6.2 Développements limités

6.2.1 Notion de développement limité

Définition 6.2.1 Soit I un intervalle de et a ∈ I. Soit f : I → E et n ∈ ℕ. On dit que f admet en a un développement limité à l’ordre n s’il existe {a}_{0},{a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n} ∈ E tels que, au voisinage de a, f(t) = {a}_{0} + {a}_{1}(t − a) + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}{(t − a)}^{n} + o({(t − a)}^{n}).

Remarque 6.2.1 On notera aussi f(t) = P(t − a) + o({(t − a)}^{n}) et on parlera un peu abusivement du polynôme P.

Proposition 6.2.1 Si f admet en a un développement limité à l’ordre n, alors celui ci est unique.

Démonstration Supposons que l’on ait deux développements distincts : f(t) = {a}_{0} + {a}_{1}(t−a) + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}{(t−a)}^{n} + o({(t−a)}^{n}) = {b}_{0} + {b}_{1}(t−a) + \mathop{\mathop{…}} + {b}_{n}{(t−a)}^{n} + o({(t−a)}^{n})et soit p =\mathop{ min}\{k\mathrel{∣}{a}_{k}\mathrel{≠}{b}_{k}\}. Alors on a par soustraction ({a}_{p} − {b}_{p}){(t − a)}^{p} = o({(t − a)}^{n}) ce qui est absurde.

Proposition 6.2.2 Si f admet en a un développement limité à l’ordre n, alors f est continue en a. Si n ≥ 1, alors f est dérivable en a.

Démonstration On a bien entendu f(a) = {a}_{0} et {\mathop{lim}}_{t→a}f(t) = {a}_{0} d’où la continuité. Si n ≥ 1, on a { f(t)−f(a) \over t−a} ={ f(t)−{a}_{0} \over t−a} = {a}_{1} + o(1) de limite {a}_{1} quand t tend vers a.

Remarque 6.2.2 Ceci ne s’étend pas à des ordres supérieurs ; la fonction f(t) = {t}^{100}\mathop{ sin} ({ 1 \over {t}^{100}} ) si t\mathrel{≠}0, f(0) = 0 admet en 0 un développement limité à l’ordre 99 puisque f(t) = o({t}^{99}) (la fonction \mathop{sin} étant bornée) ; pourtant f n’est pas 2 fois dérivable en 0 puisque sa dérivée est définie par f'(0) = 0 et f'(x) = 100{t}^{99}\mathop{ sin} ({ 1 \over {t}^{100}} ) −{ 100 \over t} \mathop{ cos} ({ 1 \over {t}^{100}} ) ; elle n’est pas continue en 0, donc pas dérivable. Par contre on a

Théorème 6.2.3 Si f : I → E est n fois dérivable au point a, alors f admet en a le développement limité à l’ordre n

f(t) = f(a) +{ \mathop{∑ }}_{k=1}^{n}{ {f}^{(k)}(a) \over k!} {(t − a)}^{k} + o({(t − a)}^{n})

Démonstration C’est la formule de Taylor Young, démontrée dans le chapitre sur les fonctions d’une variable réelle.

Remarque 6.2.3 Ce théorème permet, en connaissant les dérivées successives de la fonction f (ce qui est finalement assez rare), de calculer un développement limité ; mais cela permet également en connaissant un développement limité à l’ordre n de la fonction f en a (par exemple à l’aide des méthodes du paragraphe suivant), d’en déduire les dérivées successives de la fonction f en a.

6.2.2 Opérations sur les développements limités

Proposition 6.2.4 Si f,g : I → E admettent en a des développements limités à l’ordre n, f(t) = P(t − a) + o({(t − a)}^{n}),g(t) = Q(t − a) + o({(t − a)}^{n}), alors αf + βg admet en a le développement limité à l’ordre n, (αf + βg)(t) = (αP + βQ)(t − a) + o({(t − a)}^{n}).

Démonstration Découle immédiatement des propriétés de la relation de prépondérance.

Proposition 6.2.5 Si f,g : I → K admettent en a des développements limités à l’ordre n, f(t) = P(t − a) + o({(t − a)}^{n}),g(t) = Q(t − a) + o({(t − a)}^{n}), alors fg admet en a le développement limité à l’ordre n, f(t)g(t) = R(t − a) + o({(t − a)}^{n}), où R est le polynôme obtenu en tronquant à l’ordre n le polynôme PQ.

