6.1 Relations de comparaison

6.1.1 Notations

Soit A ⊂ ℝ et a ∈\overline{ℝ} tel que a ∈\overline{A} (adhérence dans \overline{ℝ}). Si E est un espace vectoriel normé, on notera {ℱ}_{a,A}(E) l’ensemble des fonctions de vers E telles qu’il existe V ∈ V (a) tel que f soit définie sur V ∩ A (autrement dit f est définie sur A au voisinage de a).

Exemple 6.1.1 Si A = ℕ et a = +∞, {ℱ}_{a,A}(E) est l’ensemble des suites {({x}_{n})}_{n≥{n}_{0}} d’éléments de E.

6.1.2 Domination, prépondérance

Définition 6.1.1 Soit f ∈{ℱ}_{a,A}(E) et g ∈{ℱ}_{a,A}(F).

Remarque 6.1.1 Il est clair que f = o(g) ⇒ f = O(g). De plus, si f = O(g) et si X est choisi comme ci dessus, on voit que g(t) = 0 ⇒ f(t) = 0 ; on constate donc que

Exemple 6.1.2

Proposition 6.1.1

Démonstration Facile

6.1.3 Equivalence

Lemme 6.1.2 Soit f,g ∈{ℱ}_{a,A}(E). Alors f − g = o(g) ⇒ g = O(f).

Démonstration Il existe V ∈ V (a) tel que \mathop{∀}t ∈ V ∩ A, \|f(t) − g(t)\| ≤{ 1 \over 2} \|g(t)\|. Pour t ∈ V ∩ A, on a donc \|g(t)\| =\| g(t) − f(t) + f(t)\| ≤\| g(t) − f(t)\| +\| f(t)\| ≤{ 1 \over 2} \|g(t)\| +\| f(t)\| soit encore \|g(t)\| ≤ 2\|f(t)\|, et donc g = O(f).

Théorème 6.1.3 Pour f,g ∈{ℱ}_{a,A}(E), on pose f ∼ g si f − g = o(g). Il s’agit d’une relation d’équivalence appelée l’équivalence des fonctions (au voisinage de a suivant A).

Démonstration La réflexivité est claire puisque f − f = 0 = o(f). Si f ∼ g, on a f − g = o(g) et aussi d’après le lemme, g = O(f), d’où f − g = o(f) et donc aussi g − f = o(f), soit g ∼ f. La relation est donc symétrique. Si f ∼ g et g ∼ h, on a f − g = o(g) et g − h = o(h). Mais on a h ∼ g, soit h − g = o(g) soit g = O(h). Alors f − g = o(g) et g = O(h) donne f − g = o(h) et donc f − h = (f − g) + (g − h) = o(h), d’où f ∼ h, ce qui démontre la transitivité.

Proposition 6.1.4

  • (i) f ∼ g ⇒ f = O(g)\text{ et }g = O(f)
  • (ii) φ,ψ ∈{ℱ}_{a,A}(K), f,g ∈{ℱ}_{a,A}(E), alors φ ∼ ψ\text{ et }f ∼ g ⇒ φf ∼ ψg

Démonstration (i) est évident d’après le lemme ci dessus et la symétrie de la relation. Pour (ii), on écrit φf − ψg = (φ − ψ)f + ψ(f − g). On a φ − ψ = o(ψ)\text{ et }f = O(g) ⇒ (φ − ψ)f = o(ψg) et f − g = o(g) ⇒ ψ(f − g) = o(ψg), d’où φf − ψg = o(ψg) et φf ∼ ψg.

Remarque 6.1.2 La relation d’équivalence est donc compatible avec la multiplication ; par contre, elle n’est pas compatible avec l’addition : {f}_{1} ∼ {g}_{1}\text{ et }{f}_{2} ∼ {g}_{2}⇏{f}_{1} + {f}_{2} ∼ {g}_{1} + {g}_{2} comme le montre l’exemple a = 0, {f}_{1}(t) = 1 + t,{g}_{1}(t) = 1 + {t}^{2},{f}_{2}(t) = {g}_{2}(t) = −1 ; on a {f}_{1} ∼ {g}_{1}\text{ et }{f}_{2} = {g}_{2}, pourtant {f}_{1}(t) + {f}_{2}(t) = t et {g}_{1}(t) + {g}_{2}(t) = {t}^{2} ne sont pas équivalentes au voisinage de 0.

Lemme 6.1.5 Soit f,g ∈{ℱ}_{a,A}(K). Alors on a équivalence de

  • (i) f ∼ g
  • (ii) il existe φ ∈{ℱ}_{a,A}(K) telle que f = gφ et {\mathop{lim}}_{t→a,t∈A}φ(t) = 1

Démonstration (ii)(i). On écrit f − g = g(φ − 1) avec {\mathop{lim}}_{t→a,t∈A}(φ(t) − 1) = 0, d’où f − g = o(g) et f ∼ g.

