4.9 Espaces et parties connexes

4.9.1 Notion de connexe

Définition 4.9.1 Soit E un espace topologique. On dit que E n’est pas connexe s’il vérifie les conditions équivalentes

Démonstration (i)(ii). Si E = {U}_{1} ∪ {U}_{2} avec {U}_{1} et {U}_{2} ouverts non vides disjoints, {U}_{1} et {U}_{2} sont aussi fermés puisque {U}_{1} = c{U}_{2} et {U}_{2} = c{U}_{1}, d’où la propriété (ii). On montre de même que (ii)(i).

(i)(iii). Si E = {U}_{1} ∪ {U}_{2} avec {U}_{1} et {U}_{2} ouverts non vides disjoints, alors {U}_{1} est ouvert, fermé (car {U}_{1} = c{U}_{2}), distinct de et de E.

(iii)(i). Si A est à la fois ouverte et fermée, distincte de et de E, on écrit E = A ∪cA, avec cA ouvert (complémentaire d’un fermé), les deux étant non vides et disjoints.

Définition 4.9.2 Soit E un espace topologique et F une partie de E. On dit que F est connexe si F muni de la topologie induite est connexe.

4.9.2 Propriétés des connexes

Théorème 4.9.1 Soit E,F deux espaces topologiques, f : E → F continue. Si E est connexe, alors f(E) est une partie connexe de F.

Démonstration En effet si f(E) est réunion de deux ouverts non vides disjoints {U}_{1} et {U}_{2} de f(E), alors E est réunion des deux ouverts {f}^{−1}({U}_{1}) et {f}^{−1}({U}_{2}) qui sont encore disjoints et non vides

Corollaire 4.9.2 Soit E,F deux espaces topologiques, f : E → F continue et A une partie connexe de E. Alors f(A) est une partie connexe de F.

Démonstration En effet la restriction de f à A est encore continue, et on peut lui appliquer le théorème précédent.

Proposition 4.9.3 Soit A une partie connexe de E. Alors toute partie B telle que A ⊂ B ⊂\overline{A} est connexe.

Démonstration En effet si B est réunion de deux ouverts de B non vides disjoints {U}_{1} et {U}_{2}, alors A est réunion des deux ouverts de A disjoints : {U}_{1} ∩ A et {U}_{2} ∩ A ; or ces deux ouverts sont non vides car, A étant dense dans B, tout ouvert non vide de B rencontre A. C’est absurde. Donc \overline{A} est connexe.

Proposition 4.9.4 Soit {({A}_{i})}_{i∈I} une famille de parties connexes de E telle que {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{i∈I}{A}_{i}\mathrel{≠}∅. Alors {\mathop{\mathop{⋃ }} }_{i∈I}{A}_{i} est connexe.

Démonstration Soit a ∈{\mathop{\mathop{⋂ }} }_{i∈I}{A}_{i}. Si A ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{i∈I}{A}_{i} = {U}_{1} ∪ {U}_{2} avec {U}_{1} et {U}_{2} ouverts disjoints de A, alors chacun des {A}_{i} doit être contenu soit dans {U}_{1}, soit dans {U}_{2}, sinon {A}_{i} serait réunion des deux ouverts non vides disjoints {A}_{i} ∩ {U}_{1} et {A}_{i} ∩ {U}_{2}. Comme {A}_{i} contient a, il est forcément contenu dans celui des deux ouverts {U}_{1} et {U}_{2} qui contient a. Mais alors A lui-même est contenu dans cet ouvert, et donc l’autre est vide.

Corollaire 4.9.5 Soit E un espace topologique et a un point de E. Alors l’ensemble des connexes contenant a a un plus grand élément appelé la composante connexe de a dans E ; deux composantes connexes sont soit disjointes soit confondues ; toute composante connexe est fermée.

Démonstration La composante connexe de a est bien entendu {\mathop{\mathop{⋃ }} }_{a∈A, A\text{connexe}}A ; c’est un connexe d’après la proposition précédente et c’est bien entendu le plus grand ; si A est la composante connexe de a, B celle de b et si A ∩ B\mathrel{≠}∅, alors A ∪ B est connexe et donc A ∪ B ⊂ A, soit B ⊂ A et de même A ⊂ B soit A = B. D’autre part, \overline{A} est encore connexe contenant a, donc \overline{A} ⊂ A et donc A est fermé.

Proposition 4.9.6 Soit {E}_{1},\mathop{\mathop{…}},{E}_{k} des espaces connexes. Alors {E}_{1} ×\mathrel{⋯} × {E}_{k} est connexe.

