1.3 Groupes

1.3.1 Définitions et première propriété

Définition 1.3.1 On dit qu’un couple (G,∗) d’un ensemble G et d’une loi interne sur G est un groupe si la loi est associative, possède un élément neutre et si tout élément a un inverse, autrement dit

Remarque 1.3.1 On montre alors que l’élément neutre est unique, de même que l’inverse d’un élément. On dit que le groupe est abélien ou commutatif si la loi est commutative (x ∗ y = y ∗ x). Enfin un groupe possède la propriété essentielle suivante

Proposition 1.3.1 Pour tout a ∈ G, les applications x\mathrel{↦}a ∗ x et x\mathrel{↦}x ∗ a sont des bijections de G dans G.

Démonstration En effet, si a' désigne l’inverse de a, a ∗ x = a ∗ y ⇒ a' ∗ a ∗ x = a' ∗ a ∗ y ⇒ x = y.

Notations habituelles Les groupes sont en général notés multiplicativement (xy) ou additivement (x + y). Les conventions suivantes sont alors utilisées




Notation multiplicative additive



x ∗ y xy x + y
élément neutre {e}_{G} ou e{0}_{G} ou 0
inverse {x}^{−1} − x
puissance {x}^{n} nx



Définition 1.3.2 Soit G un groupe. On dit que deux éléments x et y de G sont conjugués s’il existe g ∈ G tel que y = gx{g}^{−1}.

Remarque 1.3.2 On montre facilement qu’il s’agit d’une relation d’équivalence sur G, dont les classes d’équivalence sont appelées les classes de conjugaison.

1.3.2 Sous-groupes

On dit qu’une partie H de G en est un sous-groupe si elle est stable pour la loi interne et est munie d’une structure de groupe pour la loi induite. On montre alors facilement que l’élément neutre de H doit être celui de G, de même que l’inverse d’un élément dans G doit être le même que l’inverse dans H. On aboutit alors aux deux caractérisations suivantes :

Proposition 1.3.2 (Caractérisation 1) Une partie H de G en est un sous-groupe si et seulement si elle vérifie (i) H\mathrel{≠}∅, (ii)\mathop{∀}x,y ∈ H, xy ∈ H, (iii) \mathop{∀}x ∈ H, {x}^{−1} ∈ H.

Démonstration Les conditions sont bien entendu nécessaires. Elles sont également suffisantes car si H vérifie ces conditions, il contient un élément x donc aussi {x}^{−1}, donc aussi {e}_{G} = x{x}^{−1}. Comme de plus H est stable pour la loi de groupe, c’est un sous-groupe de G.

Proposition 1.3.3 (Caractérisation 2) Une partie H de G en est un sous-groupe si et seulement si elle vérifie (i) H\mathrel{≠}∅, (ii)\mathop{∀}x,y ∈ H, x{y}^{−1} ∈ H.

Démonstration Les conditions sont bien entendu nécessaires. Elles sont également suffisantes car si H vérifie ces conditions, il contient un élément x, donc aussi {e}_{G} = x{x}^{−1} (prendre y = x). Mais alors {e}_{G},x ∈ G ⇒ {x}^{−1} = {e}_{G}{x}^{−1} ∈ G et donc x,y ∈ G ⇒ x,{y}^{−1} ∈ G ⇒ xy = x{({y}^{−1})}^{−1} ∈ G ce qui ramène à la première caractérisation.

Exemple 1.3.1 \{e\} et G sont bien évidemment des sous-groupes de G (dits triviaux). De même Z(G) = \{x ∈ G\mathrel{∣}\mathop{∀}y ∈ G, xy = yx\} est un sous-groupe de G appelé le centre de G.

Remarque 1.3.3 On vérifie immédiatement que toute intersection de sous-groupes est encore un sous groupe à l’aide de la première caractérisation et du fait que tout sous-groupe contient {e}_{G} (ce qui garantit que l’intersection est non vide). On obtient donc la proposition suivante

Proposition 1.3.4 Soit A une partie de G. Alors l’ensemble des sous-groupes de G qui contiennent A admet un plus petit élément (pour l’inclusion). On l’appelle le groupe engendré par la partie A et on le note \mathop{Groupe}(A) ou \langle A\rangle . On a les deux caractérisations suivantes

\begin{eqnarray*} \mathop{Groupe}(A)& =& {\mathop{⋂ }}_{{ H\text{ sous-groupe de }G \atop A⊂H} }H %& \\ & =& \{{x}_{1}\mathop{\mathop{…}}{x}_{k}\mathrel{∣}k ≥ 0\text{ et }{x}_{i} ∈ A ∪ {A}^{−1}\}%& \\ \end{eqnarray*}

Démonstration La première caractérisation est évidente, puisque {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{{ H\text{ sous-groupe de }G \atop A⊂H} }H est un sous-groupe de G (comme intersection de sous-groupes de G), contenant A et inclus dans tout sous-groupe de G contenant A.

