7.1 Convergence des suites

7.1.1 Monotonie (suites à termes réels)

Théorème 7.1.1 Soit ({x}_{n}) une suite croissante de nombres réels. Alors la suite est convergente si et seulement si elle est majorée. Dans ce cas on a \mathop{lim}{x}_{n} =\mathop{ sup}{x}_{n}.

Démonstration On sait déjà que toute suite convergente est bornée, donc majorée. Inversement, si la suite est majorée, soit l =\mathop{ sup}{x}_{n} et ε > 0. Par définition de la borne supérieure, il existe {n}_{0} tel que l − ε < {x}_{{n}_{0}} ≤ l. Pour n ≥ {n}_{0}, on a l − ε < {x}_{{n}_{0}} ≤ {x}_{n} ≤ l ce qui montre que la suite converge vers l.

Remarque 7.1.1 On a un résultat analogue avec les suites décroissantes et minorées.

Corollaire 7.1.2 Soit ({a}_{n}) et ({b}_{n}) deux suites de nombres réels vérifiant

Alors les suites ({a}_{n}) et ({b}_{n}) convergent et ont la même limite qui vérifie

\mathop{∀}n ∈ ℕ, {a}_{n} ≤ ℓ ≤ {b}_{n}

On dit que deux telles suites sont adjacentes.

Démonstration On remarque que \mathop{∀}p,q, {a}_{p} ≤ {b}_{q} ; en effet si p ≤ q on a {a}_{p} ≤ {a}_{q} ≤ {b}_{q} et si p > q, on a {a}_{p} ≤ {b}_{p} ≤ {a}_{q}. La suite ({a}_{n}) est croissante majorée par {b}_{0}, donc converge. De même la suite ({b}_{n}) converge et la propriété (iii) implique qu’elles ont la même limite.

Exemple 7.1.1 Posons {u}_{n} = 1 +{ 1 \over 2} + \mathop{\mathop{…}} +{ 1 \over n} −\mathop{ log} n. On a {u}_{n+1} − {u}_{n} ={ 1 \over n+1} −\mathop{ log} (n + 1) −\mathop{ log} n ={ 1 \over n+1} −{\mathop{∫ } }_{n}^{n+1}{ dt \over t} ={\mathop{∫ } }_{n}^{n+1}({ 1 \over n+1} −{ 1 \over t} ) dt ≤ 0. Posons {v}_{n} = 1 +{ 1 \over 2} + \mathop{\mathop{…}} +{ 1 \over n−1} −\mathop{ log} n. On a de même {v}_{n+1} − {v}_{n} ={\mathop{∫ } }_{n}^{n+1}({ 1 \over n} −{ 1 \over t} ) dt ≥ 0. On a donc ({u}_{n}) décroissante, ({v}_{n}) croissante, {v}_{n} ≤ {u}_{n}, \mathop{lim}({v}_{n} − {u}_{n}) = 0. Donc les suites convergent. Soit γ leur limite commune (la constante d’Euler). On a donc 1 +{ 1 \over 2} + \mathop{\mathop{…}} +{ 1 \over n} =\mathop{ log} n + γ + {ε}_{n} avec \mathop{lim}{ε}_{n} = 0.

7.1.2 Critère de Cauchy

Dans un espace métrique complet, une suite converge si et seulement si elle vérifie le critère de Cauchy. Cela peut servir aussi bien comme critère de convergence (exemple des suites {x}_{n+1} = f({x}_{n})f est contractante) que comme critère de divergence.

Exemple 7.1.2 Posons {x}_{n} = 1 +{ 1 \over 2} + \mathop{\mathop{…}} +{ 1 \over n} . On a {x}_{2n} − {x}_{n} ={ 1 \over n+1} + \mathop{\mathop{…}} +{ 1 \over 2n} ≥ n ×{ 1 \over 2n} ={ 1 \over 2} . La suite ne vérifie donc pas le critère de Cauchy (bien que \mathop{lim}({x}_{n+1} − {x}_{n}) = 0), donc elle ne converge pas.

7.1.3 Valeurs d’adhérences, limites inférieures et supérieures

Proposition 7.1.3 Soit E un espace métrique et ({x}_{n}) une suite de E. L’ensemble de ses valeurs d’adhérences est fermé dans E.

