7.3 Séries à termes réels positifs

7.3.1 Convergence des séries à termes réels positifs

Théorème 7.3.1 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} une série à termes réels positifs. Alors la suite des sommes partielles est une suite croissante ; la série converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées : \mathop{∃}M ∈ ℝ, \mathop{∀}n ∈ ℕ, {S}_{n} ≤ M.

Démonstration On a {S}_{n} − {S}_{n−1} = {x}_{n} ≥ 0 donc la suite ({S}_{n}) est croissante ; par suite, elle converge si et seulement si elle est majorée.

Remarque 7.3.1 Si une série à termes positifs diverge, on a donc nécessairement \mathop{lim}{S}_{n} = +∞ (puisque la suite ({S}_{n}) est croissante).

Corollaire 7.3.2 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} deux séries à termes réels telles que 0 ≤ {x}_{n} ≤ {y}_{n}. Alors

Démonstration On a {S}_{n}(x) ≤ {S}_{n}(y) donc tout majorant de la suite ({S}_{n}(y)) est aussi un majorant de la suite ({S}_{n}(x)), d’où (i). L’énoncé (ii) n’en est que la contraposée.

Remarque 7.3.2 Pour que l’énoncé précédent soit valable, il suffit évidemment qu’il existe k > 0 et N ∈ ℕ tels que n ≥ N ⇒ 0 ≤ {x}_{n} ≤ k{y}_{n}, c’est-à-dire que {x}_{n} ≥ 0, {y}_{n} ≥ 0 et {x}_{n} = O({y}_{n}).

7.3.2 Comparaison des séries à termes réels positifs

Théorème 7.3.3 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} deux séries à termes réels positifs telles que {x}_{n} = O({y}_{n}) (resp. {x}_{n} = o({y}_{n})). Alors

Démonstration Les convergences et divergences résultent immédiatement de la remarque qui suit le corollaire précédent et du fait que {x}_{n} = o({y}_{n}) ⇒ {x}_{n} = O({y}_{n}). Montrons par exemple les énoncés sur les relations de comparaison dans le cas {x}_{n} = o({y}_{n}) (des modifications évidentes de ε en k ou 2k permettent de traiter le cas {x}_{n} = O({y}_{n})).

(i) Soit ε > 0 ; il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ 0 ≤ {x}_{n} ≤ ε{y}_{n}. Alors pour n ≥ N, on a 0 ≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=n+1}^{+∞}{x}_{p} ≤ ε{\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=n+1}^{+∞}{y}_{p}, soit 0 ≤ {R}_{n}(x) ≤ ε{R}_{n}(y). On a donc {R}_{n}(x) = o({R}_{n}(y)).

(ii) Soit ε > 0 ; il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ 0 ≤ {x}_{n} ≤{ ε \over 2} {y}_{n}. Alors pour n > N, on a 0 ≤{\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=N+1}^{n}{x}_{p} ≤{ ε \over 2} {\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=N+1}^{n}{y}_{p}, soit {S}_{n}(x) − {S}_{N}(x) ≤{ ε \over 2} ({S}_{n}(y) − {S}_{N}(y)) ou encore 0 ≤ {S}_{n}(x) ≤{ ε \over 2} {S}_{n}(y) + ({S}_{N}(x) −{ ε \over 2} {S}_{N}(y)). Mais comme la série \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} est à termes positifs divergente, ses sommes partielles tendent vers + ∞ et donc il existe N' ∈ ℕ tel que n ≥ N' ⇒{ ε \over 2} {S}_{n}(y) ≥ {S}_{N}(x) −{ ε \over 2} {S}_{N}(y). Alors pour n >\mathop{ max}(N,N'), on a 0 ≤ {S}_{n}(x) ≤{ ε \over 2} {S}_{n}(y) +{ ε \over 2} {S}_{n}(y) = ε{S}_{n}(y) et donc {S}_{n}(x) = o({S}_{n}(y)).

Corollaire 7.3.4 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} deux séries à termes réels strictement positifs telles que

\mathop{∃}N ∈ ℕ, n ≥ N ⇒{ {x}_{n+1} \over {x}_{n}} ≤{ {y}_{n+1} \over {y}_{n}}

Alors {x}_{n} = O({y}_{n}) et en particulier

Démonstration On vérifie immédiatement par récurrence que pour n ≥ N on a {x}_{n} ≤{ {x}_{N} \over {y}_{N}} {y}_{n} et donc {x}_{n} = O({y}_{n}).

