4.7 Espaces complets

4.7.1 Suites de Cauchy

Définition 4.7.1 Soit (E,d) un espace métrique. Une suite ({x}_{n}) de E est dite suite de Cauchy si elle vérifie

\mathop{∀}ε > 0, \mathop{∃}N ∈ ℕ,\quad p,q ≥ N ⇒ d({x}_{p},{x}_{q}) < ε

Remarque 4.7.1 On peut sans nuire à la généralité remplacer par

\mathop{∀}ε > 0, \mathop{∃}N ∈ ℕ,\quad q > p ≥ N ⇒ d({x}_{p},{x}_{q}) < ε

Remarque 4.7.2 Il s’agit là d’une notion métrique et non topologique. La suite (n) est une suite de Cauchy dans muni de la distance de \overline{ℝ}, mais pas de Cauchy dans muni de la distance usuelle. Par contre, pour deux distances équivalentes, les suites de Cauchy sont les mêmes.

Théorème 4.7.1

Démonstration (i) Soit ℓ =\mathop{ lim}{x}_{n} et ε > 0. Il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ d({x}_{n},ℓ) < ε∕2. Alors p,q ≥ N ⇒ d({x}_{p},{x}_{q}) ≤ d({x}_{p},ℓ),+d(ℓ,{x}_{q}) < ε. Donc ({x}_{n}) est une suite de Cauchy.

(ii) Soit une valeur d’adhérence de la suite de Cauchy ({x}_{n}) et ε > 0. Il existe N ∈ ℕ tel que p,q ≥ N ⇒ d({x}_{p},{x}_{q}) < ε∕2. De plus il existe {n}_{0} ≥ N tel que d({x}_{{n}_{0}},ℓ) < ε∕2. Pour n ≥ N, on a d({x}_{n},ℓ) ≤ d({x}_{n},{x}_{{n}_{0}}) + d({x}_{{n}_{0}},ℓ) < ε∕2 + ε∕2 = ε. Donc est limite de ({x}_{n}).

(iii) Il existe N ∈ ℕ tel que p,q ≥ N ⇒ d({x}_{p},{x}_{q}) < 1. Alors \{{x}_{n}\mathrel{∣}n ∈ ℕ\} ⊂\{{x}_{0},\mathop{\mathop{…}},{x}_{N−1}\} ∪ B'({x}_{N},1) qui est un ensemble borné.

(iv) Soit ε > 0. Il existe η > 0 tel que d(x,x') < η ⇒ d(f(x),f(x')) < ε. Pour ce η, il existe N ∈ ℕ tel que p,q ≥ N ⇒ d({x}_{p},{x}_{q}) < η. Alors p,q ≥ N ⇒ d(f({x}_{p}),f({x}_{q})) < ε.

Remarque 4.7.3 Une suite de Cauchy a donc soit aucune valeur d’adhérence (si elle diverge), soit une valeur d’adhérence si elle converge.

L’image par une application continue d’une suite de Cauchy n’est pas en général une suite de Cauchy : prendre f :]0,+∞[→]0,+∞[, x\mathrel{↦}1∕x et {x}_{n} = 1∕n.

4.7.2 Espaces complets

Définition 4.7.2 Un espace métrique (E,d) est dit complet si toute suite de Cauchy de E converge dans E

Remarque 4.7.4 Il s’agit d’une notion métrique et non topologique : bien que la topologie soit la même, est complet pour la distance usuelle, mais pas pour la distance de \overline{ℝ} (la suite (n) est une suite de Cauchy non convergente)

Remarque 4.7.5 L’intérêt essentiel d’un espace complet est que dans un tel espace, on peut assurer la convergence d’une suite sans exhiber au préalable sa limite.

Théorème 4.7.2 Soit (E,d) un espace métrique et F une partie de E. (i) Si (F,{d}_{F}) est complet, alors F est fermé dans E (ii) Inversement, si E est complet et F fermé dans E alors (F,{d}_{F}) est complet

Démonstration (i) Soit x ∈ E qui est limite d’une suite ({x}_{n}) de F. La suite ({x}_{n}) est une suite de Cauchy dans E, donc dans F, donc admet une limite dans F. mais l’unicité de la limite dans E garantit que x = ℓ ∈ F. Donc F est fermé dans E.

(ii) Soit ({x}_{n}) une suite de Cauchy dans F ; c’est aussi une suite de Cauchy dans E donc elle converge vers x ∈ E (car E est complet) ; mais comme F est fermé et x est limite d’une suite d’éléments de F, x appartient à F et il est évidemment limite dans F de la suite ({x}_{n}).

Proposition 4.7.3 Si ({E}_{1},{d}_{1}) et ({E}_{2},{d}_{2}) sont deux espaces métriques complets, alors l’espace métrique produit est complet.

Démonstration Soit ({z}_{n}) une suite de Cauchy dans E = {E}_{1} × {E}_{2}, {z}_{n} = ({x}_{n},{y}_{n}). On a d({z}_{p},{z}_{q}) =\mathop{ max}({d}_{1}({x}_{p},{x}_{q}),{d}_{2}({y}_{p},{y}_{q})) et donc {d}_{1}({x}_{p},{x}_{q}) ≤ d({z}_{p},{z}_{q}). On en déduit que ({x}_{n}) est une suite de Cauchy de {E}_{1} et donc converge vers x ∈ {E}_{1}. De même ({y}_{n}) converge vers y dans {E}_{2} et alors ({z}_{n}) converge vers (x,y) ∈ E.