Démonstration On a vu dans le chapitre sur les compacts que l’ensemble X des valeurs d’adhérences de la suite ({x}_{n}) est {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{N∈ℕ}\overline{{X}_{N}} avec {X}_{N} = \{{x}_{n}\mathrel{∣}n ≥ N\}. Comme intersection de fermés, c’est un fermé. On peut aussi le redémontrer directement. Soit x ∈\overline{X} et V ∈ V (x). Soit U ouvert tel que x ∈ U ⊂ V . On a U ∩ X\mathrel{≠}∅. Soit y ∈ U ∩ X. Comme U est ouvert, U est un voisinage de la valeur d’adhérence y et donc \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}{x}_{n} ∈ U\} est infini ; il en est de même a fortiori de \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}{x}_{n} ∈ V \}, donc x est encore valeur d’adhérence de la suite.

Théorème 7.1.4 Soit E un espace métrique compact et ({x}_{n}) une suite de E.

  • (i) La suite a au moins une valeur d’adhérence
  • (ii) La suite converge si et seulement si elle a une unique valeur d’adhérence.

Démonstration L’affirmation (i) n’est autre que la définition d’un compact.

(ii) La condition est évidemment nécessaire. Supposons la remplie et soit cette unique valeur d’adhérence. Supposons que n’est pas limite de la suite. Ceci signifie qu’il existe U ouvert contenant tel que \mathop{∀}N ∈ ℕ, \mathop{∃}n ≥ N tel que {x}_{n}\mathrel{∉}U. On construit ainsi facilement une sous suite ({x}_{φ(n)}) telle que \mathop{∀}n, {x}_{φ(n)} ∈ E ∖ U (prendre φ(n) le plus petit entier supérieur à N = φ(n − 1) + 1 vérifiant la condition). Comme E ∖ U est fermé dans un compact, c’est un compact et la suite ({x}_{φ(n)}) doit avoir une valeur d’adhérence ℓ' ∈ E ∖ U. Mais alors la suite ({x}_{n}) a deux valeurs d’adhérences ℓ\mathrel{≠}ℓ'. C’est absurde.

Soit donc ({x}_{n}) une suite de \overline{ℝ}. Soit X l’ensemble de ses valeurs d’adhérences. C’est un fermé non vide de \overline{ℝ}, donc il contient sa borne supérieure et sa borne inférieure.

Définition 7.1.1 Soit ({x}_{n}) une suite de \overline{ℝ}. Soit X l’ensemble de ses valeurs d’adhérences. On pose \mathop{limsup}{x}_{n} =\mathop{ max}X et \mathop{liminf} {x}_{n} =\mathop{ min}X. La suite converge (dans \overline{ℝ}) si et seulement si \mathop{limsup}{x}_{n} =\mathop{ liminf} {x}_{n}.

Théorème 7.1.5 Soit ({x}_{n}) une suite de \overline{ℝ} et ℓ ∈\overline{ℝ}. On a équivalence de

  • (i) ℓ =\mathop{ limsup}{x}_{n}
  • (ii) est valeur d’adhérence de la suite et \mathop{∀}c > ℓ, \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}{x}_{n} ≥ c\} est fini.
  • (iii) ℓ ={\mathop{ lim}}_{p→+∞}({\mathop{sup}}_{n≥p}{x}_{n})

Démonstration (i)(ii) Soit ℓ =\mathop{ limsup}{x}_{n}. Alors est valeur d’adhérence de la suite. Si \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}{x}_{n} ≥ c\} est infini, on peut construire une sous suite dans [c,+∞] qui est compact ; cette suite doit admettre une valeur d’adhérence ℓ' ∈ [c,+∞]. On a donc ℓ' ∈ X avec ℓ' >\mathop{ sup}X. C’est absurde.