En ce qui concerne la seconde (plus constructive), posons H = \{{x}_{1}\mathop{\mathop{…}}{x}_{k}\mathrel{∣}k ≥ 0\text{ et }{x}_{i} ∈ A ∪ {A}^{−1}\}. L’une quelconque des caractérisations des sous-groupes montre que H est un sous-groupe de G ; il contient bien évidemment A. De plus, si H' est un sous-groupe de G contenant A, il doit contenir tous les éléments de A, tous leurs inverses, et tous les produits d’éléments de A et de leurs inverses, donc il doit contenir H. Donc H est bien le plus petit sous-groupe de G contenant A.

1.3.3 Quotient par un sous-groupe

Considérons H un sous-groupe de G. Un calcul élémentaire montre le résultat suivant

Théorème 1.3.5 La relation définie par x ℛ y \mathrel{⇔} {x}^{−1}y ∈ H est une relation d’équivalence sur G. Si x appartient à G, la classe d’équivalence de x est xH = \{xh\mathrel{∣}h ∈ H\} (en particulier la classe de e est H). L’ensemble quotient G∕ℛ est noté G∕H.

Démonstration On a

  • {e}_{G} = {x}^{−1}x ∈ H ⇒ xℛx (réflexivité)
  • xℛy ⇒ {x}^{−1}y ∈ H ⇒ {({x}^{−1}y)}^{−1} ∈ H ⇒ {y}^{−1}x ∈ H ⇒ yℛx (symétrie)
  • xℛy et yℛz ⇒ {x}^{−1}y,{y}^{−1}z ∈ H ⇒ {x}^{−1}z = {x}^{−1}y{y}^{−1}z ∈ H ⇒ xℛz (transitivité)

On a de même

Théorème 1.3.6 La relation ℛ' définie par x ℛ'y \mathrel{⇔} y{x}^{−1} ∈ H est une relation d’équivalence sur G. Si x appartient à G, la classe d’équivalence de x est Hx = \{hx\mathrel{∣}h ∈ H\} (en particulier la classe de e est H). L’ensemble quotient G∕ℛ' est noté H∖G.

Remarque 1.3.4 Bien évidemment, si le groupe G est commutatif, les deux relations sont confondues ainsi que les deux ensembles G∕H et H∖G.

Lorsque le groupe est noté additivement, on a x ℛ y \mathrel{⇔} x − y ∈ H et {C}_{ℛ}(x) = x + H.

Théorème 1.3.7 Soit G un groupe commutatif (noté additivement) et H un sous-groupe de G. On définit alors une loi de groupe sur G∕H en posant

(x + H) + (y + H) = (x + y) + H

Le groupe ainsi obtenu est appelé groupe quotient du groupe commutatif G par le sous-groupe H.

Démonstration Le principal point est de vérifier que l’on définit bien une application, c’est à dire que si x + H = x' + H et y + H = y' + H, alors x + y + H = x' + y' + H. Mais dans ce cas, il existe h et h' dans H tels que x' = x + h et y' = y + h', d’où

\begin{eqnarray*} (x' + y') + H& =& (x + h + y + h') + H %& \\ & =& (x + y) + (h + h' + H) = (x + y) + H%& \\ \end{eqnarray*}

puisque h + h' ∈ H et que \mathop{∀}h ∈ H, h + H = H. (On remarquera le rôle essentiel joué par la commutativité du groupe G lors de ce calcul.)

A partir de là, dans G∕H, l’associativité est évidente, l’élément neutre est 0 + H = H et l’opposé de x + H est (−x) + H.

Lorsque le groupe n’est pas commutatif, on est amené à introduire les notions suivantes :

Définition 1.3.3 On dit qu’un sous-groupe H de G est distingué dans G si

\mathop{∀}x ∈ G,\mathop{∀}h ∈ H, xh{x}^{−1} ∈ H

(autrement dit H est stable par conjugaison par tous les éléments de G).

Exemple 1.3.2 \{e\},G,Z(G) sont des sous-groupes distingués de G.

Dans un groupe abélien, tout sous-groupe est distingué.

