7.4 Séries absolument convergentes

7.4.1 Notion de convergence absolue

Définition 7.4.1 Soit E un espace vectoriel normé. On dit que la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} est absolument convergente si la série à termes réels positifs \mathop{\mathop{∑ }} \|{x}_{n}\| converge.

Théorème 7.4.1 Soit E un espace vectoriel normé complet. Alors toute série absolument convergente à terme général dans E est convergente.

Démonstration On a \|{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}{x}_{n}\| ≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}\|{x}_{n}\|. Si la série \mathop{\mathop{∑ }} \|{x}_{n}\| converge, elle vérifie le critère de Cauchy, il en est donc de même de la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} et donc celle-ci converge.

Remarque 7.4.1 L’avantage est bien entendu de ramener l’étude à celle d’une série à termes réels positifs.

7.4.2 Critères de convergence absolue

Théorème 7.4.2 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} deux séries telles que {x}_{n} = O({y}_{n}) et \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} est absolument convergente. Alors \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge absolument.

Démonstration On a {x}_{n} = O({y}_{n}) \mathrel{⇔} \|{x}_{n}\| = O(\|{y}_{n}\|) et il suffit d’appliquer le théorème de comparaison pour les séries à termes réels positifs.

Remarque 7.4.2 Le théorème ci-dessus reste valable même si les termes généraux {x}_{n} et {y}_{n} ne sont pas dans le même espace vectoriel normé. En particulier, la série étalon \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} sera le plus souvent une série à termes réels positifs.

En ce qui concerne les équivalents, on a un résultat plus fort

Théorème 7.4.3 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} une série à terme général dans l’espace vectoriel normé E et \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} une série à termes réels positifs. On suppose qu’il existe ℓ ∈ E ∖\{0\} tel que {x}_{n} ∼ ℓ{y}_{n}. Alors les deux séries sont simultanément convergentes ou divergentes.

Démonstration Si \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} converge, on a {x}_{n} = O({y}_{n}) et {y}_{n} ≥ 0, donc la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} est absolument convergente. Inversement, supposons que la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge. Puisque {x}_{n} − ℓ{y}_{n} = o(ℓ{y}_{n}), il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒\| {x}_{n} − ℓ{y}_{n}\| ≤{ 1 \over 2} \|ℓ{y}_{n}\| ={ 1 \over 2} \|ℓ\|{y}_{n}. En sommant on obtient \|{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}{x}_{n} − ℓ{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}{y}_{n}\| ≤{ 1 \over 2} \|ℓ\|{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}{y}_{n}. On en déduit

\begin{eqnarray*} \|ℓ\|{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{y}_{ n}& =& \|ℓ{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{y}_{ n}\| ≤\| ℓ{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{y}_{ n} −{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{x}_{ n}\| +\|{ \mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{x}_{ n}\|%& \\ & ≤&{ 1 \over 2} \|ℓ\|{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{y}_{ n} +\|{ \mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{x}_{ n}\| %& \\ \end{eqnarray*}

d’où en définitive {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}{y}_{n} ≤{ 2 \over \|ℓ\|} \|{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}{x}_{n}\|. La série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge, donc vérifie le critère de Cauchy. Il en est donc de même de la série \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n}, qui est par suite convergente.

7.4.3 Règles classiques

Il suffit maintenant d’appliquer ces résultats à des séries étalons, comme les séries de Riemann ou les séries géométriques.

Lemme 7.4.4 Soit a un nombre complexe. La série \mathop{\mathop{∑ }} {a}^{n} converge si et seulement si |a| < 1.

Démonstration La condition est évidemment nécessaire puisque le terme général doit tendre vers 0. Supposons la vérifiée. On a {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{a}^{p} ={ 1−{a}^{n+1} \over 1−a} qui admet la limite { 1 \over 1−a} . Donc la série converge.

Théorème 7.4.5 (règle de d’Alembert). Soit E un espace vectoriel normé complet. Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} une série à termes dans E telle que pour tout n ∈ ℕ, {x}_{n}\mathrel{≠}0 et telle que la suite ({ \|{x}_{n+1}\| \over \|{x}_{n}\|} ) admet une limite ℓ ∈ ℝ ∪\{ + ∞\}. Alors

Démonstration (i) Si ℓ < 1, soit ρ tel que ℓ < ρ < 1 ; il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒{ \|{x}_{n+1}\| \over \|{x}_{n}\|} ≤ ρ soit \|{x}_{n+1}\| ≤ ρ\|{x}_{n}\|. On a donc alors par récurrence \|{x}_{n}\| ≤ {ρ}^{n−N}\|{x}_{N}\| = O({ρ}^{n}). Comme la série \mathop{\mathop{∑ }} {ρ}^{n} converge, la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge absolument.

(ii) Si ℓ > 1, il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒{ \|{x}_{n+1}\| \over \|{x}_{n}\|} > 1 soit \|{x}_{n+1}\| >\| {x}_{n}\|. On a donc alors par récurrence \|{x}_{n}\| >\| {x}_{N}\|. La suite ({x}_{n}) ne peut donc pas avoir 0 pour limite et la série diverge.