Théorème 7.3.5 Soit \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} deux séries à termes réels telles que {y}_{n} ≥ 0 et {x}_{n} ∼ {y}_{n}. Alors les deux séries sont de même nature et

  • (i) si la série \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} converge, la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge également et {R}_{n}(x) ∼ {R}_{n}(y)
  • (ii) si la série \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} diverge, la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} diverge et {S}_{n}(x) ∼ {S}_{n}(y)

Démonstration Soit ε < 1. Il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ (1 − ε){y}_{n} ≤ {x}_{n} ≤ (1 + ε){y}_{n} et donc {x}_{n} ≥ 0 pour n ≥ N. On a à la fois {x}_{n} = O({y}_{n}) et {y}_{n} = O({x}_{n}) ce qui d’après le théorème précédent montre que les deux séries convergent ou divergent simultanément. Supposons alors les séries convergentes. On a |{x}_{n} − {y}_{n}| = o({y}_{n}), on en déduit donc la convergence de \mathop{\mathop{∑ }} |{x}_{n} − {y}_{n}| et que {R}_{n}(|x − y|) = o({R}_{n}(y)). Mais |{R}_{n}(x) − {R}_{n}(y)|≤ {R}_{n}(|x − y|) donc |{R}_{n}(x) − {R}_{n}(y)| = o({R}_{n}(y)) et donc {R}_{n}(x) ∼ {R}_{n}(y). Supposons maintenant les séries divergentes. Alors, soit la série \mathop{\mathop{∑ }} |{x}_{n} − {y}_{n}| converge et comme \mathop{lim}{S}_{n}(y) = +∞ on a {S}_{n}(|x − y|) = o({S}_{n}(y)), soit elle diverge et le théorème précédent assure que {S}_{n}(|x − y|) = o({S}_{n}(y)). Mais alors |{S}_{n}(x) − {S}_{n}(y)|≤ {S}_{n}(|x − y|) = o({S}_{n}(y)), soit {S}_{n}(x) ∼ {S}_{n}(y).

7.3.3 Séries de Riemann et de Bertrand

Théorème 7.3.6 (séries de Riemann). Soit α ∈ ℝ. La série \mathop{\mathop{∑ }} { 1 \over {n}^{α}} converge si et seulement si α > 1.

Si α > 1, on a {R}_{n} ∼{ 1 \over α−1} { 1 \over {n}^{α−1}}  ; si α < 1, on a {S}_{n} ∼{ {n}^{1−α} \over 1−α}  ; si α = 1, {S}_{n} ∼\mathop{ log} n.

Démonstration Soit α\mathrel{≠}1. Posons {x}_{n} ={ 1 \over {n}^{α}} et {y}_{n} ={ 1 \over {n}^{α−1}} −{ 1 \over {(n+1)}^{α−1}} . On a

{ {y}_{n} \over {x}_{n}} = −{ {(1 +{ 1 \over n} )}^{1−α} − 1 \over { 1 \over n} }

qui admet pour limite l’opposé de la dérivée en 0 de x\mathrel{↦}{(1 + x)}^{1−α} soit α − 1. On a donc {x}_{n} ∼{ 1 \over α−1} {y}_{n} > 0. Les deux séries sont donc de même nature. Or {S}_{n}(y) = 1 −{ 1 \over {(n+1)}^{α−1}} admet une limite finie si et seulement si α > 1. Si α > 1, on a {R}_{n}(x) ∼{ 1 \over α−1} {R}_{n}(y) ={ 1 \over α−1} { 1 \over {n}^{α−1}} . Si α < 1, on a {S}_{n}(x) ∼{ 1 \over α−1} {S}_{n}(y) ={ 1 \over 1−α} ({(n + 1)}^{1−α} − 1) ∼{ {n}^{1−α} \over 1−α} . Enfin, si α = 1, on aboutit à une étude similaire avec {y}_{n} =\mathop{ log} (n + 1) −\mathop{ log} n =\mathop{ log} (1 +{ 1 \over n} ) ∼{ 1 \over n} .

Corollaire 7.3.7 (séries de Bertrand). Soit α,β ∈ ℝ. La série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥2}{ 1 \over {n}^{α}{(\mathop{log} n)}^{β}} converge si et seulement si α > 1 ou α = 1,β > 1.

Démonstration Soit {x}_{n} ={ 1 \over {n}^{α}{(\mathop{log} n)}^{β}} . Si α > 1, soit γ tel que α > γ > 1 et {y}_{n} ={ 1 \over {n}^{γ}} . La série \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} converge et { {x}_{n} \over {y}_{n}} ={ 1 \over {n}^{α−γ}{(\mathop{log} n)}^{β}} tend vers 0 car α − γ > 0. On a donc {x}_{n} = o({y}_{n}) et la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge. Si α < 1, soit γ tel que α < γ < 1 et {y}_{n} ={ 1 \over {n}^{γ}} . La série \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} diverge et { {y}_{n} \over {x}_{n}} ={ {(\mathop{log} n)}^{β} \over {n}^{γ−α}} tend vers 0 car γ − α > 0. On a donc {y}_{n} = o({x}_{n}) et la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge. Le cas α = 1 résulte facilement du paragraphe suivant.