Démonstration Il suffit évidemment de montrer le résultat pour k = 2. Soit {E}_{1} × {E}_{2} = {U}_{1} ∪ {U}_{2} avec {U}_{1} et {U}_{2} ouverts disjoints. Remarquons que si a ∈ {E}_{1}, l’application y\mathrel{↦}(a,y) est un homéomorphisme de {E}_{2} sur \{a\} × {E}_{2} qui est donc aussi connexe. Donc V doit être contenu soit dans {U}_{1} soit dans {U}_{2} (sinon il serait réunion des deux ouverts non vides disjoints (\{a\} × {E}_{2}) ∩ {U}_{1} et (\{a\} × {E}_{2}) ∩ {U}_{2}). Soit b ∈ {E}_{2} ; pour la même raison, on a par exemple {E}_{1} ×\{b\} ⊂ {U}_{1}. Alors, pour tout a ∈ {E}_{1}, comme (a,b) ∈\{a\} × {E}_{2} et {E}_{1} ×\{b\} ⊂ {U}_{1}, on a nécessairement \{a\} × {E}_{2} ⊂ {U}_{1} et donc {E}_{1} × {E}_{2} ⊂ {U}_{1}, soit encore {U}_{2} = ∅.

4.9.3 Connexes de

Définition 4.9.3 Une partie A de est dite convexe si \mathop{∀}a,b ∈ ℝ, [a,b] ⊂ ℝ.

Proposition 4.9.7 Les parties convexes de sont les intervalles.

Démonstration Il est clair que tout intervalle est convexe. L’ensemble vide est bien entendu un intervalle. Soit donc A une partie convexe non vide, m =\mathop{ inf} A ∈ ℝ ∪\{−∞\} et M =\mathop{ sup}A ∈ ℝ ∪\{ + ∞\}. On a A ⊂ [m,M]. Pour montrer que A est un intervalle, il suffit de montrer que ]m,M[⊂ A. Or, soit x ∈]m,M[. Il existe a ∈ A tel que m ≤ a < x (propriété caractéristique de la borne inférieure) et de même, il existe b ∈ A tel que x < b ≤ M. On a donc x ∈]a,b[⊂ A ; d’où l’inclusion et le résultat.

Théorème 4.9.8 Les parties connexes de sont les intervalles.

Démonstration Soit A une partie connexe ; si A n’était pas convexe, il existerait a,b ∈ A tel que ]a,b[⊄A (car a,b sont dans A) ; soit x ∈]a,b[ tel que x\mathrel{∉}A. On a alors A = (A∩] −∞,x[) ∪ (A∩]x,+∞[), réunion de deux ouverts de A non vides et disjoints ; c’est absurde. Donc A est convexe et donc un intervalle.

Inversement, soit I un intervalle ; alors il existe J intervalle ouvert tel que J ⊂ I ⊂\overline{J} donc il suffit de montrer que les intervalles ouverts sont connexes.

Soit I =]a,b[ un intervalle ouvert de et A une partie ouverte et fermée, non vide et distincte de I. Soit x ∈ I ∖ A. Alors A = (A∩]a,x[) ∪ (A∩]x,b[) ; au moins une des deux parties est non vide, par exemple B = A∩]x,b[= A ∩ [x,b[. Cette partie est à la fois ouverte et fermée dans I (intersection de deux ouverts de I et aussi de deux fermés de I). Soit m =\mathop{ inf} B ≥ x. On a m ∈ I et comme B est fermé dans I, on a m ∈ B. Mais alors \mathop{∃}ε > 0, ]m − ε,m + ε[⊂ B, ce qui contredit la définition de la borne inférieure. C’est absurde, donc I est connexe.

Corollaire 4.9.9 (théorème des valeurs intermédiaires). Soit E un espace topologique connexe et f : E → ℝ continue. Alors \mathop{\mathrm{Im}}f est un intervalle de .

Démonstration f(E) est connexe, donc un intervalle.

4.9.4 Connexité par arcs

Définition 4.9.4 Soit E un espace topologique, a,b ∈ E. On appelle chemin d’origine a et d’extrémité b dans E toute application continue γ : [0,1] → E telle que γ(0) = a et γ(1) = b.

Proposition 4.9.10 Soit E un espace topologique. La relation ”il existe un chemin d’origine a et d’extrémité b est une relation d’équivalence sur E.

Démonstration Cette relation est clairement réflexive (prendre γ constant) et symétrique (prendre {γ}_{1}(t) = γ(1 − t)). Pour la transitivité, soit {γ}_{1} une chemin de a à b et {γ}_{2} un chemin de b à c. On définit γ : [0,1] → E par γ(t) = \left \{ \cases{ {γ}_{1}(2t) &si t ∈ [0,1∕2] \cr {γ}_{2}(2t − 1)&si t ∈ [1∕2,1] \cr } \right .. Alors γ est un chemin de a à c.

Définition 4.9.5 On dit que E est connexe par arcs si, pour tout couple (a,b) ∈ {E}^{2} il existe un chemin de a à b dans E.

Proposition 4.9.11 Tout espace topologique connexe par arcs est connexe.

Démonstration Soit a ∈ E et pour x ∈ E soit {γ}_{x} un chemin d’origine a et d’extrémité x. Les {γ}_{x}([0,1]) sont des images de connexes par une application continue, ils sont donc connexes. Leur intersection contient a, et donc leur réunion est connexe. Mais on a évidemment E ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{x∈E}{γ}_{x}([0,1]) (une réunion de parties de E est contenue dans E et de plus tout élément x de E appartient à {γ}_{x}([0,1])). Donc E est connexe.