On a alors

Théorème 1.3.8 Soit H un sous-groupe de G. Alors les relations d’équivalences et ℛ' définies ci dessus coïncident si et seulement si H est distingué dans G. Dans ce cas on a \mathop{∀}x ∈ G, xH = Hx. L’ensemble G∕H est muni d’une structure de groupe en posant xH.yH = xyH.

Démonstration Les deux relations d’équivalences sont égales si et seulement si leurs classes d’équivalences sont égales. On a donc

\begin{eqnarray*} ℛ = ℛ'& \mathrel{⇔} & \mathop{∀}x ∈ G, xH = Hx %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}x ∈ G, xH{x}^{−1} = H %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}x ∈ G, xH{x}^{−1} ⊂ H\text{ et }H ⊂ xH{x}^{−1}%& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}x ∈ G, xH{x}^{−1} ⊂ H\text{ et }{x}^{−1}Hx ⊂ H%& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}x ∈ G, xH{x}^{−1} ⊂ H %& \\ \end{eqnarray*}

(car x ∈ G ⇒ {x}^{−1} ∈ G). Or ceci équivaut au fait que H soit distingué dans G.

En ce qui concerne la structure de groupe sur G∕H, le seul point non évident est le fait que l’on définit bien une application en posant xH.yH = xyH, c’est-à-dire que si xH = x'H et yH = y'H, alors x'y'H = xyH ; mais dans ce cas il existe h,k ∈ H tels que x' = xh, y' = yk, d’où x'y' = xhyk = xy({y}^{−1}hy)k. Mais, comme H est distingué dans G, y ∈ G,h ∈ H ⇒ {y}^{−1}hy ∈ H et donc k' = ({y}^{−1}hy)k ∈ H, soit k'H = H (car H est invariant par ses propres translations). On a donc x'y'H = xyk'H = xyH, ce qu’il fallait démontrer.

1.3.4 Morphisme de groupes

Définition 1.3.4 On dit que f:G → G' est un morphisme de groupes si \mathop{∀}x,y ∈ G, f(xy) = f(x)f(y).

Exemple 1.3.3 Soit (G,+) un groupe commutatif et H un sous-groupe . Alors l’application π:G → G∕H définie par π(x) = x + H est par définition un morphisme de groupes.

Proposition 1.3.9 Soit f:G → G' un morphisme de groupes. Alors f({e}_{G}) = {e}_{G'} et \mathop{∀}x ∈ G, f({x}^{−1}) = f{(x)}^{−1}. Pour tout sous-groupe H de G, f(H) est un sous-groupe de G'. Pour tout sous-groupe (resp. sous-groupe distingué) H' de G', {f}^{−1}(H') est un sous-groupe (resp. sous-groupe distingué) de G.

Démonstration Vérification laissée au lecteur.

Théorème 1.3.10 Soit f:G → G' un morphisme de groupes. Alors \mathop{\mathrm{Ker}}f = \{x ∈ G\mathrel{∣}f(x) = {e}_{G'}\} est un sous-groupe distingué de G appelé le noyau de f et \mathop{\mathrm{Im}}f = f(G) est un sous-groupe de G' appelé l’image de f.

On a le résultat essentiel suivant

Théorème 1.3.11 Soit f:G → G' un morphisme de groupes. Alors f est injectif si et seulement si \mathop{\mathrm{Ker}}f = \{{e}_{G}\}.

Démonstration La vérification est immédiate puisque

\begin{eqnarray*} f(x) = f(y)& \mathrel{⇔} & f(x)f{(y)}^{−1} = {e}_{ G'} \mathrel{⇔} f(x{y}^{−1}) = {e}_{ G'}%& \\ & \mathrel{⇔} & x{y}^{−1} ∈\mathop{\mathrm{Ker}}f %& \\ \end{eqnarray*}

Théorème 1.3.12 (factorisation canonique). Soit f:G → G' un morphisme de groupes, G étant commutatif et noté additivement. Alors il existe une unique application \overline{f} : G∕\mathop{\mathrm{Ker}}f →\mathop{\mathrm{Im}}f vérifiant \mathop{∀}x ∈ G, \overline{f}(x +\mathop{ \mathrm{Ker}}f) = f(x). L’application \overline{f} est un isomorphisme de groupes.