(ii)(iii) Remarquons que la suite {y}_{p} ={\mathop{ sup}}_{n≥p}{x}_{n} est décroissante, donc convergente dans \overline{ℝ}. Soit ℓ' sa limite. Soit c > ℓ. Il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ {x}_{n} < c. Donc pour n ≥ N, on a {y}_{n} ≤ c et donc ℓ' ≤ c. Comme c est quelconque ( > ℓ), on a ℓ' ≤ ℓ. Mais d’autre part on sait que est valeur d’adhérence de la suite ({x}_{n}) d’où ℓ =\mathop{ lim}{x}_{φ(n)} ≤\mathop{ lim}{y}_{φ(n)} = ℓ'. Donc ℓ = ℓ'.

(iii)(i) Posons toujours {y}_{p} ={\mathop{ sup}}_{n≥p}{x}_{n}. Si ℓ' est une valeur d’adhérence de la suite ({x}_{n}), on a ℓ' =\mathop{ lim}{x}_{φ(n)} ≤\mathop{ lim}{y}_{φ(n)} = ℓ, donc \mathop{limsup}{x}_{n} ≤ ℓ. Mais d’autre part, soit U un ouvert contenant , on peut trouver un N tel que p ≥ N ⇒ {y}_{p} ∈ U. Pour un tel p, comme U ∈ V ({y}_{p}), on peut trouver un n ≥ p tel que {x}_{n} ∈ U. Ceci montre que est valeur d’adhérence de la suite ({x}_{n}) soit ℓ ≤\mathop{ limsup}{x}_{n} et donc l’égalité.

Proposition 7.1.6

  • (i) \mathop{limsup}({u}_{n} + {v}_{n}) ≤\mathop{ limsup}{u}_{n} +\mathop{ limsup}{v}_{n} (avec égalité si l’une des suites est convergente)
  • (ii) si ({u}_{n}) et ({v}_{n}) sont deux suites positives, \mathop{limsup}({u}_{n}{v}_{n}) ≤\mathop{ limsup}{u}_{n}\mathop{ limsup}{v}_{n} (avec égalité si l’une des suites est convergente)
  • (iii) si λ > 0, \mathop{limsup}(λ{x}_{n}) = λ\mathop{limsup}{x}_{n}
  • (iv) si f est continue, f(\mathop{limsup}{x}_{n}) ≤\mathop{ limsup}f({x}_{n}) (avec égalité si f est croissante)

Démonstration (i) On pose ℓ =\mathop{ limsup}{u}_{n}, v =\mathop{ limsup}{v}_{n}. Soit ε > 0. Il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ {u}_{n} < ℓ + ε. De même, il existe N' tel que n ≥ N' ⇒ {v}_{n} < ℓ' + ε. Alors n ≥\mathop{ max}(N,N') ⇒ {u}_{n} + {v}_{n} < ℓ + ℓ' + 2ε, ce qui montre que \mathop{limsup}({u}_{n} + {v}_{n}) ≤ ℓ + ℓ'. Si la suite {u}_{n} converge, on a par exemple ℓ' =\mathop{ lim}{v}_{φ(n)}, d’où ℓ + ℓ' =\mathop{ lim}({u}_{φ(n)} + {v}_{φ(n)}) est encore valeur d’adhérence de la suite ({u}_{n} + {v}_{n}) ; donc \mathop{limsup}({u}_{n} + {v}_{n}) = ℓ + ℓ'. La démonstration de (ii) est tout à fait similaire.

(iii) est tout à fait élémentaire.

(iv) soit ℓ =\mathop{ limsup}{x}_{n}. On a ℓ =\mathop{ lim}{x}_{φ(n)}, donc f(ℓ) =\mathop{ lim}f({x}_{φ(n)}) est valeur d’adhérence de la suite (f({x}_{n})). On en déduit que f(ℓ) ≤\mathop{ limsup}f({x}_{n}). Supposons maintenant f croissante et supposons que f(ℓ) <\mathop{ limsup}f({x}_{n}) = ℓ'. Soit α tel que f(ℓ) < α < ℓ'. Le réel ℓ' est valeur d’adhérence de la suite f({x}_{n}), donc on peut trouver N tel que f({x}_{N}) > α(> f(ℓ)). Le théorème des valeurs intermédiaires assure qu’il existe a tel que α = f(a). Comme f est croissante, on a a > ℓ. On a ℓ =\mathop{ lim}f({x}_{φ(n)}) donc il existe N' tel que n ≥ N' ⇒ f({x}_{φ(n)}) > α = f(a). Mais alors n ≥ N' ⇒ {x}_{φ(n)} > a > ℓ. Ceci contredit le fait qu’il n’y a qu’un nombre fini de n tels que {x}_{n} > a. On a donc f(ℓ) = ℓ'.

