4.6 Continuité uniforme

4.6.1 Applications uniformément continues

La continuité de f : E → F s’exprime par

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}a ∈ E,\mathop{∀}ε > 0, \mathop{∃}η(a,ε) > 0,&& %& \\ & & d(x,a) < η(a,ε) ⇒ d(f(x),f(a)) < ε%& \\ \end{eqnarray*}

Remarque 4.6.1 En général, η dépend de ε mais aussi de a. On dira que f est uniformément continue sur E si on peut choisir un η ne dépendant pas de a. Ceci se traduit par

Définition 4.6.1 Soit E et F deux espaces métriques. On dit que f : E → F est uniformément continue si on a

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}ε > 0,\mathop{∃}η > 0,\quad \mathop{∀}x,x' ∈ E,&& %& \\ & & d(x,x') < η ⇒ d(f(x),f(x')) < ε%& \\ \end{eqnarray*}

Remarque 4.6.2 Toute application uniformément continue est donc continue. Il s’agit d’une notion métrique et non topologique (elle ne peut pas se traduire en termes d’ouverts).

Proposition 4.6.1 La composée de deux applications uniformément continues est uniformément continue.

Démonstration Evident.

Remarque 4.6.3 Le lemme suivant peut rendre des services pour montrer que certaines applications ne sont pas uniformément continues :

Lemme 4.6.2 Soit E et F deux espaces métriques et f : E → F. Alors f est uniformément continue si et seulement si pour tout couple de suites ({a}_{n}),({b}_{n}) de points de E tels que \mathop{lim}d({a}_{n},{b}_{n}) = 0, on a \mathop{lim}d(f({a}_{n}),f({b}_{n})) = 0.

Démonstration (i)(ii) Soit ε > 0. Alors \mathop{∃}η > 0,\quad \mathop{∀}x,x' ∈ E, d(x,x') < η ⇒ d(f(x),f(x')) < ε. Pour ce η, il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ d({a}_{n},{b}_{n}) < η. Alors n ≥ N ⇒ d(f({a}_{n}),f({b}_{n})) < ε ce qui montre que \mathop{lim}d(f({a}_{n}),f({b}_{n})) = 0

(ii)(i) Nous allons montrer la contraposée. Supposons f non uniformément continue. Alors

\mathop{∃}ε > 0, \mathop{∀}η > 0,\quad \mathop{∃}a,b ∈ E, d(a,b) < η\text{ et }d(f(a),f(b)) ≥ ε

en prenant η ={ 1 \over n+1} , on trouve {a}_{n} et {b}_{n} tels que d({a}_{n},{b}_{n}) <{ 1 \over n+1} alors que d(f({a}_{n}),f({b}_{n})) ≥ ε, et donc (ii) n’est pas vérifiée.

Exemple 4.6.1 L’application f : ℝ → ℝ, x\mathrel{↦}{x}^{2} est continue, mais par uniformément continue : pour {a}_{n} = n,{b}_{n} = n +{ 1 \over n} , on a \mathop{lim}|{a}_{n} − {b}_{n}| = 0, mais \mathop{lim}|{a}_{n}^{2} − {b}_{n}^{2}| = 2.

4.6.2 Applications lipschitziennes

Définition 4.6.2 Soit E et F deux espaces métriques. On dit que f : E → F est lipschitzienne de rapport k ≥ 0 si

\mathop{∀}x,x' ∈ E,\quad d(f(x),f(x')) ≤ kd(x,x')

Théorème 4.6.3 Toute application lipschitzienne est uniformément continue.

Démonstration Si k = 0, f est constante et sinon

d(x,x') <{ ε \over k} ⇒ d(f(x),f(x')) < ε

Remarque 4.6.4 On montrera souvent qu’une application est lipschitzienne par application d’un théorème des accroissements finis.