Démonstration On a f(t)g(t) = P(t−a)Q(t−a)+P(t−a){(t−a)}^{n}{ε}_{2}(t−a)+Q(t−a){(t−a)}^{n}{ε}_{1}(t−a)+{(t−a)}^{2n}{ε}_{1}(t−a){ε}_{2}(t−a) avec {\mathop{lim}}_{t→a}{ε}_{i}(t − a) = 0. On a donc f(t)g(t) = P(t − a)Q(t − a) + o({(t − a)}^{n}). Mais on a P(X)Q(X) = R(X) + {X}^{n+1}S(X), d’où P(t − a)Q(t − a) = R(t − a) + o({(t − a)}^{n}), et donc f(t)g(t) = R(t − a) + o({(t − a)}^{n}).

Proposition 6.2.6 Si f,g : I → K admettent en a des développements limités à l’ordre n, f(t) = P(t − a) + o({(t − a)}^{n}),g(t) = Q(t − a) + o({(t − a)}^{n}), et si g(a)\mathrel{≠}0, alors { f \over g} admet en a le développement limité à l’ordre n, { f(t) \over g(t)} = R(t − a) + o({(t − a)}^{n}), où R est le quotient de la division suivant les puissances croissantes à l’ordre n du polynôme P(X) par le polynôme R(X).

Démonstration Remarquons que g(a) = Q(0), donc Q(0)\mathrel{≠}0. On a

\begin{eqnarray*}{ f(t) \over g(t)} −{ P(t − a) \over Q(t − a)} && %& \\ & =&{ (f(t) − P(t − a))Q(t − a) + P(t − a)(Q(t − a) − g(t)) \over Q(t − a)g(t)} %& \\ & =& o({(t − a)}^{n}) %& \\ \end{eqnarray*}

puisque f(t) − P(t − a) = o({(t − a)}^{n}), Q(t − a) = O(1), g(t) − Q(t − a) = o({(t − a)}^{n}), P(t − a) = O(1) et {\mathop{lim}}_{t→a}{ 1 \over Q(t−a)g(t)} ={ 1 \over g{(a)}^{2}} . Ecrivons alors P(X) = Q(X)R(X) + {X}^{n+1}S(X) (division suivant les puissances croissantes de P par Q à l’ordre n, possible car Q(0)\mathrel{≠}0). On a alors { P(t−a) \over Q(t−a)} = R(t − a) + {(t − a)}^{n+1}{ S(t−a) \over Q(t−a)} = R(t − a) + o({(t − a)}^{n}) puisque {\mathop{lim}}_{t→a}{ S(t−a) \over Q(t−a)} ={ S(0) \over Q(0)} . En définitive { f(t) \over g(t)} = R(t − a) + o({(t − a)}^{n}).

Le théorème suivant sera uniquement formulé en 0 pour des raisons de commodité ; on se ramène immédiatement à cette situation par des translations sur les variables.

Théorème 6.2.7 Soit I,J deux intervalles de contenant 0, φ : I → J vérifiant φ(0) = 0 et admettant en 0 un développement limité à l’ordre n, φ(t) = P(t) + o({t}^{n}) ; soit f : J → E admettant en 0 un développement limité à l’ordre n, f(u) = Q(u) + o({u}^{n}). Alors f ∘ φ admet en 0 un développement limité à l’ordre n, f ∘ φ(t) = R(t) + o({t}^{n}) où R(X) est le polynôme obtenu en tronquant à l’ordre n le polynôme Q(P(X)).

Démonstration On écrit f(φ(t)) = {a}_{0} + {a}_{1}φ(t) + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}φ{(t)}^{n} + φ{(t)}^{n}ε(φ(t)). Mais chacune des fonctions φ{(t)}^{i} admet d’après la proposition précédente un développement φ{(t)}^{i} = P{(t)}^{i} + o({t}^{n}). On a donc f(φ(t)) = {a}_{0} + {a}_{1}P(t) + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}P{(t)}^{n} + o({t}^{n}) + φ{(t)}^{n}ε(φ(t)). Mais comme φ admet en 0 un développement limité à l’ordre 1 et que φ(0) = 0, on a φ(t) = O(t) et donc φ{(t)}^{n}ε(φ(t)) = o({t}^{n}). On obtient donc f ∘ φ(t) = Q(P(t)) + o({t}^{n}) = R(t) + {t}^{n+1}S(t) + o({t}^{n}) = R(t) + o({t}^{n}).

Les deux résultats suivants découlent immédiatement de la formule de Taylor-Young et de l’unicité du développement limité

Proposition 6.2.8 Soit f : I → E une fonction n fois dérivable au point a ∈ I, admettant en a le développement limité à l’ordre n, f(t) = {a}_{0} + {a}_{1}(t − a) + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}{(t − a)}^{n} + o({(t − a)}^{n}). Soit F : I → E une fonction dérivable telle que F' = f. Alors F admet en a le développement limité à l’ordre n + 1, F(t) = F(a) + {a}_{0}(t − a) +{ {a}_{1} \over 2} {(t − a)}^{2} + \mathop{\mathop{…}} +{ {a}_{n} \over n+1} {(t − a)}^{n+1} + o({(t − a)}^{n+1}).

