4.8 Espaces et parties compactes

4.8.1 Propriété de Bolzano-Weierstrass

Définition 4.8.1 Soit E un espace métrique. On dit que E est compact s’il vérifie la propriété de Bolzano Weierstrass : toute suite de E a une valeur d’adhérence dans E. On dit qu’une partie A de E est compacte si toute suite de A a une valeur d’adhérence dans A.

Remarque 4.8.1 La compacité est une notion purement topologique et non métrique. Le fait pour une partie A d’être compacte ne dépend que de la topologie de la partie et pas de l’espace ambiant E (comparer avec le fait pour A d’être ouverte ou fermée qui dépend de E).

Théorème 4.8.1 Soit E un espace métrique et F une partie de E. (i) Si F est compacte, alors F est fermée et bornée dans E (ii) Inversement, si E est compact et F fermée dans E alors F est compacte

Démonstration (i) Soit x ∈ E qui est limite d’une suite ({x}_{n}) de F. La suite ({x}_{n}) est une suite dans F, donc admet une valeur d’adhérence dans F. Mais la suite étant convergente, a une seule valeur d’adhérence dans E, on a x = ℓ ∈ F. Donc F est fermé dans E. Le fait d’être borné résultera du lemme suivant

Lemme 4.8.2 Soit F une partie compacte ; alors pour tout ε > 0, F peut être recouvert par un nombre fini de boules de rayon ε (propriété de précompacité)

Démonstration Supposons que F ne peut pas être recouvert par un nombre fini de boules de rayon ε et soit {x}_{0} ∈ F ; on a F⊄B'({x}_{0},1) ; soit {x}_{1} ∈ F ∖ B'({x}_{0},ε) ; supposons {x}_{0},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n} construits ; alors F⊄B({x}_{0},ε) ∪\mathop{\mathop{…}} ∪ B({x}_{n},ε) et on prend {x}_{n+1} ∈ F ∖\left (B({x}_{0},ε) ∪\mathop{\mathop{…}} ∪ B({x}_{n},ε)\right ). On construit ainsi une suite ({x}_{n}) telle que \mathop{∀}p,q, p\mathrel{≠}q ⇒ d({x}_{p},{x}_{q}) ≥ ε. Cette suite n’admet aucune sous suite de Cauchy, donc aucune sous suite convergente, donc pas de valeur d’adhérence. C’est absurde.

(ii) Soit ({x}_{n}) une suite dans F ; c’est aussi une suite dans E donc elle admet une valeur d’adhérence x ∈ E (car E est compact), x =\mathop{ lim}{x}_{φ(n)} ; mais comme F est fermé et x est limite d’une suite d’éléments de F, x appartient à F et il est évidemment limite dans F de la suite ({x}_{φ(n)}). Donc la suite admet une valeur d’adhérence dans F et F est compacte.

Théorème 4.8.3 Soit f : E → F continue. Pour toute partie compacte A de E, f(A) est une partie compacte de F (et en particulier elle est fermée et bornée).

Démonstration Soit ({b}_{n}) une suite de f(A). On pose {b}_{n} = f({a}_{n}), {a}_{n} ∈ A. Alors {a}_{n} admet une valeur d’adhérence dans A, a =\mathop{ lim}{a}_{φ(n)}. Par continuité de f au point a, on a f(a) =\mathop{ lim}f({a}_{φ(n)}) et donc la suite ({b}_{n}) a une valeur d’adhérence dans f(A).

Corollaire 4.8.4 Soit E un espace métrique compact et f : E → F bijective et continue. Alors f est un homéomorphisme.

Démonstration Il faut montrer que {f}^{−1} est continue autrement dit que pour tout fermé A de E, {({f}^{−1})}^{−1}(A) = f(A) est fermée dans F ; mais une telle partie A est fermée dans un compact, donc compacte et donc f(A) est compacte dans F donc fermée. Ceci montre la continuité de {f}^{−1}.

Proposition 4.8.5 Si {E}_{1} et {E}_{2} sont deux espaces métriques compacts, alors l’espace métrique produit est compact.

Démonstration Soit ({z}_{n}) une suite dans E = {E}_{1} × {E}_{2}, {z}_{n} = ({x}_{n},{y}_{n}). La suite ({x}_{n}) est une suite dans E compact, donc admet une sous suite convergente ({x}_{φ(n)}). La suite ({y}_{φ(n)}) est une suite dans {E}_{2} compact, donc admet une sous suite convergente ({y}_{φ(ψ(n))}). La suite ({x}_{φ(ψ(n))}) est une sous suite d’une suite convergente, donc encore convergente et donc la suite ({z}_{φ(ψ(n))}) est convergente. Toute suite de E admet bien une valeur d’adhérence.

