5.3 Espaces vectoriels normés de dimensions finies

5.3.1 Equivalence des normes

Lemme 5.3.1 Toutes les normes sur {ℝ}^{n} sont équivalentes.

Démonstration Posons \|x\| =\mathop{ max}|{x}_{i}| et montrons que toute autre norme N est équivalente à cette norme. Soit ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}}{e}_{n}) la base canonique de {ℝ}^{n} et x ∈ {ℝ}^{n}. On a N(x) = N(\mathop{\mathop{∑ }} {x}_{i}{e}_{i}) ≤\mathop{\mathop{∑ }} |{x}_{i}|N({e}_{i}) ≤\mathop{ max}|{x}_{i}|{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i}N({e}_{i}) = β\|x\|. On en déduit que |N(x) − N(y)|≤ N(x − y) ≤ β\|x − y\| ce qui démontre que l’application N : ({ℝ}^{n},\|.\|) → ℝ est continue. Soit S = \{x ∈ {ℝ}^{n}\mathrel{∣}\|x\| = 1\} ; S est une partie compacte de ({ℝ}^{n},\|.\|) (fermée bornée), donc l’application N y atteint sa borne inférieure. Soit α ={\mathop{ inf} }_{x∈S}N(x) = N({x}_{0}). On a {x}_{0}\mathrel{≠}0 (car {x}_{0} ∈ S) donc α > 0. Alors, si x ∈ {ℝ}^{n}, x\mathrel{≠}0, on a { x \over \|x\|} ∈ S soit N({ x \over \|x\|} ) ≥ α soit encore N(x) ≥ α\|x\|. On a donc trouvé α et β strictement positifs tels que \mathop{∀}x ∈ {ℝ}^{n}, α\|x\| ≤ N(x) ≤ β\|x\|, ce qu’il fallait démontrer.

Théorème 5.3.2 Sur un K-espace vectoriel normé de dimension finie toutes les normes sont équivalentes.

Démonstration Tout -espace vectoriel normé étant aussi un -espace vectoriel normé, il suffit de le montrer lorsque le corps de base est . Soit {N}_{1} et {N}_{2} deux normes sur E ; soit ℰ = ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E et u : {ℝ}^{n} → E définie par u({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) =\mathop{ \mathop{∑ }} {x}_{i}{e}_{i} (u est un isomorphisme d’espaces vectoriels). Alors {N}_{1} ∘ u et {N}_{2} ∘ u sont deux normes sur {ℝ}^{n} (facile), elles sont donc équivalentes, et donc il existe α et β strictement positifs tels que \mathop{∀}x ∈ {ℝ}^{n}, α{N}_{1}(u(x)) ≤ {N}_{2}(u(x)) ≤ β{N}_{1}(u(x)). Mais tout élément de E s’écrivant sous la forme u(x), on a, \mathop{∀}y ∈ E, α{N}_{1}(y) ≤ {N}_{2}(y) ≤ β{N}_{1}(y), ce qu’il fallait démontrer.

5.3.2 Propriétés topologiques et métriques des espaces vectoriels normés de dimension finie

Remarque 5.3.1 Tout -espace vectoriel normé étant aussi un -espace vectoriel normé, il suffit de considérer le cas où le corps de base est . Soit (E,\|.\|) un espace vectoriel normé de dimension finie, soit ℰ = ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E et u : {ℝ}^{n} → E définie par u({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) =\mathop{ \mathop{∑ }} {x}_{i}{e}_{i} (u est un isomorphisme d’espaces vectoriels). Alors N : x\mathrel{↦}\|u(x)\| est une norme sur {ℝ}^{n} qui est équivalente à la norme \|{.\|}_{∞} ; de plus l’application u : ({ℝ}^{n},N) → (E,\|.\|) est une isométrie ; on en déduit que (E,\|.\|) a, en tant qu’espace vectoriel normé, les mêmes propriétés que ({ℝ}^{n},\|{.\|}_{∞}) c’est-à-dire

Théorème 5.3.3 Tout espace vectoriel normé de dimension finie est complet ; les parties compactes en sont les fermés bornés.

Corollaire 5.3.4 Tout sous-espace vectoriel de dimension finie d’un espace vectoriel normé est fermé.

Démonstration Muni de la restriction de la norme, il est complet, donc fermé.

5.3.3 Continuité des applications linéaires

Théorème 5.3.5 Soit E et F deux espaces vectoriels normés, E étant supposé de dimension finie. Alors toute application linéaire de E dans F est continue.

Démonstration Soit ℰ = ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E ; comme toute les normes sur E sont équivalentes, on peut prendre la norme définie par \|x\| =\mathop{ sup}|{x}_{i}| si x =\mathop{ \mathop{∑ }} {x}_{i}{e}_{i}. On a alors

\begin{eqnarray*} \|u(x)\|& =& \|\mathop{∑ }{x}_{i}u({e}_{i})\| ≤\mathop{∑ }|{x}_{i}|\,\|u({e}_{i})\|%& \\ & ≤& \|x\|\mathop{∑ }\|u({e}_{i})\| = K\|x\| %& \\ \end{eqnarray*}

Ceci montre la continuité de l’application linéaire u.

Remarque 5.3.2 Ce résultat s’étend sans difficulté aux applications bilinéaires de {E}_{1} × {E}_{2} dans F à condition que {E}_{1} et {E}_{2} soient de dimensions finies ; de même pour des applications p-linéaires.