4.5 Continuité

4.5.1 Continuité en un point

Définition 4.5.1 Soit f une fonction de E vers F et a ∈\mathop{ Def} (f). On dit que f est continue au point a si elle vérifie les conditions équivalentes

Remarque 4.5.1 On a bien entendu toutes les propriétés des limites, en particulier

Proposition 4.5.1 La continuité est une notion locale : si {U}_{0} est un ouvert contenant a, f est continue au point a si et seulement si f{|}_{{U}_{0}} est continue au point a.

Proposition 4.5.2 Si f est une fonction de E vers {F}_{1} ×\mathrel{⋯} × {F}_{k}, f = ({f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{k}), alors f est continue au point a si et seulement si chacune des {f}_{i} est continue au point a.

Proposition 4.5.3 Si f est continue au point a et g continue au point f(a), alors g ∘ f est continue au point a (on suppose que \mathop{\mathrm{Im}}f ⊂\mathop{ Def} (g)).

Théorème 4.5.4 f est continue au point a si et seulement si pour toute suite ({a}_{n}) de \mathop{Def} (f) de limite a, la suite (f({a}_{n})) admet f(a) pour limite.

4.5.2 Continuité sur un espace

Définition 4.5.2 Soit E et F deux espaces métriques. On dit que f : E → F est continue si elle est continue en tout point de E.

Remarque 4.5.2 On a donc toutes les propriétés des limites et des fonctions continues ; en particulier, la composée de deux applications continues est continue.

Théorème 4.5.5 Soit E et F deux espaces métriques et f : E → F. On a équivalence de

  • (i) f est continue (sur E)
  • (ii) pour tout ouvert V de F, {f}^{−1}(V ) est un ouvert de E
  • (iii) pour tout fermé K de F, {f}^{−1}(K) est un fermé de E

Démonstration (ii) et (iii) sont équivalents puisque pour toute partie B de F on a {f}^{−1}(cB) = c{f}^{−1}(B).

((i)(ii)) Supposons que f est continue et soit V un ouvert de F et a ∈ {f}^{−1}(V ). On a f(a) ∈ V et V est un voisinage de f(a). Donc il existe U ∈ V (a) tel que f(U) ⊂ V , soit U ⊂ {f}^{−1}(V ) et donc {f}^{−1}(V ) est un voisinage de a. Puisque {f}^{−1}(V ) est voisinage de tous ses points il est ouvert.

(ii) (i)Inversement, supposons que l’image réciproque de tout ouvert est un ouvert et soit a ∈ E et V ∈ V (f(a)). Il existe {V }_{0} ouvert tel que f(a) ∈ {V }_{0} ⊂ V . Alors {U}_{0} = {f}^{−1}({V }_{0}) est un ouvert contenant a et on a f({U}_{0}) ⊂ {V }_{0} ⊂ V . Donc f est continue en a.

Théorème 4.5.6 Soit E et F deux espaces métriques, f,g : E → F deux applications continues. Alors \{x ∈ E\mathrel{∣}f(x) = g(x)\} est fermé dans E.

Démonstration Soit φ : E → F × F, x\mathrel{↦}(f(x),g(x)). Comme f et g sont continues, φ est continue. Or \{x ∈ E\mathrel{∣}f(x) = g(x)\} = {φ}^{−1}(Δ)Δ = \{(y,y)\mathrel{∣}y ∈ F\}. Or on sait, d’après la propriété de séparation que Δ est un fermé de F × F. Son image réciproque par φ est donc un fermé de E.

Corollaire 4.5.7 Soit E et F deux espaces métriques, f,g : E → F deux applications continues. On suppose qu’il existe une partie A de E, dense dans E telle que \mathop{∀}x ∈ A, f(x) = g(x). Alors f = g.

Démonstration \{x ∈ E\mathrel{∣}f(x) = g(x)\} est un fermé contenant A donc \overline{A} = E ; donc f = g.

4.5.3 Homéomorphismes

Définition 4.5.3 Soit E et F deux espaces métriques. on dit que f : E → F est un homéomorphisme si f est bijective et si f et {f}^{−1} sont continues.

Remarque 4.5.3 Deux espaces homéomorphes ont exactement les mêmes propriétés topologiques (toutes celles qui peuvent s’exprimer sans faire intervenir de distances, uniquement en termes d’ouverts, de fermés et de voisinages).

Exemple 4.5.1 Soit f : [0,2π[→ U = \{z ∈ ℂ\mathrel{∣}|z| = 1\}, t\mathrel{↦}{e}^{it}. Alors f est continue bijective, mais sa réciproque n’est pas continue au point 1 (faire tendre z vers 1 par parties imaginaires négatives, {f}^{−1}(z) tend vers 2π\mathrel{≠}0 = {f}^{−1}(1)).