5.5 Compléments : convexité dans les espaces vectoriels normés

5.5.1 Jauge d’un convexe

Soit E un espace vectoriel normé réel et K un convexe borné qui contient 0 dans son intérieur. On définit alors une application {j}_{K} de E dans {ℝ}^{+} par

{j}_{K}(x) =\mathop{ inf} \{λ > 0\mathrel{∣}{ x \over λ} ∈ K\}

Cette définition a bien un sens, car si B(0,r) ⊂ K, on a { x \over λ} ∈ B(0,r) ∈ K dès que λ >{ \|x\| \over r} .

Définition 5.5.1 La fonction {j}_{K} est appelée la jauge du convexe K.

Proposition 5.5.1 Soit E un espace vectoriel normé réel et K un convexe borné qui contient 0 dans son intérieur. Alors l’application {j}_{K} vérifie

Si de plus K = −K, alors {j}_{K} est une norme.

Démonstration (i) Puisque K est borné, soit M ≥ 0 tel que \mathop{∀}y ∈ K, \|y\| ≤ M. Si {j}_{K}(x) = 0, il existe une suite {λ}_{n} tendant vers 0 telle que { x \over {λ}_{n}} ∈ K, soit \|x\| ≤ M{λ}_{n}. On a donc x = 0. La réciproque est évidente.

(ii) est évident puisque { x \over λ} ∈ K \mathrel{⇔}{ μx \over μλ} ∈ K

(iii) Supposons que { x \over λ} et { y \over μ} appartiennent à K. Comme K est convexe, λ et μ positifs, on a aussi { 1 \over λ+μ} (λ{ x \over λ} + μ{ y \over μ} ) ∈ K soit encore { x+y \over λ+μ} ∈ K. On a donc

\{λ > 0\mathrel{∣}{ x \over λ} ∈ K\} + \{μ > 0\mathrel{∣}{ y \over μ} ∈ K\} ⊂\{ν > 0\mathrel{∣}{ x + y \over ν} ∈ K\}

En prenant les bornes inférieures on a donc {j}_{K}(x + y) ≤ {j}_{K}(x) + {j}_{K}(y).

Si de plus, K = −K, on a {j}_{K}(−x) = {j}_{K}(x) et donc \mathop{∀}μ ∈ ℝ, {j}_{K}(μx) = |μ|{j}_{K}(x) qui était la seule propriété des normes qui manquait.

Remarque 5.5.1 On a évidemment, x ∈ K ⇒ {j}_{K}(x) ≤ 1 et {j}_{K}(x) < 1 ⇒ x ∈ K, autrement dit {B}_{{j}_{K}}(0,1) ⊂ K ⊂ {B'}_{{j}_{K}}(0,1) ; si on suppose de plus que K est fermé, on a facilement K = {B'}_{{j}_{K}}(0,1) ; autrement dit un convexe, fermé, borné et équilibré (K = −K) est une boule fermée pour une certaine norme ; la réciproque étant évidente.

5.5.2 Projection sur un convexe fermé

Théorème 5.5.2 Soit E un espace euclidien et K une partie non vide, convexe fermée de E ; pour tout x de E, il existe un unique élément {p}_{K}(x) de K tel que d(x,{p}_{K}(x)) = d(x,K). Pour y ∈ K, on a

y = {p}_{K}(x) \mathrel{⇔} \mathop{∀}z ∈ K,\quad (x − y\mathrel{∣}z − y) ≤ 0

Démonstration Nous allons donner une démonstration de ce résultat qui ne fera pas appel à la dimension finie de E, mais uniquement au fait qu’il est complet. Soit ({y}_{n}) une suite de K qui vérifie \|x − {y{}_{n}\|}^{2} ≤ d{(x,K)}^{2} +{ 1 \over n} . L’égalité de la médiane nous donne alors

\begin{eqnarray*} \|{y}_{p} − {y{}_{q}\|}^{2}&& %& \\ & =& \|({y}_{p} − x) − {({y}_{q} − x)\|}^{2} %& \\ & =& 2\|{y}_{p} − {x\|}^{2} + 2\|{y}_{ q} − {x\|}^{2} −\| ({y}_{ p} − x) + {({y}_{q} − x)\|}^{2}%& \\ & =& 2\|{y}_{p} − {x\|}^{2} + 2\|{y}_{ q} − {x\|}^{2} − 4\|{ {y}_{p} + {y}_{q} \over 2} − x{)\|}^{2} %& \\ \end{eqnarray*}