Proposition 6.2.9 Soit f : I → ℝ une fonction continue strictement monotone, n fois dérivable au point 0 telle que f(0) = 0 et f'(0)\mathrel{≠}0. Soit J l’intervalle f(I). Alors g = {f}^{−1} : J → ℝ admet en 0 un développement limité à l’ordre n : g(t) = {b}_{1}t + \mathop{\mathop{…}} + {b}_{n}{t}^{n} + o({t}^{n}) ; on obtient ce développement limité en identifiant le développement limité de g(f(t)) au polynôme t, ce qui conduit à un système triangulaire en les inconnues {b}_{1},\mathop{\mathop{…}},{b}_{n}.

6.2.3 Développements limités classiques

On part d’un certain nombre de développements limités classiques obtenus par la formule de Taylor-Young et on en déduit d’autres par changements de variables et intégration. On obtient les développements suivants en 0

\begin{eqnarray*} {e}^{t}& =& 1 + t +{ {t}^{2} \over 2} + \mathop{\mathop{…}} +{ {t}^{n} \over n!} + o({t}^{n}) %& \\ \mathop{cos} t& =& 1 −{ {t}^{2} \over 2!} + \mathop{\mathop{…}} + {(−1)}^{n}{ {t}^{2n} \over (2n)!} + o({t}^{2n+1}) %& \\ \mathop{sin} t& =& t −{ {t}^{3} \over 3!} + \mathop{\mathop{…}} + {(−1)}^{n}{ {t}^{2n+1} \over (2n + 1)!} + o({t}^{2n+2})%& \\ \mathop{\mathrm{ch}} t& =& 1 +{ {t}^{2} \over 2!} + \mathop{\mathop{…}} +{ {t}^{2n} \over (2n)!} + o({t}^{2n+1}) %& \\ \mathop{\mathrm{sh}} t& =& t +{ {t}^{3} \over 3!} + \mathop{\mathop{…}} +{ {t}^{2n+1} \over (2n + 1)!} + o({t}^{2n+2}) %& \\ {(1 + t)}^{α}& =& 1 + αt +{ α(α − 1) \over 2!} {t}^{2} + \mathop{\mathop{…}} %& \\ & \text{} & +{ α(α − 1)\mathop{\mathop{…}}(α − n + 1) \over n!} {t}^{n} + o({t}^{n}) %& \\ { 1 \over 1 + t} & =& 1 − t + {t}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {(−1)}^{n}{t}^{n} + o({t}^{n}) %& \\ { 1 \over 1 − t} & =& 1 + t + {t}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {t}^{n} + o({t}^{n}) %& \\ \mathop{log} (1 + t)& =& t −{ {t}^{2} \over 2} + \mathop{\mathop{…}} + {(−1)}^{n}{ {t}^{n} \over n} + o({t}^{n}) %& \\ \mathop{log} (1 − t)& =& −t −{ {t}^{2} \over 2} −\mathop{\mathop{…}} −{ {t}^{n} \over n} + o({t}^{n}) %& \\ \mathop{\mathrm{arctg}} t& =& t −{ {t}^{3} \over 3} + \mathop{\mathop{…}} + {(−1)}^{n}{ {t}^{2n+1} \over 2n + 1} + o({t}^{2n+2}) %& \\ \mathop{arg} \mathop{\mathrm{th}} t& =& t +{ {t}^{3} \over 3} + \mathop{\mathop{…}} +{ {t}^{2n+1} \over 2n + 1} + o({t}^{2n+2}) %& \\ \mathop{arcsin} t& =& t +{ {t}^{3} \over 6} + \mathop{\mathop{…}} %& \\ & \text{} & +{ 1.3\mathop{\mathop{…}}(2n − 1) \over 2.4\mathop{\mathop{…}}(2n)} { {t}^{2n+1} \over 2n + 1} + o({t}^{2n+2}) %& \\ \mathop{arg} \mathop{\mathrm{sh}} t& =& t −{ {t}^{3} \over 6} + \mathop{\mathop{…}} %& \\ & \text{} & +{(−1)}^{n}{ 1.3\mathop{\mathop{…}}(2n − 1) \over 2.4\mathop{\mathop{…}}(2n)} { {t}^{2n+1} \over 2n + 1} + o({t}^{2n+2}) %& \\ \end{eqnarray*}