Théorème 4.8.6 (Heine). Soit E un espace métrique compact et f : E → F continue. Alors f est uniformément continue.

Démonstration Supposons f non uniformément continue. Alors

\mathop{∃}ε > 0, \mathop{∀}η > 0,\quad \mathop{∃}a,b ∈ E, d(a,b) < η\text{ et }d(f(a),f(b)) ≥ ε

en prenant η ={ 1 \over n+1} , on trouve {a}_{n} et {b}_{n} tels que d({a}_{n},{b}_{n}) <{ 1 \over n+1} alors que d(f({a}_{n}),f({b}_{n})) ≥ ε. La suite ({a}_{n}) admet une sous suite convergente ({a}_{φ(n)}) de limite a ; comme d({a}_{φ(n)},{b}_{φ(n)}) <{ 1 \over φ(n)+1} on a aussi \mathop{lim}{b}_{φ(n)} = a. Cependant d(f({a}_{φ(n)}),f({b}_{φ(n)})) ≥ ε, ce qui montre que la suite (d(f({a}_{φ(n)}),f({b}_{φ(n)}))) ne tend pas vers 0, alors que les deux suites f({a}_{φ(n)}),f({b}_{φ(n)}) admettent la même limite f(a) (continuité de f au point a). C’est absurde.

4.8.2 Propriété de Borel Lebesgue

Définition 4.8.2 On dit qu’un espace topologique E vérifie la propriété de Borel Lebesgue si on a les conditions équivalentes (i) Pour toute famille d’ouverts {({U}_{i})}_{i∈I} telle que E ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{i∈I}{U}_{i}, il existe {i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{k} ∈ I tels que E ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{p=1}^{k}{U}_{{i}_{p}} (ii) Pour toute famille de fermés {({F}_{i})}_{i∈I} telle que {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{i∈I}{F}_{i} = ∅, il existe {i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{k} ∈ I tels que {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{p=1}^{k}{F}_{{i}_{p}} = ∅

Démonstration Ces deux propriétés sont équivalentes par passage au complémentaire.

Remarque 4.8.2 On peut formuler (i) sous la forme : de tout recouvrement de E par des ouverts, on peut extraire un sous recouvrement fini.

On a le lemme suivant, qui nous servira pour la démonstration du théorème :

Lemme 4.8.7 Soit (E,d) un espace métrique compact et {({U}_{i})}_{i∈I} une famille d’ouverts telle que E ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{i∈I}{U}_{i}. Alors, il existe ε > 0 tel que

\mathop{∀}x ∈ E, \mathop{∃}{i}_{x} ∈ I, B(x,ε) ⊂ {U}_{{i}_{x}}

Démonstration Par l’absurde ; supposons que

\mathop{∀}ε > 0, \mathop{∃}x ∈ E, \mathop{∀}i ∈ I, B(x,ε)⊄{U}_{i}

Prenons ε ={ 1 \over n+1} et {x}_{n} correspondant. La suite ({x}_{n}) a donc une valeur d’adhérence x. Il existe {i}_{0} ∈ I tel que x ∈ {U}_{{i}_{0}} et donc un η > 0 tel que B(x,η) ⊂ {U}_{{i}_{0}}. Mais x est valeur d’adhérence de la suite {x}_{n} et donc il existe n > 2∕η tel que {x}_{n} ∈ B(x,η∕2). Alors, si y ∈ B({x}_{n},{ 1 \over n+1} ), on a d(y,x) ≤ d(y,{x}_{n}) + d({x}_{n},x) <{ 1 \over n+1} +{ η \over 2} < η soit B({x}_{n},{ 1 \over n+1} ) ⊂ B(x,η) ⊂ {U}_{{i}_{0}}. Mais ceci contredit la définition de {x}_{n} : \mathop{∀}i ∈ I, B({x}_{n},{ 1 \over n+1} )⊄{U}_{i}. C’est absurde.

Théorème 4.8.8 Un espace métrique E est compact si et seulement si il vérifie la propriété de Borel-Lebesgue.