avec \|x − {y{}_{p}\|}^{2} ≤ d{(x,K)}^{2} +{ 1 \over p} et \|x − {y{}_{q}\|}^{2} ≤ d{(x,K)}^{2} +{ 1 \over q} . Mais comme K est convexe, { {y}_{p}+{y}_{q} \over 2} ∈ K et donc \|{ {y}_{p}+{y}_{q} \over 2} − x{)\|}^{2} ≥ d{(x,K)}^{2}. On a donc \|{y}_{p} − {y{}_{q}\|}^{2} ≤ 2({ 1 \over p} +{ 1 \over q} ). La suite ({y}_{n}) est une suite de Cauchy dans E, donc elle converge. Soit y sa limite dans E. Comme K est fermé, on a y ∈ K et on a évidemment en passant à la limite à partir de d{(x,K)}^{2} ≤\| x − {y{}_{n}\|}^{2} ≤ d{(x,K)}^{2} +{ 1 \over n} , l’égalité d(x,K) = d(x,y).

Soit y ainsi trouvé et soit z ∈ K. Pour tout t ∈ [0,1], (1 − t)y + tz ∈ K et donc \|x − (1 − t)y − t{z\|}^{2} ≥\| x − {y\|}^{2}. En développant, on obtient {t}^{2}\|y − {z\|}^{2} − 2t(x − y\mathrel{∣}z − y) ≥ 0. Pour t ∈]0,1] on a donc t\|y − {z\|}^{2} − 2(x − y\mathrel{∣}z − y) ≥ 0 et en faisant tendre t vers 0, on obtient (x − y\mathrel{∣}z − y) ≤ 0.

Inversement supposons que \mathop{∀}z ∈ K,\quad (x − y\mathrel{∣}z − y) ≤ 0. Alors

\begin{eqnarray*} \|x − {z\|}^{2}& =& \|(x − y) − {(z − y)\|}^{2} %& \\ & =& \|x − {y\|}^{2} +\| z − {y\|}^{2} − 2(x − y\mathrel{∣}z − y)%& \\ & ≥& \|x − {y\|}^{2} %& \\ \end{eqnarray*}

avec égalité si et seulement si z = y. Ceci montre à la fois que d(x,y) = d(x,K) et que y est unique.

Remarque 5.5.2 La condition (x − y\mathrel{∣}z − y) ≤ 0 correspond géométriquement à : l’angle (\overrightarrow{yx},\overrightarrow{yz}) est obtus.
PIC

5.5.3 Hahn-Banach (version géométrique)

Remarque 5.5.3 Il existe plusieurs théorèmes à la Hahn Banach. Certains sont de type analytique et concernent des propriétés de prolongement de formes linéaires ou de semi-normes d’un sous-espace vectoriel à l’espace tout entier. D’autres sont de type géométrique et concernent des propriétés de séparation d’un convexe et d’un point ou de deux convexes. Nous avons choisi ici d’en présenter une version géométrique simple.

Théorème 5.5.3 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, K un convexe fermé non vide et x\mathrel{∉}K. Alors il existe un hyperplan affine qui sépare strictement x et K, c’est-à-dire que x et K sont dans les deux demi-espaces ouverts définis par l’hyperplan.

Démonstration Puisque toutes les normes sont équivalentes, on peut supposer que E est muni d’une norme euclidienne. Soit alors y la projection de x sur le convexe K. L’hyperplan médiateur du segment [x,y] convient évidemment.    PIC

Remarque 5.5.4 Une autre fa\c{c}on de formuler le théorème est de dire que si K est un convexe fermé et x\mathrel{∉}K, il existe une forme linéaire f sur E telle que f(x) <{\mathop{ inf} }_{y∈K}f(y).

Corollaire 5.5.4 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, {K}_{1} un convexe compact non vide et {K}_{2} un convexe fermé non vide tels que {K}_{1} ∩ {K}_{2} = ∅. Alors (i) il existe un hyperplan H qui sépare strictement {K}_{1} et {K}_{2} (ii) il existe une forme linéaire f telle que {\mathop{sup}}_{x∈{K}_{1}}f(x) <{\mathop{ inf} }_{x∈{K}_{2}}f(x)

Démonstration La fonction x\mathrel{↦}d(x,{K}_{2}) est continue sur le compact {K}_{1}, donc atteint sa borne inférieure en {x}_{0}. Il suffit alors d’appliquer la méthode précédente à {x}_{0} et à {K}_{2}.

