6.3 Développements asymptotiques

6.3.1 Echelles de comparaison, parties principales

Définition 6.3.1 On appelle échelle de comparaison en a suivant A toute famille {({φ}_{i})}_{i∈I} de fonctions de {ℱ}_{a,A}(ℝ) vérifiant

Remarque 6.3.1 On obtient une relation d’ordre strict sur I en posant i < j \mathrel{⇔} {φ}_{j} = o({φ}_{i}).

Exemple 6.3.1 Au voisinage d’un point a ∈ ℝ, on a plusieurs échelles de comparaison classiques

Exemple 6.3.2 Au voisinage de a = +∞, on a plusieurs échelles de comparaison classiques

Définition 6.3.2 Soit {({φ}_{i})}_{i∈I} une échelle de comparaison en a suivant A et f ∈{ℱ}_{a,A}(E). On dit que f admet une partie principale suivant l’échelle de comparaison s’il existe i ∈ I et {a}_{i} ∈ E ∖\{0\} tels que f(t) ∼ {a}_{i}{φ}_{i}(t). Une telle partie principale si elle existe est unique.

Démonstration Si on a f(t) ∼ {a}_{i}{φ}_{i}(t) ∼ {b}_{j}{φ}_{j}(t), on a nécessairement i = j car sinon une des deux fonctions serait négligeable devant l’autre. On a alors ({a}_{i} − {b}_{i}){φ}_{i} = o({φ}_{i}) ce qui n’est possible que si {a}_{i} = {b}_{i}.

6.3.2 Développements asymptotiques

Définition 6.3.3 Soit {({φ}_{i})}_{i∈I} une échelle de comparaison en a suivant A et f ∈{ℱ}_{a,A}(E). On dit que f admet un développement asymptotique à la précision {φ}_{j} suivant l’échelle de comparaison s’il existe {i}_{0} < {i}_{1} < \mathop{\mathop{…}} < {i}_{p} ≤ j et {a}_{0},{a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{p} ∈ E ∖\{0\} tels que

f(t) = {a}_{0}{φ}_{{i}_{0}}(t) + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{p}{φ}_{{i}_{p}}(t) + o({φ}_{j}(t))

Remarque 6.3.2 Un tel développement est nécessairement unique puisque {a}_{0}{φ}_{{i}_{0}}(t) est nécessairement la partie principale de f(t), {a}_{1}{φ}_{{i}_{1}}(t) celle de f(t) − {a}_{0}{φ}_{{i}_{0}}(t) et ainsi de suite jusqu’à {a}_{p}{φ}_{{i}_{p}}(t) qui doit être la partie principale de f(t) − {a}_{0}{φ}_{{i}_{0}}(t) −\mathop{\mathop{…}} − {a}_{p−1}{φ}_{{i}_{p−1}}(t).

6.3.3 Opérations sur les développements asymptotiques

Il est clair que si f et g admettent des développements asymptotiques à la précision {φ}_{j} et {φ}_{j'}, alors αf + βg admet un développement asymptotique à la précision {φ}_{\mathop{min}(j,j')} obtenu de la manière évidente (additionner les deux et supprimer les termes non significatifs).

Si l’échelle de comparaison est stable par produit, en faisant le produit de deux développements asymptotiques on obtient un développement asymptotique du produit des deux fonctions, à une précision à évaluer suivant les cas. Ceci peut permettre également de composer développements asymptotiques et développements limités.

De plus, les théorèmes de comparaison des intégrales impropres peuvent permettre d’intégrer des développements asymptotiques :

à condition que la fonction g soit positive au voisinage de a et que son intégrale converge au point a,

f = o(g) ⇒{\mathop{∫ } }_{a}^{x}f = o({\mathop{∫ } }_{a}^{x}g)

Exemple 6.3.3  : on a pour x > 0 au voisinage du point 0,

\begin{eqnarray*}{ d \over dx} (\mathop{arcsin} (1 − x))& =& −{ 1 \over \sqrt{2x − {x}^{2}}} = −{ 1 \over \sqrt{2x}} { 1 \over \sqrt{1 −{ x \over 2} }} %& \\ & =& −{ 1 \over \sqrt{2x}} (1 +{ x \over 4} +{ {x}^{2} \over 16} + o({x}^{2})) %& \\ & =& −{ \sqrt{2} \over 2\sqrt{x}} −{ \sqrt{2} \over 8} \sqrt{x} −{ \sqrt{2} \over 32} {x}^{3∕2} + o({x}^{3∕2})%& \\ \end{eqnarray*}

En intégrant de 0 à x on va obtenir, en tenant compte de φ(t) = o({t}^{3∕2}) ⇒{\mathop{∫ } }_{0}^{x}φ(t) dt = o({\mathop{∫ } }_{0}^{x}{t}^{3∕2} dt)

\mathop{arcsin} (1 − x) ={ π \over 2} −\sqrt{2x} −{ \sqrt{2} \over 12} {x}^{3∕2} −{ \sqrt{2} \over 80} {x}^{5∕2} + o({x}^{5∕2})