5.2 Applications linéaires continues

5.2.1 Caractérisations et normes des applications linéaires continues

Théorème 5.2.1 Soit E et F deux espaces vectoriels normés et u une application linéaire de E dans F. Alors les conditions suivantes sont équivalentes

Démonstration (i)(ii) est évident.

(ii)(iii) Puisque u(0) = 0 et que u est continue en 0, il existe η > 0 tel que \|x\| < η ⇒\| u(x)\| ≤ 1 ; si x ∈ B'(0,1), on a \|{ η \over 2} x\| ≤{ η \over 2} < η soit \|u({ η \over 2} x)\| ≤ 1 soit encore \|u(x)\| ≤{ 2 \over η} .

(iii)(iv) est évident puisque S(0,1) ⊂ B'(0,1)

(iv)(v) soit k ={\mathop{ sup}}_{x∈S(0,1)}\|u(x)\| et soit x ∈ E. Si x = 0, on a \|u(x)\| ≤ k\|x\| ; si x\mathrel{≠}0, on a { x \over \|x\|} ∈ S(0,1), soit \|u({ x \over \|x\|} )\| ≤ k, soit \|u(x)\| ≤ k\|x\|.

(v)(vi) on a \|u(x) − u(y)\| =\| u(x − y)\| ≤ k\|x − y\|, donc u est k-lipschitzienne.

(vi)(i) est évident

Théorème 5.2.2 Soit u : E → F une application linéaire continue. Alors on a l’égalité

\begin{eqnarray*} {\mathop{sup}}_{x\mathrel{≠}0}{ \|u(x)\| \over \|x\|} & =& {\mathop{sup}}_{\|x\|≤1}\|u(x)\| ={\mathop{ sup}}_{\|x\|=1}\|u(x)\| %& \\ & =& \mathop{inf} \{k ≥ 0\mathrel{∣}\mathop{∀}x ∈ E, \|u(x)\| ≤ k\|x\|\}%& \\ \end{eqnarray*}

Ce nombre est appelé la norme de l’application linéaire u et noté \|u\| ; on a \mathop{∀}x ∈ E, \|u(x)\| ≤\| u\|\,\|x\|.

Démonstration Appelons {M}_{1},{M}_{2},{M}_{3} et {M}_{4} les nombres en question dans l’ordre ci dessus. On a clairement {M}_{1} = {M}_{3} puisque S(0,1) = \{{ x \over \|x\|} \mathrel{∣}x\mathrel{≠}0\}. Comme S(0,1) ⊂ B'(0,1), on a {M}_{3} ≤ {M}_{2}. La démonstration ci dessus de (iv)(v) nous a montré que \mathop{∀}x ∈ E, \|u(x)\| ≤ {M}_{2}\|x\|, soit {M}_{4} ≤ {M}_{2}. Remarquons de plus que

\{k ≥ 0\mathrel{∣}\mathop{∀}x ∈ E, \|u(x)\| ≤ k\|x\|\} ={ \mathop{⋂ }}_{x\mathrel{≠}0}[{ \|u(x)\| \over \|x\|} ,+∞[

est un fermé de (intersection de fermés), donc contient sa borne inférieure ; on a donc \mathop{∀}x ∈ E, \|u(x)\| ≤ {M}_{4}\|x\|, soit pour x\mathrel{≠}0, { \|u(x)\| \over \|x\|} ≤ {M}_{4} et donc {M}_{1} ≤ {M}_{4}. Si on récapitule, on a montré que {M}_{1} ≤ {M}_{4} ≤ {M}_{2} ≤ {M}_{3} = {M}_{1} ce qui montre les égalités. On a vu de plus que \mathop{∀}x ∈ E, \|u(x)\| ≤ {M}_{4}\|x\|, soit encore \mathop{∀}x ∈ E, \|u(x)\| ≤\| u\|\,\|x\|.

5.2.2 L’espace vectoriel normé des applications linéaires continues de E dans F

Théorème 5.2.3 L’application u\mathrel{↦}\|u\| est une norme sur l’espace vectoriel des applications linéaires continues de E dans F.

Démonstration La formule \mathop{∀}x ∈ E, \|u(x)\| ≤\| u\|\,\|x\| montre que \|u\| = 0 ⇒ u = 0, la réciproque étant évidente. La formule \|u\| ={\mathop{ sup}}_{\|x\|=1}\|u(x)\| permet de montrer sans problème l’homogénéité et l’inégalité triangulaire.

Théorème 5.2.4 Soit u : E → F et v : F → G linéaires continues. Alors \|v ∘ u\| ≤\| v\|\,\|u\|.

Démonstration On a \|v ∘ u(x)\| ≤\| v\|\,\|u(x)\| ≤\| v\|\,\|u\|\,\|x\| et on sait que \|v ∘ u\| est le plus petit k tel que \mathop{∀}x ∈ E, \|v ∘ u(x)\| ≤ k\|x\|. Soit \|v ∘ u\| ≤\| v\|\,\|u\|.

Remarque 5.2.1 Cette propriété (dite de sous multiplicativité) de la norme est particulièrement commode pour ce type de norme sur l’espace vectoriel normé des applications linéaires continues de E dans F (normes dites subordonnées à des normes sur E et F) ; c’est ainsi que dans un espace de matrices, on aura souvent intérêt à poser \|A\| ={\mathop{ sup}}_{\|X\|=1}\|AX\| de fa\c{c}on à disposer d’une inégalité \|AB\| ≤\| A\|\,\|B\|.

