7.2 Généralités sur les séries

7.2.1 Notion de série

Définition 7.2.1 Soit E un espace vectoriel normé et ({x}_{n}) une suite de E. On appelle sommes partielles de la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} les {S}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{x}_{p} (notée {S}_{n}(x) s’il y a risque de confusion). On dit que la série converge si la suite des sommes partielles converge dans E ; sa limite est alors appelée la somme de la série et notée {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{n} ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{p=0}^{n}{x}_{p}. Une série non convergente est dite divergente.

Remarque 7.2.1 Soit ({a}_{n}) une suite de E. Définissons une suite ({x}_{n}) par {x}_{0} = {a}_{0} et pour n ≥ 1, {x}_{n} = {a}_{n} − {a}_{n−1}. On a immédiatement {S}_{n}(x) = {a}_{n} et donc la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge si et seulement si la suite ({a}_{n}) converge ; dans ce cas on a d’ailleurs \mathop{lim}{a}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{n}. Ceci peut permettre dans certains cas de ramener une étude de convergence de suite à une étude de convergence de série.

Proposition 7.2.1 Soit E un espace vectoriel normé, \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} et \mathop{\mathop{∑ }} {y}_{n} deux séries d’éléments de E. On suppose qu’il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ {x}_{n} = {y}_{n} (autrement dit les deux suites ne diffèrent que par un nombre fini de termes). Alors les deux séries sont de même nature (simultanément convergentes ou divergentes).

Démonstration Pour n ≥ N, on a {S}_{n}(x) = {S}_{n}(y) + ({S}_{N}(x) − {S}_{N}(y)) donc l’une des suites {S}_{n} converge si et seulement si l’autre converge.

Remarque 7.2.2 En faisant tendre n vers + ∞, on obtient S(x) = S(y) + ({S}_{N}(x) − {S}_{N}(y)).

Définition 7.2.2 Soit E un espace vectoriel normé, \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} une série convergente et p ∈ ℕ. Alors la série {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥p+1}{x}_{n} est convergente ; sa somme est notée {R}_{p} (ou {R}_{p}(x)). On a par définition {S}_{n} + {R}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{p=0}^{+∞}{x}_{p} et \mathop{lim}{R}_{n} = 0.

Proposition 7.2.2 Soit E un espace vectoriel normé. Alors l’ensemble des suites ({x}_{n}) telles que la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} convergent est un sous-espace vectoriel de {E}^{ℕ}. L’application {({x}_{n})}_{n∈ℕ}\mathrel{↦}{\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{n} est linéaire de ce sous-espace vectoriel dans E.

Démonstration Il suffit de remarquer que si α et β sont des scalaires, {S}_{n}(αx + βy) = α{S}_{n}(x) + β{S}_{n}(y).

7.2.2 Terme général, critère de Cauchy

Théorème 7.2.3 Si la série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge, alors la suite ({x}_{n}) admet 0 pour limite.

Démonstration {x}_{n} = {S}_{n} − {S}_{n−1} et les deux suites ont la même limite S ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{n=0}^{+∞}{x}_{n}.

Théorème 7.2.4 (critère de Cauchy pour les séries). Soit E un espace vectoriel normé complet et \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} une série à termes de E. La série \mathop{\mathop{∑ }} {x}_{n} converge si et seulement si elle vérifie

\mathop{∀}ε > 0, \mathop{∃}N ∈ ℕ, q ≥ p ≥ N ⇒\|{\mathop{∑ }}_{n=p}^{q}{x}_{ n}\| < ε

Démonstration C’est simplement le critère de Cauchy pour la suite ({S}_{n}) des sommes partielles puisque {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n=p}^{q}{x}_{n} = {S}_{q} − {S}_{p−1}.

Exemple 7.2.1 La série harmonique {\mathop{\mathop{∑ }} }_{n≥1}{ 1 \over n} diverge puisque { 1 \over n+1} + \mathop{\mathop{…}} +{ 1 \over 2n} ≥ n ×{ 1 \over 2n} ={ 1 \over 2} . La série ne vérifie donc pas le critère de Cauchy (bien que \mathop{lim}{ 1 \over n} = 0), donc elle diverge.