Remarque 7.1.2 L’exemple {u}_{n} = {(−1)}^{n}, {v}_{n} = −{u}_{n} montre que l’on n’a pas généralement d’égalité dans (i). En ce qui concerne (iii), si λ < 0 on a évidemment \mathop{limsup}(λ{x}_{n}) = λ\mathop{liminf} {x}_{n}. De même pour (iv), si f est décroissante, on a f(\mathop{limsup}{x}_{n}) =\mathop{ liminf} f({x}_{n}), ce qui montre qu’en général on n’a pas d’égalité dans (iv).

Les résultats concernant la limite inférieure sont tout à fait similaires, les inégalités changeant de sens

Exemple 7.1.3 Soit f :]0,+∞[→]0,+∞[ continue croissante ; on suppose que l’équation f(x) ={ x \over 2} a une unique solution , que x < ℓ ⇒ f(x) >{ x \over 2} et x > ℓ ⇒ f(x) <{ x \over 2}  ; on considère la suite ({x}_{n}) définie par {x}_{n+1} = f({x}_{n}) + f({x}_{n−1}). On vérifie facilement que si a =\mathop{ min}(ℓ,{x}_{0},{x}_{1}), b =\mathop{ max}(ℓ,{x}_{0},{x}_{1}), alors \mathop{∀}n ∈ ℕ, {x}_{n} ∈ [a,b]. Posons M =\mathop{ limsup}{x}_{n} et m =\mathop{ liminf} {x}_{n}. On a alors M =\mathop{ limsup}(f({x}_{n−1}) + f({x}_{n−2})) ≤\mathop{ limsup}f({x}_{n−1}) +\mathop{ limsup}f({x}_{n−2}) = 2f(M). On en déduit que M ≤ ℓ. On montre de même que m ≥ ℓ d’où m = M = ℓ et la suite converge.

7.1.4 Récurrences d’ordre 1

Soit D une partie de et f : D → ℝ une fonction continue. On considère {x}_{0} ∈ D et la suite ({x}_{n}) définie par récurrence par {x}_{n+1} = f({x}_{n}). On note D' = \{{x}_{0} ∈ D\mathrel{∣}{({x}_{n})}_{n∈ℕ}\text{ est définie }\} (on montre facilement que D' ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{A⊂D,f(A)⊂A}A). On remarque immédiatement que D contient tous les points fixes de f.

Proposition 7.1.7 Si la suite ({x}_{n}) converge vers un point ℓ ∈ D, alors f(ℓ) = ℓ.

Démonstration On a alors ℓ =\mathop{ lim}{x}_{n+1} =\mathop{ lim}f({x}_{n}) = f(\mathop{lim}{x}_{n}) = f(ℓ) par continuité de f au point .

Proposition 7.1.8 Soit ℓ ∈ {D}^{o} tel que f(ℓ) = ℓ et supposons f dérivable au point .

  • (i) Si |f'(ℓ)| < 1 (point fixe attractif), il existe un η > 0 tel que
    • (a) f(]ℓ − η,ℓ + η[) ⊂]ℓ − η,ℓ + η[⊂ D'
    • (b) \left (\mathop{∃}{n}_{0} ∈ ℕ, {x}_{{n}_{0}} ∈]ℓ − η,ℓ + η[\right ) ⇒\mathop{ lim}{x}_{n} = ℓ
  • (ii) Si |f'(ℓ)| > 1 (point fixe répulsif) et si \mathop{lim}{x}_{n} = ℓ, alors la suite est stationnaire en .