5.5.4 L’enveloppe convexe : Carathéodory et Krein Millman

Définition 5.5.2 Soit E un -espace vectoriel et A une partie de E. L’ensemble des convexes contenant A admet un plus petit élément appelé l’enveloppe convexe de A : c’est encore l’ensemble des barycentres à coefficients positifs de points de A.

Démonstration L’intersection de tous les convexes contenant A est encore un convexe contenant A et c’est le plus petit. L’ensemble des barycentres à coefficients positifs de points de A est un convexe (les barycentres à coefficients positifs de barycentres à coefficients positifs sont encore des barycentres à coefficients positifs) contenant A donc il contient l’enveloppe convexe ; mais comme celle-ci est stable par barycentrage à coefficients positifs, elle doit contenir tout barycentre à coefficients positifs de points de A, d’où l’égalité.

Théorème 5.5.5 (Carathéodory). Soit n =\mathop{ dim} E. Alors l’enveloppe convexe de A est encore l’ensemble des barycentres à coefficients positifs de n + 1 points de A.

Démonstration Il suffit évidemment de démontrer que si x est barycentre à coefficients positifs de p ≥ n + 2 points de A, c’est encore un barycentre à coefficients positifs de p − 1 points de A. Soit donc x ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{p}{λ}_{i}{x}_{i} avec {λ}_{i} ≥ 0 et \mathop{\mathop{∑ }} {λ}_{i} = 1. La famille {({x}_{i} − {x}_{p})}_{1≤i≤p−1} de E est une famille de p − 1 ≥ n + 1 éléments dans E de dimension n, donc elle est liée. On peut trouver {α}_{1},\mathop{\mathop{…}},{α}_{p−1} non tous nuls tels que {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{p−1}{α}_{i}({x}_{i} − {x}_{p}) = 0. Posons {α}_{p} = −({α}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {α}_{p−1}). On a donc {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{p}{α}_{i}{x}_{i} = 0 avec {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{p}{α}_{i} = 0. Soit t ∈ {ℝ}^{+}. On a alors x ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{p}({λ}_{i} − t{α}_{i}){x}_{i} avec {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{p}({λ}_{i} − t{α}_{i}) = 1. Il suffit alors de choisir t de telle sorte que \mathop{∀}i, {λ}_{i} − t{α}_{i} ≥ 0 avec pour un certain {i}_{0}, {λ}_{{i}_{0}} − t{α}_{{i}_{0}} = 0 pour aboutir au résultat souhaité. Or, si {α}_{i} ≤ 0, on a évidemment {λ}_{i} − t{α}_{i} ≥ 0. Il suffit donc de considérer les {α}_{i} > 0 et de prendre t =\mathop{ min}\{{ {λ}_{i} \over {α}_{i}} \mathrel{∣}{α}_{i} > 0\} ={ {λ}_{{i}_{0}} \over {α}_{{i}_{0}}} .

Corollaire 5.5.6 Soit E un -espace vectoriel de dimension finie et A une partie compacte de E. Alors l’enveloppe convexe de A est encore compacte.

Démonstration Soit n =\mathop{ dim} E,

C = \{({λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n+1}) ∈ {ℝ}^{n+1}\mathrel{∣}\mathop{∀}i, {λ}_{ i} ≥ 0\text{ et }\mathop{∑ }{λ}_{i} = 1\}

C est une partie compacte de {ℝ}^{n+1} (car fermée et bornée dans un espace vectoriel normé de dimension finie) et l’enveloppe convexe de A est l’image de l’application continue φ : C × {A}^{n+1} → E définie par φ({λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n+1},{x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n+1}) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n+1}{λ}_{i}{x}_{i}. Comme C × {A}^{n+1} est compacte, cette image est compacte.

Remarque 5.5.5 Soit maintenant K un convexe. On peut essayer de trouver une partie minimale de K qui engendre K, c’est-à-dire dont K soit l’enveloppe convexe. Une telle partie doit évidemment contenir les points de K qui ne sont pas barycentres d’autres points de K (autrement que de fa\c{c}on triviale). Nous allons voir que pour un convexe compact, ces points suffisent presque à engendrer K.