Démonstration L’unicité est claire puisque tout élément de G∕\mathop{\mathrm{Ker}}f peut s’écrire sous la forme x +\mathop{ \mathrm{Ker}}f. Par contre l’existence de \overline{f} n’est pas évidente car l’écriture d’un élément de G∕\mathop{\mathrm{Ker}}f sous la forme x +\mathop{ \mathrm{Ker}}f n’est pas unique. Il nous faut donc montrer que x +\mathop{ \mathrm{Ker}}f = y +\mathop{ \mathrm{Ker}}f ⇒ f(x) = f(y), mais on a

\begin{eqnarray*} x +\mathop{ \mathrm{Ker}}f = y +\mathop{ \mathrm{Ker}}f& \mathrel{⇔} & x − y ∈\mathop{\mathrm{Ker}}f %& \\ & \mathrel{⇔} & f(x − y) = 0 %& \\ & \mathrel{⇔} & f(x) − f(y) = 0%& \\ & \mathrel{⇔} & f(x) = f(y) %& \\ \end{eqnarray*}

L’injectivité en résulte également, puisqu’en lisant les implications de droite à gauche on obtient

\begin{eqnarray*} \overline{f}(x +\mathop{ \mathrm{Ker}}f) = \overline{f}(y +\mathop{ \mathrm{Ker}}f)& ⇒& f(x) = f(y) %& \\ & ⇒& x +\mathop{ \mathrm{Ker}}f = y +\mathop{ \mathrm{Ker}}f%& \\ \end{eqnarray*}

La surjectivité est évidente et le fait que \overline{f} soit un morphisme de groupes nécessite une vérification élémentaire.

Remarque 1.3.5 On a donc le diagramme suivant

\matrix{\,G &f \mathop{→}&G' \cr ↓ π& &↑ i \cr G∕\mathop{\mathrm{Ker}}f&\overline{f} \mathop{→}&\mathop{\mathrm{Im}}f}

i désigne la restriction de l’identité i:\mathop{\mathrm{Im}}f → G, y\mathrel{↦}y

1.3.5 Le groupe

Théorème 1.3.13 (division euclidienne) Soit n ∈ ℤ,a ∈ ℕ ∖\{0\} ; alors il existe un unique couple (q,r) ∈ {ℤ}^{2} vérifiant

  • n = aq + r
  • 0 ≤ r < a

Démonstration Si on a n = aq + r = aq' + r', on a a(q − q') = r' − r avec r' − r ∈−a,a ; comme q − q' est un entier, ceci nécessite r' − r = 0, soit r' = r et donc q' = q, d’où l’unicité.

En ce qui concerne l’existence, on considère X = \{p ∈ ℤ\mathrel{∣}n − ap ≥ 0\} ; X n’est pas vide car il contient 0 si n ≥ 0 et n si n < 0 ; de plus, il est majoré par n si n ≥ 0 et par 0 si n < 0 (facile). Il admet donc un plus grand élément, noté q. On a donc n − aq ≥ 0 et n − a(q + 1) < 0, soit encore, en posant r = n − aq, 0 ≤ r < q, ce que l’on voulait.

Théorème 1.3.14 Les sous-groupes du groupe (ℤ,+) sont exactement les mℤ pour m ∈ ℕ.

Démonstration Il est clair que les mℤ pour m ∈ ℕ sont des sous-groupes de . Inversement, soit H un sous-groupe de . Si H = \{0\}, alors H = 0ℤ ; sinon, il contient un élément x\mathrel{≠}0 et comme il contient également − x, on peut supposer x > 0 ; soit donc a =\mathop{ min}\{y > 0\mathrel{∣}y ∈ H\}, on a a ∈ H et a > 0. Comme a ∈ H et que H est un sous-groupe additif, on a aℤ ⊂ H. Inversement, soit x ∈ H ; on peut écrire x = aq + r avec 0 ≤ r < a ; on a r = x − aq et comme x ∈ H,aq ∈ aℤ ⊂ H, on a r ∈ H. Comme r < a =\mathop{ min}\{y > 0\mathrel{∣}y ∈ H\}, on a forcément r = 0, et donc x ∈ aℤ ; donc H ⊂ aℤ et donc H = aℤ.

Remarque 1.3.6 Ceci nous permettra de parler du groupe quotient ℤ∕mℤ. On notera \overline{x} pour la classe x + mℤ d’un élément x de (m étant fixé). On a donc \overline{x} = \overline{y} \mathrel{⇔} m\mathrel{∣}x − y.