Démonstration Supposons que E vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, et soit ({x}_{n}) une suite de E. Pour N ∈ ℕ, posons {X}_{N} = \{{x}_{n}\mathrel{∣}n ≥ N\}. On a

\begin{eqnarray*} x\text{ valeur d’adhérence de }({x}_{n})&& %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}V ∈ V (x), \mathop{∀}N ∈ ℕ, \mathop{∃}n ≥ N, {x}_{n} ∈ V %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}V ∈ V (x), \mathop{∀}N ∈ ℕ, V ∩ {X}_{N}\mathrel{≠}∅ %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}N ∈ ℕ, x ∈\overline{{X}_{N}} %& \\ & \mathrel{⇔} & x ∈{\mathop{⋂ }}_{N∈ℕ}\overline{{X}_{N}} %& \\ \end{eqnarray*}

Supposons donc que la suite n’a pas de valeur d’adhérence ; on a alors {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{N∈ℕ}\overline{{X}_{N}} = ∅ et comme ce sont des fermés de E qui vérifie la propriété de Borel-Lebesgue, il existe {N}_{1},\mathop{\mathop{…}},{N}_{k} tels que {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{p=1}^{k}\overline{{X}_{{N}_{p}}} = ∅. Mais la suite ({X}_{N}) est décroissante, et donc la suite (\overline{{X}_{N}}) aussi. On a donc {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{p=1}^{k}\overline{{X}_{{N}_{p}}} = \overline{{X}_{\mathop{max}({N}_{p})}}\mathrel{≠}∅. C’est absurde. Donc E est compact.

Soit {({U}_{i})}_{i∈I} une famille d’ouverts telle que E ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{i∈I}{U}_{i}. Alors, il existe ε > 0 tel que

\mathop{∀}x ∈ E, \mathop{∃}{i}_{x} ∈ I, B(x,ε) ⊂ {U}_{{i}_{x}}

Par le lemme de précompacité, on peut recouvrir E par un nombre fini de boules de rayon ε : E = B({x}_{1},ε) ∪\mathop{\mathop{…}} ∪ B({x}_{k},ε). Mais alors E ⊂ {U}_{{i}_{{x}_{ 1}}} ∪\mathop{\mathop{…}} ∪ {U}_{{i}_{{x}_{ k}}} ⊂ E, ce qui démontre que l’on peut recouvrir E par un nombre fini de {U}_{i}.

4.8.3 Compacts de et {ℝ}^{n}

Lemme 4.8.9 Tout segment [a,b] de est compact.

Démonstration Soit ({x}_{n}) une suite de [a,b]. On définit deux suites ({a}_{p}) et ({b}_{p}) de la manière suivante : {a}_{0} = a et {b}_{0} = b ; si {a}_{p} et {b}_{p} sont construits, on pose {a}_{p+1} = {a}_{p} et {b}_{p+1} ={ {a}_{p}+{b}_{p} \over 2} si \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}{x}_{n} ∈ [{a}_{p},{ {a}_{p}+{b}_{p} \over 2} ]\} est infini ; sinon on pose {a}_{p+1} ={ {a}_{p}+{b}_{p} \over 2} et {b}_{p+1} = {b}_{p}. On a évidemment : ({a}_{p}) croissante, ({b}_{p}) décroissante, {b}_{p} − {a}_{p} ={ b−a \over {2}^{p}} et \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}{x}_{n} ∈ [{a}_{p},{b}_{p}]\} est infini. Les deux suites étant adjacentes, soit leur limite commune et ε > 0. Il existe n ∈ ℕ tel que ℓ − ε < {a}_{n} ≤ ℓ ≤ {b}_{n} < ℓ + ε et donc \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}{x}_{n} ∈]ℓ − ε,ℓ + ε[\} est infini. Donc est valeur d’adhérence de la suite ({x}_{n}).

Théorème 4.8.10 Les parties compactes de et {ℝ}^{n} sont les parties à la fois fermées et bornées pour une des distances usuelles.

Démonstration On sait déjà qu’une partie compacte doit être fermée et bornée. Inversement soit A une partie fermée et bornée de . Il existe a,b ∈ ℝ tels que A ⊂ [a,b]. Alors A = A ∩ [a,b] est fermé dans [a,b] donc compacte. Même chose dans {ℝ}^{n} en rempla\c{c}ant [a,b] par [{a}_{1},{b}_{1}] ×\mathrel{⋯} × [{a}_{n},{b}_{n}] qui est compact comme produit de compacts.

Corollaire 4.8.11 Soit E un espace métrique compact. Toute application continue de E dans est bornée et atteint ses bornes inférieure et supérieure.

Démonstration f(E) est compacte donc bornée et fermée (donc contient ses bornes).

Corollaire 4.8.12 est complet.

Démonstration Une suite de Cauchy est bornée, donc peut être incluse dans un segment qui est compact ; elle y admet donc une valeur d’adhérence et donc elle converge.

Remarque 4.8.3 Bien entendu la validité de cette démonstration dépend de la construction de qui est employée.