5.1 Notion d’espace vectoriel normé

5.1.1 Norme et distance associée

Définition 5.1.1 Soit E un K-espace vectoriel . On appelle norme sur E toute application x\mathrel{↦}\|x\| de E dans {ℝ}^{+} vérifiant

On appelle espace vectoriel normé un couple (E,\|.\|) d’un K-espace vectoriel et d’une norme sur E.

Exemple 5.1.1 Sur {K}^{n}, on définit trois normes usuelles, \|{x\|}_{1} =\mathop{ \mathop{∑ }} |{x}_{i}|, \|{x\|}_{2} = \sqrt{\mathop{\mathop{∑ }} |{x}_{i}{|}^{2}}, \|{x\|}_{∞} =\mathop{ sup}|{x}_{i}|. De la même fa\c{c}on, on définit sur l’espace vectoriel des fonctions continues de [0,1] dans K, C([0,1],K), trois normes usuelles, \|{f\|}_{1} ={\mathop{∫ } }_{0}^{1}|f(t)| dt, \|{f\|}_{2} = \sqrt{{\mathop{∫ } }_{0}^{1}|f(t){|}^{2} dt}, \|{f\|}_{∞} ={\mathop{ sup}}_{x∈[0,1]}|f(x)|.

Proposition 5.1.1 Soit E un K-espace vectoriel normé. L’application d : E × E → {ℝ}^{+} définie par d(x,y) =\| x − y\| est une distance sur E appelée distance associée à la norme. La topologie associée à cette distance est appelée topologie définie par la norme.

Remarque 5.1.1 Si E est un espace vectoriel normé, on dispose de deux familles importantes d’homéomorphismes de E sur lui même : les translations {t}_{v} : x\mathrel{↦}x + v et les homothéties {h}_{λ} : x\mathrel{↦}λx (λ\mathrel{≠}0). On constate que tous les points ont les mêmes propriétés topologiques et que deux boules ouvertes sont toujours homéomorphes.

Définition 5.1.2 On appelle espace de Banach un espace vectoriel normé complet (pour la distance associée).

Définition 5.1.3 Soit ({E}_{1},\|{.\|}_{1}),\mathop{\mathop{…}},({E}_{k},\|{.\|}_{k}) des espaces vectoriels normés. On définit une norme sur le produit E = {E}_{1} ×\mathrel{⋯} × {E}_{k} en posant \|x\| =\mathop{ max}\|{x{}_{i}\|}_{i}. L’espace vectoriel normé (E,\|.\|) est appelé l’espace vectoriel normé produit. Il est complet si chacun des {E}_{i} est complet.

5.1.2 Convexes, connexes

Définition 5.1.4 Soit E un espace vectoriel normé, a,b ∈ E. On pose [a,b] = \{ta + (1 − t)b\mathrel{∣}t ∈ [0,1]\}. On dit qu’une partie A de E est convexe si \mathop{∀}a,b ∈ A,\quad [a,b] ⊂ A.

Remarque 5.1.2 Le théorème d’associativité des barycentres montre immédiatement par récurrence que si A est convexe, {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n} ∈ A et {λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n} sont des réels positifs de somme 1, alors {λ}_{1}{a}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}{a}_{n} est encore dans A.

Proposition 5.1.2 Toute partie convexe est connexe par arcs (et donc connexe).

Démonstration γ(t) = (1 − t)a + tb est un chemin continu (l’application est \|b − a\|-lipschitzienne) d’origine a et d’extrémité b.

Proposition 5.1.3 Dans un espace vectoriel normé, les boules sont convexes (et donc connexes).

Démonstration Montrons le par exemple pour une boule ouverte B(a,r). Soit x,y ∈ B(a,r) et t ∈ [0,1]. On a alors

\begin{eqnarray*} \|tx + (1 − t)y − a\|& =& \|t(x − a) + (1 − t)(y − a)\|%& \\ & ≤& t\|x − a\| + (1 − t)\|y − a\| %& \\ & <& tr + (1 − t)r = r %& \\ \end{eqnarray*}

car t ≥ 0,1 − t ≥ 0 et soit t, soit 1 − t est non nul.

Théorème 5.1.4 Dans un espace vectoriel normé, tout ouvert connexe est connexe par arcs.

Démonstration Soit U un ouvert connexe. Soit la relation d’équivalence sur U : aℛb s’il existe un chemin d’origine a et d’extrémité b. Soit C(a) la classe d’équivalence de a et montrons que C(a) est ouverte. Pour cela soit b ∈ C(a) ⊂ U. Il existe r > 0 tel que B(b,r) ⊂ U. Mais la boule, étant convexe, est connexe par arcs et donc pour tout x de B(b,r) on a x ∈ C(b) = C(a), soit B(b,r) ⊂ C(a). Les classes d’équivalences sont donc ouvertes dans U. Mais on a alors {}^{c}C(a) ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{x\mathrel{∉}C(a)}C(x) est ouvert dans U et donc C(a) est fermé dans U. Comme U est connexe, les seules parties ouvertes et fermées dans U sont et U, soit C(a) = U et donc U est connexe par arcs.

