et b.

Remarque 1.4.10 On verra en particulier que est un anneau euclidien pour v(a) = |a| et que K[X] est un anneau euclidien pour v(P) =\mathop{ deg} P.

1.4.8 L’anneau . Caractéristique d’un anneau

Théorème 1.4.20 Soit a ∈ ℤ et b ∈ ℕ,b≠0. Alors il existe un unique couple (q,r) ∈ ℤ × ℕ tel que a = bq + r et 0 ≤ r < b.

Démonstration Il suffit de considérer q =\mathop{ max}\{x\mathrel{∣}a − bx ≥ 0\} en remarquant que cet ensemble est majoré par a.

Corollaire 1.4.21 L’anneau est un anneau euclidien, donc principal.

Remarque 1.4.11 On choisit pour représentants des éléments irréductibles les nombres premiers.

Soit alors A un anneau d’élément unité {1}_{A} et considérons l’application f : ℤ → A définie par f(n) = n{1}_{A} = \left \{ \cases{ {1}_{A} + \mathop{\mathop{…}} + {1}_{A} (n\text{ fois})&si n ≥ 0 \cr −{1}_{A} −\mathop{\mathop{…}} − {1}_{A} (−n\text{ fois})&si n < 0 } \right .. On vérifie immédiatement que f est un morphisme d’anneaux dont le noyau est un idéal de , donc de la forme mℤ pour un unique m ∈ ℕ.

Définition 1.4.18 L’entier m est appelée la caractéristique de A. L’image de f est un sous-anneau de A isomorphe à ℤ∕mℤ.

Proposition 1.4.22 Soit A un anneau intègre. Alors sa caractéristique est soit 0 soit un nombre premier. S’il est de caractéristique 0, il contient un sous-anneau isomorphe à . S’il est de caractéristique p premier, il contient un sous-corps isomorphe à ℤ∕pℤ.

1.4.9 Théorème chinois, indicateur d’Euler

Théorème 1.4.23 Soit A un anneau principal, {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n} des éléments de A deux à deux premiers entre eux. Alors, pour tous {x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n} ∈ A, il existe un élément x ∈ A, unique à un multiple près de a = {a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n}, tel que

x ≡ {x}_{1} (mod\,\,{a}_{1}),\quad \mathop{\mathop{…}}\quad , x ≡ {x}_{n} (mod\,\,{a}_{n})

(en notant x ≡ y (mod\,\,a) pour a\mathrel{∣}x − y)

Démonstration En ce qui concerne l’unicité, remarquons que si x et y conviennent, alors x − y doit être divisible à la fois par {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n} et donc par leur produit puisqu’ils sont deux à deux premiers entre eux.

Montrons maintenant l’existence par récurrence sur n. Pour n = 1, il n’y a rien à démontrer. Lorsque n = 2, prenons {u}_{1} et {u}_{2} tels que {u}_{1}{a}_{1} + {u}_{2}{a}_{2} = 1 et posons x = {x}_{2}{u}_{1}{a}_{1} + {x}_{1}{u}_{2}{a}_{2}. On a alors

x ≡ {x}_{2}{u}_{1}{a}_{1} ≡ {x}_{2}({u}_{1}{a}_{1} + {u}_{2}{a}_{2}) ≡ {x}_{2} (mod\,\,{a}_{2})

et de même x ≡ {x}_{1} (mod\,\,{a}_{1}). Donc x convient.

Supposons maintenant le résultat démontré pour n − 1 et choisissons y tel que

y ≡ {x}_{1} (mod\,\,{a}_{1}),\quad \mathop{\mathop{…}}\quad , y ≡ {x}_{n−1} (mod\,\,{a}_{n−1})

Comme {a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n−1} et {a}_{n} sont premiers entre eux, on peut trouver u et v tels que u{a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n−1} + v{a}_{n} = 1. Posons x = {x}_{n}u{a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n−1} + yv{a}_{n}, on a alors pour i ≤ n − 1

x ≡ yv{a}_{n} ≡ y(v{a}_{n} + u{a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n−1}) = y (mod\,\,{a}_{i})

et

x ≡ {x}_{n}u{a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n−1} ≡ {x}_{n}(u{a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n−1} + v{a}_{n}) = {x}_{n} (mod\,\,{a}_{n})

ce qui montre que x convient.

Corollaire 1.4.24 Soit A un anneau principal, {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n} des éléments de A deux à deux premiers entre eux. Alors l’anneau A∕({a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n})A est isomorphe à l’anneau produit A∕{a}_{1}A ×\mathrel{⋯} × A∕{a}_{n}A.

Démonstration En effet le théorème ci dessus ne fait que traduire la bijectivité de l’application de A∕({a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n})A dans A∕{a}_{1}A ×\mathrel{⋯} × A∕{a}_{n}A définie par

x + {a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n}A\mathrel{↦}(x + {a}_{1}A,\mathop{\mathop{…}},x + {a}_{n}A)

Or on vérifie immédiatement que cette application est un morphisme d’anneaux.

Définition 1.4.19 A tout nombre entier naturel n ≥ 2, on associe son indicateur d’Euler φ(n) défini par

\begin{eqnarray*} φ(n)& =& \mathop{\mathrm{Card}}\{x ∈ [1,n − 1]\mathrel{∣}x ∧ n = 1\} %& \\ & =& \mathop{Card}\{\overline{x} ∈ ℤ∕nℤ\mathrel{∣}\overline{x}\text{ engendre }(ℤ∕nℤ,+)\}%& \\ & =& \mathop{Card}{\left (ℤ∕nℤ\right )}^{×} %& \\ \end{eqnarray*}

Un isomorphisme d’anneaux réalisant évidemment une bijection entre les éléments inversibles des deux anneaux et les éléments inversibles de ℤ∕{a}_{1}ℤ ×\mathrel{⋯} × ℤ∕{a}_{n}ℤ étant exactement les n-uples ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) dont toutes les composantes {x}_{i} sont inversibles, on en déduit que

Théorème 1.4.25 Soit {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n} des éléments de deux à deux premiers entre eux. Alors φ({a}_{1}\mathop{\mathop{…}}{a}_{n}) = φ({a}_{1})\mathop{\mathop{…}}φ({a}_{n}).

Remarque 1.4.12 Ceci va nous permettre de calculer φ(n) à l’aide d’une décomposition en nombres premiers de n, soit n = {p}_{1}^{{α}_{1}}\mathop{\mathop{…}}{p}_{k}^{{α}_{k}}. En effet, si n est de la forme n = {p}^{k}p est premier, les éléments inférieurs à n non premiers avec n sont exactement p,2p,3p,\mathop{\mathop{…}},{p}^{k−1}p, et donc φ({p}^{k}) = {p}^{k} − {p}^{k−1} = {p}^{k−1}(p − 1). D’après le résultat précédent on a donc, si n = {p}_{1}^{{α}_{1}}\mathop{\mathop{…}}{p}_{k}^{{α}_{k}},

φ(n) = {p}_{1}^{{α}_{1}−1}\mathop{\mathop{…}}{p}_{ k}^{{α}_{k}−1}({p}_{ 1} − 1)\mathop{\mathop{…}}({p}_{k} − 1)