Définition 5.5.3 Soit K un convexe. Un point x de K est dit un point extrémal de K si on a

\mathop{∀}y,z ∈ K,\quad x ∈ [y,z] ⇒ x = y\text{ ou }x = z

Un sous-ensemble S de K est dit extrémal si

\mathop{∀}y,z ∈ K,\quad ]y,z[∩S\mathrel{≠}∅⇒ y ∈ S\text{ et }z ∈ S

Lemme 5.5.7 Soit K un convexe compact, f une forme linéaire sur E, μ ={\mathop{ sup}}_{x∈K}f(x). Alors K' = \{x ∈ K\mathrel{∣}f(x) = μ\} est un sous-ensemble compact extrémal de K.

Démonstration En effet, soit y,z ∈ K, x ∈]y,z[∩K' ; on a f(x) = μ avec x = ty + (1 − t)z et t ∈]0,1[. Alors μ = tf(y) + (1 − t)f(z) avec t > 0, 1 − t > 0, f(y) ≤ μ, f(z) ≤ μ ; ceci n’est possible que si f(y) = μ et f(z) = μ, soit y ∈ K' et z ∈ K'.

Théorème 5.5.8 (Krein-Millman). Soit E un -espace vectoriel de dimension finie et K un convexe compact de E. Alors K est l’adhérence de l’enveloppe convexe de ses points extrémaux.

Démonstration Nous montrerons ce résultat par récurrence sur \mathop{dim} E (le cas de la dimension 1 est laissé au lecteur). Soit P l’ensemble des compacts extrémaux non vides de K. Remarquons que tout intersection d’éléments de P est soit vide, soit encore dans P. Soit S ∈P. Montrons tout d’abord que S contient un point extrémal. Si toute forme linéaire f est constante sur S, alors S est un singleton réduit à un point extrémal. Sinon, soit f une forme linéaire non constante sur S, μ ={\mathop{ sup}}_{x∈S}f(x) et S' = \{x ∈ S\mathrel{∣}f(x) = μ\}. Alors S' est un sous ensemble convexe compact de l’hyperplan H d’équation f(x) = μ. En vectorialisant cet hyperplan, on obtient par récurrence que S' admet un point extrémal x.

Montrons par l’absurde que x est un point extrémal de K. Si x ∈]y,z[ avec y,z ∈ K, on a ]y,z[∩S\mathrel{≠}∅, donc y ∈ S et z ∈ S. Mais comme S' est un sous-ensemble extrémal de S et ]y,z[∩S'\mathrel{≠}∅, on a y,z ∈ S' ; ceci contredit le fait que x soit un point extrémal de S'. On a donc montré que toute partie compacte extrémale contenait un point extrémal.

Soit donc {K}_{0} l’adhérence de l’enveloppe convexe des points extrémaux de K. On a {K}_{0} ⊂ K et puisque tout ensemble extrémal contient un point extrémal, {K}_{0} rencontre tout ensemble extrémal. Supposons que {K}_{0}\mathrel{≠}K et soit x ∈ K ∖ {K}_{0}. D’après le théorème de Hahn Banach, il existe une forme linéaire f telle que f(x) >{\mathop{ sup}}_{y∈{K}_{0}}f(y). Soit μ ={\mathop{ sup}}_{z∈K}f(z) et S = \{z ∈ K\mathrel{∣}f(z) = μ\}. S est non vide (une fonction continue sur un compact atteint sa borne supérieure), extrémal d’après le lemme précédent et S ∩ {K}_{0} = ∅ (car si y ∈ {K}_{0}, f(y) < f(x) ≤ μ). Donc S est un sous-ensemble extrémal qui ne contient aucun point extrémal. C’est absurde. Donc K = {K}_{0}.

Exemple 5.5.1 Un polygone et plus généralement un polyèdre est enveloppe convexe de ses sommets.

Remarque 5.5.6 En dimension finie, on peut affiner le résultat en montrant qu’en fait K est l’enveloppe convexe de ses points extrémaux, et pas seulement l’adhérence de l’enveloppe convexe. Ceci nécessite une version plus fine de Hahn-Banach.