(i)(ii). On a f = O(g). D’après une remarque précédente, il existe V ∈ V (a) tel que \mathop{∀}t ∈ V ∩ A, g(t) = 0 ⇒ f(t) = 0. Définissons φ sur V ∩ A de la manière suivante : φ(t) = \left \{ \cases{ { f(t) \over g(t)} &si g(t)\mathrel{≠}0 \cr 1 &si g(t) = 0 } \right . ; si g(t)\mathrel{≠}0, on a f(t) = φ(t)g(t) de manière évidente et cela reste vrai si g(t) = 0 puisque alors on a aussi f(t) = 0. Montrons que {\mathop{lim}}_{t→a,t∈A}φ(t) = 1. Soit ε > 0 ; il existe {V }_{0} ∈ V (a) tel que \mathop{∀}t ∈ {V }_{0} ∩ A, |f(t) − g(t)|≤ ε|g(t)| soit encore pour t ∈ {V }_{0} ∩ V ∩ A, |φ(t) − 1|\,|g(t)|≤ ε|g(t)|. Si g(t)\mathrel{≠}0 on a donc |φ(t) − 1|≤ ε mais cela reste vrai si g(t) = 0 puisqu’alors φ(t) = 1. On a donc bien {\mathop{lim}}_{t→a,t∈A}φ(t) = 1.

Théorème 6.1.6

  • (i) si f,g ∈{ℱ}_{a,A}(K) et n ∈ ℕ, alors f ∼ g ⇒ {f}^{n} ∼ {g}^{n}
  • (ii) si f,g ∈{ℱ}_{a,A}(ℝ) et s’il existe V ∈ V (a) tel que \mathop{∀}t ∈ V ∩ A, g(t) ≥ 0 (resp. > 0) alors
    \mathop{∀}α ∈ {ℝ}^{+}\text{ (resp. $\mathop{∀}α ∈ ℝ$) }f ∼ g ⇒ {f}^{α} ∼ {g}^{α}

Démonstration Résulte immédiatement du lemme précédent en remarquant pour (ii) que si φ tend vers 1, elle est strictement positive au voisinage de a et que \mathop{lim}{φ}^{α} = 1.

Remarque 6.1.3 La relation d’équivalence est donc compatible avec les puissances entières ou réelles ; par contre elle n’est pas compatible avec l’exponentielle : en fait on a {e}^{f} ∼ {e}^{g} \mathrel{⇔} \mathop{lim}(f − g) = 0.

Le théorème suivant justifie l’intérêt de l’utilisation des équivalents pour les recherches de limites

Théorème 6.1.7 Soit f,g ∈{ℱ}_{a,A}(E) telles que f ∼ g. Si g admet une limite en a suivant A, f admet la même limite en a suivant A.

Démonstration Puisque {\mathop{lim}}_{t→a,t∈A}g(t) = ℓ, il existe {V }_{0} ∈ V (a) tel que t ∈ {V }_{0} ∩ A ⇒\| g(t) − ℓ\| < 1 soit \|g(t)\| ≤ 1 +\| ℓ\|. Soit alors ε > 0. Il existe V ∈ V (a) tel que \mathop{∀}t ∈ V ∩ A, \|g(t) − ℓ\| <{ ε \over 2} et il existe V ' ∈ V (a) tel que \mathop{∀}t ∈ V ' ∩ A, \|f(t) − g(t)\| ≤{ ε \over 2(1+\|ℓ\|)} \|g(t)\|. Pour t ∈ {V }_{0} ∩ V ∩ V ' ∩ A on a

\begin{eqnarray*} \|f(t) − ℓ\|& ≤& \|f(t) − g(t)\| +\| g(t) − ℓ\|%& \\ & ≤&{ ε \over 2(1 +\| ℓ\|)} (1 +\| ℓ\|) +{ ε \over 2} %& \\ & =& ε %& \\ \end{eqnarray*}

et donc f admet pour limite en a suivant A.

6.1.4 Changement de variables

Soit A,B ⊂ ℝ et a,b ∈\overline{ℝ} tel que a ∈\overline{A} et b ∈\overline{B}.

Soit φ une fonction de vers telle que φ(A) ⊂ B et {\mathop{lim}}_{t→a,t∈A}φ(t) = b. Par définition de la notion de limite on a aussitôt

Lemme 6.1.8 \mathop{∀}V ' ∈ V (b), \mathop{∃}V ∈ V (a), φ(V ∩ A) ⊂ V ' ∩ B.

Il en découle immédiatement le théorème suivant

Théorème 6.1.9 Soit f,g ∈{ℱ}_{b,B}(E). Alors

  • (i) f = {O}_{b,B}(g) ⇒ f ∘ φ = {O}_{a,A}(g ∘ φ)
  • (i) f = {o}_{b,B}(g) ⇒ f ∘ φ = {o}_{a,A}(g ∘ φ)
  • (i) f {∼}_{b,B}g ⇒ f ∘ φ {∼}_{a,A}g ∘ φ

autrement dit on peut faire tout changement de variable raisonnable dans des relations de comparaison.