1.3.6 Ordre d’un élément

Définition 1.3.5 Soit G un groupe et x ∈ G. On dispose alors d’un morphisme de groupes {f}_{x} : ℤ → G défini par {f}_{x}(n) = {x}^{n}. Son noyau est un sous-groupe de , donc de la forme \mathop{\mathrm{Ker}}{f}_{x} = {m}_{x}ℤ, {m}_{x} ∈ ℕ. Deux cas sont alors possibles

  • Premier cas : {m}_{x} = 0, autrement dit {f}_{x} est injectif. On dit alors que x est d’ordre infini (ce n’est évidemment possible que si G est infini, puisque l’est).
  • Deuxième cas : {m}_{x} > 0, autrement dit {f}_{x} n’est pas injectif. On dit alors que x est d’ordre fini et on appelle {m}_{x} l’ordre de x.

Proposition 1.3.15 On a aussi {m}_{x} =\mathop{ min}\{n > 0\mathrel{∣}{x}^{n} = e\} et {m}_{x} est le cardinal du sous-groupe \langle x\rangle de G engendré par x.

Remarque 1.3.7 On a pour un élément x d’ordre fini m, \langle x\rangle = \{e,x,{x}^{2},\mathop{\mathop{…}},{x}^{m−1}\}, l’application de ℤ∕nℤ dans \langle x\rangle , \overline{k}\mathrel{↦}{x}^{k} est un isomorphisme de groupes.

1.3.7 Groupes finis

Théorème 1.3.16 (de Lagrange) Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Alors on a

\mathop{Card}G =\mathop{ Card}H.\mathop{Card}G∕H

et en particulier \mathop{Card}H divise \mathop{Card}G.

Démonstration En effet les éléments de G∕H sont les classes d’équivalence xH ; elles sont toutes de cardinal \mathop{Card}H (car l’application h\mathrel{↦}xh est injective), elles forment une partition de G et sont au nombre de \mathop{Card}G∕H.

Corollaire 1.3.17 Soit G un groupe fini. Alors tout élément de G est d’ordre fini divisant le cardinal de G. En particulier, \mathop{∀}x ∈ G, {x}^{|G|} = e.

Démonstration On a vu en effet que l’ordre de x est le cardinal du sous-groupe de G engendré par x.

Corollaire 1.3.18 (Fermat). Soit p un nombre premier. On a \mathop{∀}x ∈ ℤ∕pℤ ∖\{0\}, {x}^{p−1} = 1 et \mathop{∀}x ∈ ℤ∕pℤ, {x}^{p} = x.

Démonstration ℤ∕pℤ ∖\{0\} est en effet un groupe pour la multiplication, de cardinal p − 1, et donc, si x ∈ ℤ∕pℤ ∖\{0\}, {x}^{p−1} = 1.

1.3.8 Groupes cycliques

Définition 1.3.6 On dit qu’un groupe G est cyclique s’il est fini et engendré par un élément a.

Remarque 1.3.8 Le cardinal du groupe est égal à l’ordre m d’un de ses générateurs. Tout groupe cyclique est isomorphe à un groupe (ℤ∕mℤ,+). Un tel groupe est donc abélien.

Proposition 1.3.19 Soit G un groupe cyclique de cardinal m engendré par un élément a. Alors les générateurs de G sont exactement les {a}^{k} avec 1 ≤ k < m, k premier avec m.

Démonstration En effet, soit x un générateur de G, alors x s’écrit sous la forme x = {a}^{k}. De plus, il doit exister tel que a = {x}^{ℓ} = {a}^{kℓ}. On a donc {a}^{kℓ−1} = e, et donc m divise kℓ − 1 ; il existe donc n ∈ ℤ tel que kℓ − 1 = mn, soit kℓ + mn = 1 ; d’après le théorème de Bézout, k et m sont premiers entre eux.

En remontant les implications précédentes, on voit que si k et m sont premiers entre eux, alors il existe tel que a = {x}^{ℓ} ; tout élément de G s’écrivant sous la forme {a}^{q} s’écrira également sous la forme {x}^{ℓq} et donc x est un générateur de G.

Remarque 1.3.9 En notation additive, si le groupe cyclique est engendré par a, ses générateurs sont les kak et m sont premiers entre eux. En particulier, les générateurs de (ℤ∕mℤ,+) sont les k\overline{1} = \overline{k} avec k et m premiers entre eux.

Proposition 1.3.20 Tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique, tout quotient d’un groupe cyclique est cyclique. Tout groupe de cardinal premier est cyclique, engendré par n’importe lequel de ses éléments distinct de l’élément neutre.

