7.5 Séries semi-convergentes

7.5.1 Séries alternées

Théorème 7.5.1 (convergence des séries alternées). Soit ({a}_{n}) une suite de nombres réels, décroissante, de limite 0. Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} {(−1)}^{n}{a}_{n} converge ; le reste d’ordre n est du signe de son premier terme (c’est-à-dire {(−1)}^{n+1}) et sa valeur absolue est majorée par la valeur absolue de ce premier terme (c’est-à-dire {a}_{n+1}).

Démonstration On a {S}_{2n+2} − {S}_{2n} = {a}_{2n+2} − {a}_{2n+1} ≤ 0 et {S}_{2n+3} − {S}_{2n+1} = {a}_{2n+2} − {a}_{2n+3} ≥ 0. La suite ({S}_{2n}) est donc décroissante, la suite {S}_{2n+1} est croissante ; comme {S}_{2n} − {S}_{2n+1} = {a}_{2n+1} est positif et tend vers 0, ces deux suites forment un couple de suites adjacentes ; elles admettent donc une limite commune S qui est limite de la suite {S}_{n}. On a pour tout n, {S}_{2n−1} ≤ {S}_{2n+1} ≤ S ≤ {S}_{2n}. Ceci nous montre que 0 ≤−{R}_{2n} = {S}_{2n} − S ≤ {S}_{2n} − {S}_{2n+1} = {a}_{2n+1} et que 0 ≤ {R}_{2n−1} = S − {S}_{2n−1} ≤ {S}_{2n} − {S}_{2n−1} = {a}_{2n} d’où les assertions sur le reste.

7.5.2 Etude de séries semi-convergentes

Les théorèmes de comparaison ne s’appliquent pas aux séries quelconques. Ainsi on a { {(−1)}^{n} \over \sqrt{n}} ∼{ {(−1)}^{n} \over \sqrt{n}} +{ 1 \over n} alors que la première est convergente et la deuxième divergente (somme d’une série convergente et d’une série divergente). Pour une série à termes réels, on peut envisager le plan suivant

(i) regarder si le critère de convergence des séries alternées s’applique ({a}_{n} = {(−1)}^{n}|{a}_{n}| avec |{a}_{n}| décroissant de limite 0).

(ii) si {a}_{n} = {(−1)}^{n}|{a}_{n}| mais si on ne peut pas appliquer le critère de convergence des séries alternées, on peut essayer de trouver une série alternée \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n} qui relève de ce critère telle que {a}_{n} ∼ {b}_{n} ; alors, comme la série \mathop{\mathop{∑ }} {b}_{n} converge, la nature de la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n} sera la même que celle de la série \mathop{\mathop{∑ }} ({a}_{n} − {b}_{n}), avec {a}_{n} − {b}_{n} = o({a}_{n}) ; on essayera de poursuivre le processus jusqu’à tomber soit sur une série divergente, soit sur une série absolument convergente

(iii) si {a}_{n} n’est pas alterné en signes, on peut utiliser une sommation par paquets (cf plus loin) : en regroupant les termes consécutifs de même signe, on aboutira à une série alternée en signe à laquelle on pourra appliquer l’une des méthodes précédentes

Enfin, pour une série à termes non réels ou qui ne relève pas d’une des méthodes précédentes, on pourra utiliser un théorème d’Abel comme le suivant

Théorème 7.5.2 Soit ({a}_{n}) une suite de nombres réels et ({x}_{n}) une suite de l’espace vectoriel normé complet E telles que

Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{x}_{n} converge.

Démonstration On a

\begin{eqnarray*} {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}{x}_{n}& =& {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}({S}_{n}(x) − {S}_{n−1}(x)) %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}{S}_{n}(x) −{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}{S}_{n−1}(x) %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}{S}_{n}(x) −{\mathop{∑ }}_{n=p−1}^{q−1}{a}_{ n+1}{S}_{n}(x) %& \\ \text{ (changement d’indices $n − 1\mathrel{↦}n$)}&& %& \\ & & %& \\ & =& {a}_{q}{S}_{q}(x) − {a}_{p}{S}_{p−1}(x) +{ \mathop{∑ }}_{n=p}^{q−1}({a}_{ n} − {a}_{n+1}){S}_{n}(x)%& \\ \end{eqnarray*}

On a effectué ici une transformation dite transformation d’Abel.

Comme \mathop{∀}n, \|{S}_{n}(x)\| ≤ M on a

\|{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{a}_{ n}{x}_{n}\| ≤ M(|{a}_{q}| + |{a}_{p}| +{ \mathop{∑ }}_{n=p}^{q−1}|{a}_{ n} − {a}_{n+1}|) = 2M{a}_{p}

en tenant compte de {a}_{n} ≥ 0 et {a}_{n} − {a}_{n+1} ≥ 0. Comme \mathop{lim}{a}_{p} = 0, la série \mathop{\mathop{∑ }} {a}_{n}{x}_{n} vérifie le critère de Cauchy, donc elle converge.