Démonstration (i) Soit k tel que |f'(ℓ)| < k < 1. Comme

{\mathop{lim}}_{x→ℓ,x\mathrel{≠}ℓ}\left |{ f(x) − f(ℓ) \over x − ℓ} \right | ={\mathop{ lim}}_{x→ℓ,x\mathrel{≠}ℓ}\left |{ f(x) − ℓ \over x − ℓ} \right | = |f'(ℓ)| < k

il existe η > 0 tel que |x − ℓ| < η ⇒|f(x) − ℓ|≤ k|x − ℓ|. On a alors évidemment f(]ℓ − η,ℓ + η[) ⊂]ℓ − η,ℓ + η[⊂ D'. Soit {n}_{0} tel que {x}_{{n}_{0}} ∈]ℓ − η,ℓ + η[. Alors pour tout n ≥ {n}_{0} on a {x}_{n} ∈]ℓ − η,ℓ + η[ et |{x}_{n+1} − ℓ|≤ k|{x}_{n} − ℓ|. On a alors |{x}_{n} − ℓ|≤ {k}^{n−{n}_{0}}|{x}_{{n}_{ 0}} − ℓ| ce qui montre que \mathop{lim}{x}_{n} = ℓ.

(ii) Une méthode similaire montre que si |f'(ℓ)| > k > 1, alors il existe η > 0 tel que |x − ℓ| < η ⇒|f(x) − ℓ|≥ k|x − ℓ|. Si \mathop{lim}{x}_{n} = ℓ, il existe {n}_{0} tel que n ≥ {n}_{0} ⇒|{x}_{n} − ℓ| < η. On a alors |{x}_{n+1} − ℓ|≥ k|{x}_{n} − ℓ|, soit encore |{x}_{n} − ℓ|≥ {k}^{n−{n}_{0}}|{x}_{{n}_{ 0}} − ℓ| avec k > 1. Ce n’est compatible avec le fait que {x}_{n} − ℓ tend vers 0 que si {x}_{{n}_{0}} − ℓ = 0, et la suite est alors stationnaire.

Les deux propositions précédentes permettent de conclure dans un certain nombre de cas. Une étude plus fine relève en général de propriétés de monotonie de la fonction f.

Proposition 7.1.9 Soit I un intervalle stable par f sur lequel f est monotone. On suppose qu’il existe {n}_{0} ∈ ℕ tel que {x}_{{n}_{0}} ∈ I. Alors \mathop{∀}n ≥ {n}_{0}, {x}_{n} ∈ I et de plus

  • (i) si f est croissante sur I, la suite {({x}_{n})}_{n≥{n}_{0}} est monotone (le sens étant déterminé par le signe de {x}_{{n}_{0}+1} − {x}_{{n}_{0}} = f({x}_{{n}_{0}}) − {x}_{{n}_{0}})
  • (ii) si f est décroissante sur I, les deux sous suites ({x}_{2n}) et ({x}_{2n+1}) sont monotones et de sens contraire à partir de l’indice {n}_{0}.

Démonstration Supposons f croissante et par exemple f({x}_{{n}_{0}}) = {x}_{{n}_{0}+1} ≤ {x}_{{n}_{0}}, alors {x}_{n} ≤ {x}_{n−1} ⇒ f({x}_{n}) ≤ f({x}_{n−1}) ⇒ {x}_{n+1} ≤ {x}_{n} ce qui montre par récurrence que \mathop{∀}n ≥ {n}_{0}, {x}_{n+1} ≤ {x}_{n} et la suite est décroissante à partir de {n}_{0}. De même, si f({x}_{{n}_{0}}) = {x}_{{n}_{0}+1} ≥ {x}_{{n}_{0}}, la suite est croissante à partir de {n}_{0}. Supposons maintenant f décroissante sur I et f(I) ⊂ I. Alors f ∘ f est croissante sur I et donc les deux sous suites ({x}_{2n}) et ({x}_{2n+1}) sont monotones, car elles vérifient la relation {y}_{n+1} = f ∘ f({y}_{n}). De plus elles sont de sens contraire car {x}_{2n+3} − {x}_{2n+1} = f({x}_{2n+2}) − f({x}_{2n}) et f est décroissante.

Remarque 7.1.3 Supposons que l’on est dans la situation de la proposition avec f croissante ; soit ℓ ∈ I tel que f(ℓ) = ℓ. On constate immédiatement que le signe de ℓ − {x}_{n} = f(ℓ) − f({x}_{n−1}) est constant, si bien que fournit soit un majorant, soit un minorant de la suite.