7.3.4 Comparaison à des intégrales

Théorème 7.3.8 Soit f : [0,+∞[→ ℝ continue par morceaux, décroissante, positive. Posons {w}_{n} ={\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}f(t) dt − f(n). Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} {w}_{n} est convergente.

Démonstration On a {w}_{n} ={\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}(f(t) − f(n)) dt. Comme f est décroissante, \mathop{∀}t ∈ [n − 1,n], f(t) ≥ f(n) et donc {w}_{n} ≥ 0. Mais d’autre part

0 ≤ {w}_{n} ≤{\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}f(n − 1) dt − f(n) = f(n − 1) − f(n)

On a {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=1}^{n}(f(p − 1) − f(p)) = f(0) − f(n) qui admet une limite quand p tend vers + ∞ (car f admet une limite en + ∞ : elle est décroissante et positive). Ceci montre que la série \mathop{\mathop{∑ }} (f(p − 1) − f(p)) converge. Il en est donc de même de la série \mathop{\mathop{∑ }} {w}_{n}.

Corollaire 7.3.9 Soit f : [0,+∞[→ ℝ continue décroissante positive. Alors la série \mathop{\mathop{∑ }} f(n) converge si et seulement si f est intégrable sur [0,+∞[.

Démonstration En effet, on déduit du théorème précédent que les deux séries \mathop{\mathop{∑ }} f(n) et \mathop{\mathop{∑ }} {\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}f(t) dt convergent ou divergent simultanément, car leur différence est une série convergente. Mais on a {\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=1}^{n}{\mathop{∫ } }_{p−1}^{p}f(t) dt ={\mathop{∫ } }_{0}^{n}f(t) dt ={\mathop{∫ } }_{[0,n]}f. Si f est intégrable, comme la suite {([0,n])}_{n∈ℕ} est une suite croissante de segments dont la réunion est [0,+∞[, la suite ({\mathop{∫ } }_{[0,n]}f) est convergente de limite {\mathop{∫ } }_{[0,+∞[}f, donc la série \mathop{\mathop{∑ }} {\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}f(t) dt converge et il en est de même de \mathop{\mathop{∑ }} f(n). Si {\mathop{\mathop{∑ }} }_{}f(n) converge, il en est de même de \mathop{\mathop{∑ }} {\mathop{∫ } }_{n−1}^{n}f(t) dt, et si [a,b] est un segment contenu dans [0,+∞[ les majorations

{\mathop{∫ } }_{[a,b]}f ≤{\mathop{∫ } }_{0}^{[b]+1}f ={ \mathop{∑ }}_{p=0}^{[b]+1}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{p−1}^{p}f(t) dt ≤{\mathop{∑ }}_{p=0}^{+∞}{\mathop{\mathop{∫ } } }_{p−1}^{p}f(t) dt

et le fait que f soit positive, montrent que f est intégrable sur [0,+∞[.

Remarque 7.3.3 Bien entendu, il suffit que la condition de décroissance soit vérifiée sur un certain [{t}_{0},+∞[.

Dans le cas d’une série divergente, l’encadrement

{\mathop{∫ } }_{0}^{n+1}f(t) dt ≤{\mathop{∑ }}_{p=0}^{n}f(p) ≤ f(0) +{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{0}^{n}f(t) dt

permet souvent d’obtenir un équivalent de la somme partielle de la série. Dans le cas d’une série convergente, on a de même

{\mathop{∫ } }_{n+1}^{+∞}f(t) dt ≤{\mathop{∑ }}_{p=n+1}^{+∞}f(p) ≤{\mathop{\mathop{∫ } } }_{n}^{+∞}f(t) dt

ce qui permet souvent d’obtenir une majoration ou un équivalent du reste de la série.

Exemple 7.3.1 Dans le cas limite des séries de Bertrand, \mathop{\mathop{∑ }} { 1 \over n{(\mathop{log} n)}^{β}} , la fonction f(t) ={ 1 \over t{(\mathop{log} t)}^{β}} est continue décroissante (pour t assez grand) de limite 0. Donc la série est de même nature que l’intégrale {\mathop{∫ } }_{3}^{+∞}{ dt \over t{(\mathop{log} t)}^{β}} . Mais on a {\mathop{∫ } }_{3}^{x}{ dt \over t{(\mathop{log} t)}^{β}} ={\mathop{∫ } }_{\mathop{log} 3}^{\mathop{log} x}{ du \over {u}^{β}} (poser u =\mathop{ log} t) qui admet une limite finie quand x tend vers + ∞ si et seulement si β > 1. Ceci achève la démonstration du critère de convergence des séries de Bertrand.