5.1.3 Continuité des opérations algébriques

Théorème 5.1.5 Soit E un espace vectoriel normé. L’application s : E × E → E, (x,y)\mathrel{↦}x + y est uniformément continue, et l’application p : K × E → E, (λ,x)\mathrel{↦}λx est continue.

Démonstration On a \|s(x,y) −s(x',y')\| =\| (x−x') + (y −y')\| ≤\| x−x'\| +\| y −y'\| ≤ 2\mathop{max}(\|x−x'\|,\|y −y'\|) = 2\|(x,y) − (x',y')\|, ce qui montre que s est 2-lipschitzienne.

Soit ({λ}_{0},{x}_{0}) ∈ K × E, λ ∈ K et x ∈ E. On a

\begin{eqnarray*} \|p(λ,x) − p({λ}_{0},{x}_{0})\|& =& \|λx − {λ}_{0}{x}_{0}\| %& \\ & =& \|λ(x − {x}_{0}) + (λ − {λ}_{0}){x}_{0}\|%& \\ & ≤& |λ|\,\|x − {x}_{0}\| + |λ − {λ}_{0}|\,\|{x}_{0}\| %& \\ \end{eqnarray*}

Pour η ≤ 1, on a |λ − {λ}_{0}| < η ⇒|λ|≤|{λ}_{0}| + 1. Soit donc ε > 0 et η =\mathop{ max}(1,{ ε \over 2(1+|{λ}_{0}|)} ,{ ε \over 2(1+\|{x}_{0}\|)} ). Alors

\begin{eqnarray*} \|(λ,x) − ({λ}_{0},{x}_{0})\| =\mathop{ max}(|λ − {λ}_{0}|,\|x − {x}_{0}\|) < η&&%& \\ & ⇒& \|p(λ,x) − p({λ}_{0},{x}_{0})\| ≤{ ε \over 2} +{ ε \over 2} = ε%& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre la continuité de p au point ({λ}_{0},{x}_{0}).

Corollaire 5.1.6 Soit X un espace métrique, E un espace vectoriel normé, A une partie de X et a ∈\overline{A}. (i) Si f et g sont deux fonctions de X vers E telles que A ⊂\mathop{ Def} (f) ∩\mathop{ Def} (g), si f et g ont toutes deux des limites en a suivant A et si α,β ∈ K, alors αf + βg a une limite en a suivant A et on a

{\mathop{lim}}_{x→a,x∈A}(αf(x) + βg(x)) = α{\mathop{lim}}_{x→a,x∈A}f(x) + β{\mathop{lim}}_{x→a,x∈A}g(x)

(ii) Si φ est une fonction de X vers K et f une fonction de X vers E telles que A ⊂\mathop{ Def} (f) ∩\mathop{ Def} (φ), si f et φ ont toutes deux des limites en a suivant A, alors φf a une limite en a suivant A et on a

{\mathop{lim}}_{x→a,x∈A}(φ(x)f(x)) ={\mathop{ lim}}_{x→a,x∈A}φ(x){\mathop{lim}}_{x→a,x∈A}f(x)

Remarque 5.1.3 Dans le cas de E = ℝ, les opérations algébriques sur ℝ × ℝ ne peuvent pas s’étendre de manière continue à \overline{ℝ} ×\overline{ℝ}, ce qui fait que certaines opérations sur les limites ne sont pas valides en général. On a cependant le théorème suivant qui permet d’étendre les opérations sur les limites sauf dans les cas d’indéterminations ”∞−∞” et ”0 ×∞

Théorème 5.1.7 (i) L’application s : ℝ × ℝ → ℝ, (x,y)\mathrel{↦}x + y s’étend en une application continue de \overline{ℝ} ×\overline{ℝ} ∖\{(−∞,+∞),(+∞,−∞)\} dans \overline{ℝ} en posant x + (+∞) = +∞ si x\mathrel{≠} −∞ et x + (−∞) = −∞ si x\mathrel{≠} + ∞. (ii) L’application p : ℝ × ℝ → ℝ, (x,y)\mathrel{↦}xy s’étend en une application continue de

\overline{ℝ} ×\overline{ℝ} ∖\{(0,+∞),(+∞,0),(0,−∞),(−∞,0)\}

dans \overline{ℝ} en posant x × (+∞) =\mathop{ sgn}(x)∞ si x\mathrel{≠}0 et x × (−∞) = −\mathop{sgn}(x)∞ si x\mathrel{≠}0.

Démonstration La vérification de la continuité est tout à fait élémentaire. Remarquons que puisque ℝ × ℝ est dense dans \overline{ℝ} ×\overline{ℝ}, ces prolongements sont uniques.