4.7.3 Propriétés des espaces complets

Théorème 4.7.4 (théorème des fermés emboîtés) Soit (E,d) un espace métrique complet et {({F}_{n})}_{n∈ℕ} une suite de parties fermées non vides de E vérifiant

Alors {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{n∈ℕ}{F}_{n} est un singleton (et en particulier non vide).

Démonstration Choisissons {x}_{n} ∈ {F}_{n}. Si q ≥ p, on a {x}_{p},{x}_{q} ∈ {F}_{p} et donc d({x}_{p},{x}_{q}) ≤ δ({F}_{p}) ce qui montre que la suite ({x}_{n}) est une suite de Cauchy. Par conséquent elle converge dans E, soit a sa limite. On a a ={\mathop{ lim}}_{n→+∞}{x}_{n+p} et \mathop{∀}n, {x}_{n+p} ∈ {F}_{p}. Comme {F}_{p} est fermé, a appartient à {F}_{p} et donc a ∈{\mathop{\mathop{⋂ }} }_{p∈ℕ}{F}_{p}. Maintenant, si a,b ∈{\mathop{\mathop{⋂ }} }_{p∈ℕ}{F}_{p}, on a d(a,b) ≤ δ({F}_{p}) pour tout p et donc d(a,b) = 0, soit a = b.

Remarque 4.7.6 La condition {\mathop{lim}}_{n→+∞}δ({F}_{n}) = 0 est essentielle pour démontrer que l’intersection est non vide comme le montre l’exemple {F}_{n} = [n,+∞[ dans , où l’intersection est vide.

Théorème 4.7.5 (Critère de Cauchy pour les fonctions) Soit E un espace métrique, (F,d) un espace métrique complet, A ⊂ E, a ∈\overline{A}, f une fonction de E vers F telle que A ⊂\mathop{ Def} (f). Alors f admet une limite en a suivant A si et seulement si elle vérifie

\mathop{∀}ε > 0, \mathop{∃}U ∈ V (a),\quad x,x' ∈ U ∩ A ⇒ d(f(x),f(x')) < ε

Démonstration La condition est nécessaire car si ℓ ={\mathop{ lim}}_{x→a,x∈A}f(x) et ε > 0, il existe U ∈ V (a) tel que x ∈ U ∩ A ⇒ d(f(x),ℓ) < ε∕2. Alors, pour x,x' ∈ U ∩ A on a d(f(x),f(x')) ≤ d(f(x),ℓ) + d(ℓ,f(x')) < ε∕2 + ε∕2 = ε. Montrons maintenant qu’elle est suffisante. Pour cela, soit ({a}_{n}) une suite de A convergeant vers a et ε > 0 et soit U ∈ V (a) tel que x,x' ∈ U ∩ A ⇒ d(f(x),f(x')) < ε ; il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ {a}_{n} ∈ U. Pour n ≥ N, on a {a}_{n} ∈ U ∩ A et donc

p,q ≥ N ⇒ {a}_{p},{a}_{q} ∈ U ∩ A ⇒ d(f({a}_{p}),f({a}_{q})) < ε

La suite (f({a}_{n})) est donc une suite de Cauchy de F, donc elle converge. On a donc montré que pour toute suite ({a}_{n}) de A de limite a, la suite (f({a}_{n})) converge ; on en déduit que f a une limite en a suivant A.

Théorème 4.7.6 (théorème du point fixe). Soit (E,d) un espace métrique complet et f : E → E une application contractante (lipschitzienne de rapport strictement inférieur à 1). Alors f a un unique point fixe qui est limite de toutes les suites ({x}_{n}) définies par la récurrence : {x}_{0} ∈ E et {x}_{n+1} = f({x}_{n}).

Démonstration Ecrivons d(f(x),f(y)) ≤ kd(x,y) avec k < 1. Pour l’unicité, supposons que f(x) = x et f(y) = y. On a d(x,y) ≤ kd(x,y) avec k < 1 et d(x,y) ≥ 0. ce n’est possible que si d(x,y) = 0 et donc x = y. En ce qui concerne l’existence, soit {x}_{0} ∈ E et la suite définie par la récurrence {x}_{n+1} = f({x}_{n}). Si n ≥ 1, on a d({x}_{n+1},{x}_{n}) = d(f({x}_{n}),f({x}_{n−1})) ≤ kd({x}_{n},{x}_{n−1}) d’où en définitive d({x}_{n+1},{x}_{n}) ≤ {k}^{n}d({x}_{0},{x}_{1}). Mais alors, si q > p on a

\begin{eqnarray*} d({x}_{p},{x}_{q})& ≤& d({x}_{p},{x}_{p+1}) + \mathop{\mathop{…}} + d({x}_{q−1},{x}_{q}) %& \\ & ≤& ({k}^{p} + \mathop{\mathop{…}} + {k}^{q−1})d({x}_{ 0},{x}_{1}) ≤ {k}^{p}{ d({x}_{0},{x}_{1}) \over 1 − k} %& \\ \end{eqnarray*}

Comme k < 1, on a \mathop{lim}{k}^{p}{ d({x}_{0},{x}_{1}) \over 1−k} = 0, et donc la suite est une suite de Cauchy ; elle admet donc une limite x. On a x =\mathop{ lim}{x}_{n+1} =\mathop{ lim}f({x}_{n}) = f(\mathop{lim}{x}_{n}) = f(x) car f est continue. Donc x est point fixe de f.