Démonstration Si G est un groupe cyclique engendré par a et H un sous-groupe de G, alors G∕H est clairement engendré par π(a)π est la projection canonique de G sur G∕H, puisque π(x) = π({a}^{k}) = π{(a)}^{k} ; donc G∕H est cyclique. Montrons que H l’est également, et pour cela soit n =\mathop{ min}\{k > 0\mathrel{∣}{a}^{k} ∈ H\} (l’ensemble est non vide car il contient m puisque {a}^{m} = e ∈ H). Soit alors x ∈ H ; on peut écrire x = {a}^{k}. Effectuons la division euclidienne de k par n ; on peut écrire k = nq + r avec 0 ≤ r < n. On a alors {a}^{r} = {a}^{k−nq} = {a}^{k}{a}^{−nq} = {a}^{k}{x}^{−q}, ce qui implique que {a}^{r} ∈ H et donc nécessite r = 0 (puisque r < n =\mathop{ min}\{k > 0\mathrel{∣}{a}^{k} ∈ H\}) ; on a donc x = {a}^{nq} = {({a}^{n})}^{q} ce qui montre que {a}^{n} est un générateur de H.

1.3.9 Groupe opérant sur un ensemble

Soit G un groupe, X un ensemble et φ : G × X → X une application, notée φ(g,x) = g.x.

Définition 1.3.7 On dit que φ est une loi de groupe opérant sur un ensemble si on a les deux propriétés (i)\mathop{∀}x ∈ X,e.x = x (ii)\mathop{∀}g,g' ∈ G,\mathop{∀}x ∈ X, g.(g'.x) = (gg').x.

Remarque 1.3.10 Notons {σ}_{g} : X → X, x\mathrel{↦}g.x. On voit que σ est un morphisme de groupes de G dans le groupe \mathop{Perm}(X) des permutations de l’ensemble X. Inversement la donnée d’un tel morphisme de groupes définit une loi de groupe opérant sur un ensemble.

Définition 1.3.8 Soit x ∈ X On note \mathop{Stab}(x) = \{g ∈ G\mathrel{∣}g.x = x\} ⊂ G et \mathop{Orb}(x) = \{g.x\mathrel{∣}g ∈ G\} ⊂ X appelés stabilisateur et orbite de x.

Théorème 1.3.21 L’application G∕\mathop{Stab}(x) →\mathop{ Orb}(x), g\mathop{Stab}(x)\mathrel{↦}g.x est bien définie et c’est une bijection. La relation sur X définie par xℛy \mathrel{⇔} \mathop{∃}g ∈ G,y = g.x est une relation d’équivalence sur X dont les classes d’équivalence sont exactement les orbites ; deux orbites sont donc soit disjointes, soit égales.

Démonstration En effet on a

\begin{eqnarray*} g\mathop{Stab}(x) = g'\mathop{Stab}(x)& \mathrel{⇔} & {g}^{−1}g' ∈\mathop{ Stab}(x)%& \\ & \mathrel{⇔} & {g}^{−1}g'.x = x %& \\ & \mathrel{⇔} & g'.x = g.x %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre à la fois que l’application est bien définie et qu’elle est injective, sa surjectivité étant évidente.

Le fait que la relation soit une relation d’équivalence est immédiat, ainsi que le fait que les classes d’équivalence en soient les orbites.

Corollaire 1.3.22 (formule des classes). Supposons l’ensemble X fini et soit Y un ensemble de représentants des orbites (c’est-à-dire que Y contient un et un seul élément de chaque orbite). Alors

\mathop{Card}(X) ={ \mathop{∑ }}_{y∈Y } Card(G∕Stab(y))

Démonstration En effet les \mathop{Orb}(y), y ∈ Y forment une partition de X et chaque orbite est en bijection avec le quotient G∕\mathop{Stab}(y) correspondant.

1.3.10 Groupe des permutations d’un ensemble fini

Définition 1.3.9 Soit X un ensemble fini. On appelle permutation de X toute bijection de X dans X. L’ensemble {S}_{X} des permutations de X est muni par la composition d’une structure de groupe fini. Si \mathop{Card}X = n alors \mathop{Card}{S}_{X} = n!.

Remarque 1.3.11 On vérifie immédiatement que si deux ensembles ont le même cardinal, leurs groupes des permutations sont isomorphes. Par la suite on considérera {S}_{n} = {S}_{[1,n]}.

Définition 1.3.10 Soit σ ∈{S}_{n}. On appelle orbite de σ toute orbite pour l’action du groupe \langle σ\rangle sur [1,n], autrement dit x et y sont dans la même orbite si et seulement si \mathop{∃}k ∈ ℤ, y = {σ}^{k}(x). On dit que σ est un cycle si σ a une seule orbite non réduite à un élément (appelée le support du cycle).