Remarque 7.4.3 Si ℓ = 1 on ne peut rien conclure comme le montre l’exemple des séries de Riemann. Lorsque la règle de d’Alembert s’applique, elle conduit à des convergences rapides (de type exponentielle) ou des divergences grossières (le terme général ne tend pas vers 0).

Théorème 7.4.6 (règle de Riemann). Soit E un espace vectoriel normé. Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} une série à termes dans E.

Démonstration (i) et (ii) résultent de ce qui précède. Pour (iii), il suffit de remarquer que les hypothèses impliquent que { 1 \over {n}^{α}} = O({x}_{n}). Comme α ≤ 1, la série \mathop{\mathop{∑ }} { 1 \over {n}^{α}} diverge et donc aussi la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n}.

7.4.4 Règles complémentaires

Théorème 7.4.7 (règle de Cauchy). Soit E un espace vectoriel normé complet. Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} une série à termes dans E telle que la suite \left (\root{n}\of{\|{x}_{n}\|}\right ) admet une limite ℓ ∈ ℝ ∪\{ + ∞\}. Alors

Démonstration (i) Si ℓ < 1, soit ρ tel que ℓ < ρ < 1 ; il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒\root{n}\of{\|{x}_{n}\|} ≤ ρ soit \|{x}_{n}\| ≤ {ρ}^{n}. Comme la série \mathop{\mathop{∑ }} {ρ}^{n} converge, la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge absolument.

(ii) Si ℓ > 1, il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒\root{n}\of{\|{x}_{n}\|} > 1 soit \|{x}_{n}\| > 1. La suite ({x}_{n}) ne peut donc pas avoir 0 pour limite et la série diverge.

Théorème 7.4.8 (règle de Duhamel). Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} une série à termes dans {ℝ}^{+} telle que pour tout n ∈ ℕ, {x}_{n}\mathrel{≠}0 et telle que { {x}_{n+1} \over {x}_{n}} = 1 −{ λ \over n} + o({ 1 \over n} ) . Alors

Démonstration Posons {y}_{n} ={ 1 \over {n}^{α}} . On a { {y}_{n+1} \over {y}_{n}} = 1 −{ α \over n} + o({ 1 \over n} ). On en déduit que si α\mathrel{≠}λ, { {x}_{n+1} \over {x}_{n}} −{ {y}_{n+1} \over {y}_{n}} ∼{ α−λ \over n} est pour n assez grand du signe de α − λ. Si λ < 1, soit α tel que λ < α < 1. On a donc pour n ≥ N, { {x}_{n+1} \over {x}_{n}} ≥{ {y}_{n+1} \over {y}_{n}} et comme la série \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} diverge (car α < 1), la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} diverge. Si λ > 1, soit α tel que λ > α > 1. On a donc pour n ≥ N, { {x}_{n+1} \over {x}_{n}} ≤{ {y}_{n+1} \over {y}_{n}} et comme la série \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} converge (car α > 1), la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge.

7.4.5 Comparaison à une intégrale

Théorème 7.4.9 Soit f : [0,+∞[→ ℂ de classe {C}^{1} telle que f' soit intégrable sur [0,+∞[. Posons {w}_{n} ={\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}f(t) dt − f(n). Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} {w}_{n} est absolument convergente.

Démonstration On a par une intégration par parties

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}(t − n + 1)f'(t) dt& =&{ \left [(t − n + 1)f(t)\right ]}_{ n−1}^{n} −{\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}f(t) dt%& \\ & =& −{w}_{n} %& \\ \end{eqnarray*}

On en déduit que

|{w}_{n}|≤{\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}(t − n + 1)|f'(t)| dt ≤{\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}|f'(t)| dt

et donc

{\mathop{∑ }}_{p=1}^{n}|{w}_{ p}|≤{\mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{n}|f'(t)| dt ≤{\mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{+∞}|f'(t)| dt

ce qui montre la convergence de la série à termes positifs \mathop{\mathop{∑ }} |{w}_{n}| et donc la convergence absolue de la série.

Corollaire 7.4.10 Soit f : [0,+∞[→ ℂ de classe {C}^{1} telle que f et f' soient intégrables sur [0,+∞[. Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} f(n) est absolument convergente.

Démonstration En effet la série \mathop{\mathop{∑ }} {\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}|f(t)| dt est convergente car

{\mathop{∑ }}_{p=1}^{n}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{n−1}^{n}|f(t)| dt ={ \mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{n}|f(t)| dt ≤{\mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{+∞}|f(t)| dt

et comme \left |{\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}f(t) dt\right |≤{\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}|f(t)| dt, la série \mathop{\mathop{∑ }} {\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}f(t) dt est absolument convergente. Comme \mathop{\mathop{∑ }} {w}_{n} est également absolument convergente, il en est de même de la série \mathop{\mathop{∑ }} f(n).