Théorème 5.2.5 Si F est un espace vectoriel normé complet, l’espace vectoriel normé des applications linéaires continues de E dans F est complet.

Démonstration Soit ({u}_{n}) une suite d’applications linéaires continues qui est une suite de Cauchy pour la norme que l’on vient de définir. Soit x ∈ E, on a \|{u}_{p}(x) − {u}_{q}(x)\| ≤\| {u}_{p} − {u}_{q}\|\,\|x\|, ce qui montre que la suite ({u}_{n}(x)) est une suite de Cauchy dans F ; comme F est complet, elle converge vers une limite qui dépend de x et que nous noterons u(x). La relation {u}_{n}(αx + βy) = α{u}_{n}(x) + β{u}_{n}(y) donne par passage à la limite u(αx + βy) = αu(x) + βu(y) ce qui montre que u est linéaire. Soit ε > 0 et N ∈ ℕ tel que p,q ≥ N ⇒\| {u}_{p} − {u}_{q}\| < ε. Pour x ∈ E, q > n ≥ N, on a \|{u}_{q}(x) − {u}_{n}(x)\| ≤ ε\|x\|. Faisons tendre q vers + ∞ ; on obtient \|u(x) − {u}_{n}(x)\| ≤ ε\|x\| ; ceci montre tout d’abord que u − {u}_{n} est continue et donc u = (u − {u}_{n}) + {u}_{n} aussi, et que n ≥ N ⇒\| u − {u}_{n}\| ≤ ε, et donc que {u}_{n} converge vers u au sens de la norme des applications linéaires continues ; ceci achève la démonstration.

5.2.3 Equivalence des normes

Définition 5.2.1 Soit E un K-espace vectoriel . On dit que deux normes \|{.\|}_{1} et \|{.\|}_{2} sur E sont équivalentes si les distances associées sont équivalentes, c’est-à-dire s’il existe α,β > 0 tels que

\mathop{∀}x ∈ E,\quad α\|{x\|}_{1} ≤\| {x\|}_{2} ≤ β\|{x\|}_{1}

Théorème 5.2.6 Deux normes sont équivalentes si et seulement si elles définissent la même topologie.

Démonstration Si deux normes sont équivalentes, les distances associées aussi et donc elles définissent la même topologie. Inversement, supposons que les deux normes définissent la même topologie. Alors {\mathrm{Id}}_{E} : (E,\|{.\|}_{1}) → (E,\|{.\|}_{2}) est linéaire continue, donc il existe k ≥ 0 tel que \mathop{∀}x ∈ E, \|{\mathrm{Id}}_{E}{(x)\|}_{2} ≤ k\|{x\|}_{1} soit encore \mathop{∀}x ∈ E, \|{x\|}_{2} ≤ k\|{x\|}_{1} et il est alors clair que k\mathrel{≠}0. De même avec {\mathrm{Id}}_{E} : (E,\|{.\|}_{2}) → (E,\|{.\|}_{1}), on peut trouver un k' > 0 tel que \mathop{∀}x ∈ E, \|{x\|}_{1} ≤ k'\|{x\|}_{2}, soit \mathop{∀}x ∈ E,{ 1 \over k'} \|{x\|}_{1} ≤\| {x\|}_{2} ≤ k\|{x\|}_{1}.

5.2.4 Caractérisation des applications bilinéaires continues

Théorème 5.2.7 Soit {E}_{1},{E}_{2} et F des espaces vectoriels normés et u une application bilinéaire de {E}_{1} × {E}_{2} dans F. Alors les conditions suivantes sont équivalentes

Démonstration Tout à fait similaire à celle effectuée pour les applications linéaires, sauf en ce qui concerne (v)(i) (car il n’y a plus l’intermédiaire (vi)). Mais on a, si ({a}_{1},{a}_{2}) ∈ {E}_{1} × {E}_{2}

\begin{eqnarray*} u({x}_{1},{x}_{2}) − u({a}_{1},{a}_{2})& =& u({a}_{1} − {x}_{1},{a}_{2} − {x}_{2}) + u({x}_{1} − {a}_{1},{a}_{2})%& \\ \text{ }& & +u({a}_{1},{x}_{2} − {a}_{2}) %& \\ \end{eqnarray*}

(facile) et donc, si (v) est vérifiée

\begin{eqnarray*} \|u({x}_{1},{x}_{2}) − u({a}_{1},{a}_{2})\|& ≤& k\|{a}_{1} − {x}_{1}\|\,\|{a}_{2} − {x}_{2}\| %& \\ & +& k\|{x}_{1} − {a}_{1}\|\,\|{a}_{2}\| + k\|{a}_{1}\|\,\|{x}_{2} − {a}_{2}\|%& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre clairement la continuité (non uniforme) de u au point ({a}_{1},{a}_{2}).

Exemple 5.2.1 La formule \|v ∘ u\| ≤\| v\|\,\|u\| montre que l’application bilinéaire de composition est continue sur les espaces d’applications linéaires continues adéquats.