Remarque 1.3.12 Soit σ un cycle et x dans son support. Alors le support de σ est exactement

\{x,σ(x),{σ}^{2}(x),\mathop{\mathop{…}},{σ}^{k−1}(x)\}

et {σ}^{k}(x) = x. σ agit sur ce support par permutation circulaire et laisse fixe tous les autres éléments.

Proposition 1.3.23 L’ordre d’un cycle est égal au cardinal de son support. Deux cycles sont conjugués si et seulement si ils ont même ordre. Deux cycles de supports disjoints commutent.

Démonstration Si le support de x est X = \{x,σ(x),{σ}^{2}(x), \mathop{\mathop{…}},{σ}^{k−1}(x)\}, il est clair que {σ}^{k} = \mathrm{Id} (vérifier que {σ}^{k}(y) = y pour tous les éléments de l’orbite, pour les autres cela résulte de σ(y) = y). De plus, si p < k, on a {σ}^{p}(x)\mathrel{≠}x et donc {σ}^{p}\mathrel{≠}\mathrm{Id} ce qui montre bien que k est l’ordre de σ.

Il est clair que deux éléments conjugués ont même ordre ; inversement considérons deux cycles {σ}_{1} et {σ}_{2} de même ordre k. L’un a une orbite \{x,{σ}_{1}(x),{σ}_{1}^{2}(x), \mathop{\mathop{…}},{σ}_{1}^{k−1}(x)\} et l’autre une orbite \{y,{σ}_{2}(y),{σ}_{2}^{2}(y), \mathop{\mathop{…}},{σ}_{2}^{k−1}(y)\}. Si l’on prend une permutation τ vérifiant

τ(y) = x,τ({σ}_{2}(y)) = {σ}_{1}(x),\mathop{\mathop{…}},τ({σ}_{2}^{k−1}(y)) = {σ}_{ 1}^{k−1}(x)

(l’existence d’une telle permutation est évidente), on vérifie que τ ∘ {σ}_{2} = {σ}_{1} ∘ τ, c’est-à-dire que {σ}_{2} = {τ}^{−1} ∘ {σ}_{1} ∘ τ.

On vérifie immédiatement que deux cycles de supports disjoints commutent.

Théorème 1.3.24 Toute permutation σ s’écrit, de manière unique à l’ordre près, comme produit de cycles de supports deux à deux disjoints (donc ces cycles commutent deux à deux). Les supports de ces cycles sont exactement les orbites de σ non réduites à un élément.

Démonstration On note {A}_{1},\mathop{\mathop{…}},{A}_{k} les orbites de x non réduites à un élément et on définit {σ}_{i} par {σ{}_{i}}_{{|}_{{A}_{ i}}} = {σ}_{{|}_{{A}_{i}}} et {σ}_{i}(x) = x pour x\mathrel{∉}{A}_{i}. Alors {σ}_{i} est un cycle de support {A}_{i} et on vérifie que σ = {σ}_{1}\mathop{\mathop{…}}{σ}_{k}, ce qui montre l’existence de la décomposition. Pour l’unicité, il suffit de remarquer que si {σ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{σ}_{k} sont des cycles de supports deux à deux disjoints, les orbites de σ = {σ}_{1}\mathop{\mathop{…}}{σ}_{k} sont exactement les orbites {A}_{i} des {σ}_{i} et que {σ{}_{i}}_{{|}_{{A}_{ i}}} = {σ}_{{|}_{{A}_{i}}}.

Remarque 1.3.13 La démonstration précédente suppose implicitement que la permutation n’est pas l’identité. Par convention, l’identité sera considérée comme le produit de zéro cycles (c’est une convention habituelle en mathématiques de considérer qu’une somme vide est nulle et qu’un produit vide est l’élément unité).

Définition 1.3.11 On appelle transposition tout cycle d’ordre 2.

Remarque 1.3.14 Une transposition est définie par son orbite \{x,y\}. On a σ(x) = y, σ(y) = x et σ(k) = k pour k\mathrel{∉}\{x,y\}. On notera σ = {τ}_{x,y}.

Théorème 1.3.25 Toute permutation est produit de transpositions.

Démonstration Par récurrence sur n. Si n = 2, la permutation est soit l’identité qui est produit de 0 transpositions, soit la transposition qui échange 1 et 2. Supposons donc le résultat vrai pour n − 1 et soit σ une permutation de \{1,\mathop{\mathop{…}},n\}. Si σ(n) = n, alors la restriction σ' de σ à \{1,\mathop{\mathop{…}},n − 1\} est une permutation de \{1,\mathop{\mathop{…}},n − 1\}, et donc est produit de transpositions σ' = {τ}_{1}'\mathop{\mathop{…}}{τ}_{k}'. On prolonge les {τ}_{i}' en {τ}_{i} en posant {τ}_{i}(n) = n et on obtient des transpositions de \{1,\mathop{\mathop{…}},n\} qui vérifient σ = {τ}_{1}\mathop{\mathop{…}}{τ}_{k}. Si σ(n) = p\mathrel{≠}n, on pose {σ}_{1} = {τ}_{p,n}σ ; alors {σ}_{1}(n) = n et d’après le premier cas étudié, on peut écrire {τ}_{p,n}σ = {σ}_{1} = {τ}_{1}\mathop{\mathop{…}}{τ}_{k}, d’où (une transposition étant involutive) σ = {τ}_{p,n}{τ}_{1}\mathop{\mathop{…}}{τ}_{k}.

Remarque 1.3.15 Une telle décomposition n’est en aucune fa\c{c}on unique.

Définition 1.3.12 Soit σ une permutation. On appelle signature de σ le signe ε(σ) de l’expression {\mathop{\mathop{∏ }} }_{{ \{i,j\} \atop i\mathrel{≠}j} }{ σ(j)−σ(i) \over j−i} .

Remarque 1.3.16 La définition, qui comporte une indexation sur les paires \{i,j\} et non sur les couples (i,j) est justifiée par le fait que { σ(j)−σ(i) \over j−i} ={ σ(i)−σ(j) \over i−j} (qui ne dépend donc pas de l’ordre entre i et j).

Proposition 1.3.26 L’application ε : {S}_{n} →\{− 1,1\} est un morphisme de groupes multiplicatifs. La signature d’un cycle d’ordre k est {(−1)}^{k−1} (en particulier les transpositions sont de signature -1).

Démonstration On a

\begin{eqnarray*} {\mathop{∏ }}_{{ \{i,j\} \atop i\mathrel{≠}j} }{ στ(j) − στ(i) \over j − i} & =& {\mathop{∏ }}_{{ \{i,j\} \atop i\mathrel{≠}j} }{ στ(j) − στ(i) \over τ(j) − τ(i)} { τ(j) − τ(i) \over j − i} %& \\ & =& {\mathop{∏ }}_{{ \{i,j\} \atop i\mathrel{≠}j} }{ στ(j) − στ(i) \over τ(j) − τ(i)} {\mathop{∏ }}_{{ \{i,j\} \atop i\mathrel{≠}j} }{ τ(j) − τ(i) \over j − i} %& \\ \end{eqnarray*}

Mais l’application \{i,j\}\mathrel{↦}\{τ(i),τ(j)\} est une bijection de l’ensemble des paires dans lui même, et donc en posant i' = τ(i),j' = τ(j), on a

{\mathop{∏ }}_{{ \{i,j\} \atop i\mathrel{≠}j} }{ στ(j) − στ(i) \over j − i} ={ \mathop{∏ }}_{{ \{i',j'\} \atop i'\mathrel{≠}j'} }{ σ(j') − σ(i') \over j' − i'} {\mathop{∏ }}_{{ \{i,j\} \atop i\mathrel{≠}j} }{ τ(j) − τ(i) \over j − i}

et en prenant les signes ε(στ) = ε(σ)ε(τ) ce qui montre que σ est un morphisme de groupes multiplicatifs.

On en déduit que deux permutations conjuguées ont la même signature : ε(τσ{τ}^{−1}) = ε(τ)ε(σ)ε{(τ)}^{−1} = ε(σ) puisque \{ − 1,1\} est un groupe commutatif. Comme deux cycles de même ordre sont conjugués, pour calculer la signature d’un cycle d’ordre k, il suffit de calculer la signature du cycle σ d’ordre k qui effectue une permutation circulaire sur (1,2,\mathop{\mathop{…}},k) et qui laisse les autres éléments fixes ; mais pour ce cycle, les paires \{i,j\} telles que i < j et σ(i) > σ(j) (c’est-à-dire telles que { σ(j)−σ(i) \over j−i} < 0) sont exactement les paires \{1,k\},\{2,k\},\mathop{\mathop{…}},\{k − 1,k\} et il y en a k − 1 ; la signature est donc {(−1)}^{k−1} et en particulier, les transpositions sont de signature − 1.

Corollaire 1.3.27 Dans une décomposition de σ en produit de transpositions, la parité du nombre de ces transpositions est fixée : paire si ε(σ) = +1, impaire si ε(σ) = −1.