4.4 Limites de fonctions

Définition 4.4.1 Si E et F sont deux ensembles, on appellera fonction de E vers F toute application d’une partie X de E (le domaine de définition de la fonction) dans F. On notera \mathop{Def} (f) le domaine de définition de la fonction f.

4.4.1 Notion de limite suivant une partie

Définition 4.4.2 Soit E et F deux espaces métriques, A ⊂ F , a ∈\overline{A}. Soit f une fonction de E vers F telle que A ⊂\mathop{ Def} (f). On dit que f admet une limite en a suivant A s’il existe ℓ ∈ F vérifiant les conditions équivalentes

Démonstration De nouveau, (ii) n’est qu’une reformulation de (i) en termes de boules : toute boule est un voisinage, tout voisinage contient une boule.

Remarque 4.4.1 Sans la condition a ∈\overline{A}, on pourrait avoir U ∩ A = ∅ et la notion deviendrait triviale, tout élément vérifiant la condition.

Proposition 4.4.1 Si la fonction f admet une limite en a suivant A, l’élément de E est unique ; on l’appelle la limite de la fonction en a suivant A. On pose ℓ ={\mathop{ lim}}_{x→a,x∈A}f(x).

Démonstration Si et ℓ' conviennent avec ℓ≠ℓ', il existe d’après la propriété de séparation V ouvert contenant et V ' ouvert contenant ℓ' tels que V ∩ V ' = ∅. Mais \mathop{∃}U ∈ V (a), f(U ∩ A) ⊂ V et \mathop{∃}U' ∈ V (a), f(U' ∩ A) ⊂ V '. On a alors f(U ∩ U' ∩ A) ⊂ V ∩ V ' = ∅ alors que U ∩ U' ∩ A\mathrel{≠}∅ puisque U ∩ U' est un voisinage de a et que a ∈\overline{A}. C’est absurde.

Remarque 4.4.2 On prendra garde à ne pas introduire le symbole {\mathop{lim}}_{x→a,x∈A}f(x) de manière opératoire avant d’avoir démontré son existence. On remarquera d’autre part que les notions de convergence et de limites sont purement topologiques puisqu’on peut les exprimer en terme de voisinages ; elles sont donc inchangées par changement de distance topologiquement équivalente.

Théorème 4.4.2 Soit {U}_{0} un ouvert contenant a. Alors f admet une limite en a suivant A si et seulement si il admet une limite suivant {U}_{0} ∩ A et dans ce cas la limite est la même (on dit que la notion de limite est une notion locale).

Démonstration Si f(U ∩ A) ⊂ V , on a à fortiori f(U ∩ {U}_{0} ∩ A) ⊂ V . Inversement, si f(U ∩ {U}_{0} ∩ A) ⊂ V , U' = U ∩ {U}_{0} est un voisinage de a tel que f(U' ∩ A) ⊂ V .

Exemple 4.4.1

  1. Pour E = \overline{ℝ}, A = ℕ, a = +∞ et f(n) = {x}_{n} on retrouve le cas particulier des suites.
  2. Pour A =]a,+∞[∩\mathop{Def} (f) on trouve le cas particulier d’une limite à droite (si cela a un sens, c’est à dire si a est dans l’adhérence de cet ensemble) ; de même pour les limites à gauche.
  3. Pour A =\mathop{ Def} (f) ∖\{a\} on trouve le cas important de limite quand x tend vers a en étant distinct de a.
  4. Pour a ∈\mathop{ Def} (f) et A =\mathop{ Def} (f), la seule limite possible est f(a) (facile).

4.4.2 Propriétés élémentaires

Proposition 4.4.3 Si f admet pour limite en a suivant A, alors ℓ ∈\overline{f(A)}.

Démonstration Si V ∈ V (ℓ), il existe U ∈ V (a) tel que f(U ∩ A) ⊂ V (∩f(A)) et comme U ∩ A\mathrel{≠}∅, on a V ∩ f(A)\mathrel{≠}∅. Donc ℓ ∈\overline{f(A)}.

Remarque 4.4.3 Si f admet pour limite en a suivant A et si A' ⊂ A est tel que a ∈\overline{A'}, il est clair que f(U ∩ A') ⊂ f(U ∩ A) et donc f admet encore comme limite en a suivant A'. La réciproque est évidemment fausse mais on a

Théorème 4.4.4 Soit A et A' deux parties de E telles que A ∪ A' ⊂\mathop{ Def} (f) et a ∈\overline{A} ∩\overline{A'}. Alors on a équivalence de

  • (i) f admet une limite en a suivant A ∪ A'
  • (ii) f admet une limite suivant A, une limite suivant A' et ces limites sont égales.

Démonstration D’après la remarque précédente, on a (i)(ii). Inversement supposons que ℓ ={\mathop{ lim}}_{A}f(x) ={\mathop{ lim}}_{A'}f(x). Soit V un voisinage de . Soit U ∈ V (a) tel que f(U ∩ A) ⊂ V et U' ∈ V (a) tel que f(U' ∩ A') ⊂ V . Alors U ∩ U' est un voisinage de a et f((U ∩ U') ∩ (A ∪ A')) ⊂ V (facile). Donc est limite suivant A ∪ A'.

Exemple 4.4.2 Une suite ({x}_{n}) converge si et seulement si les deux sous suites ({x}_{2n}) et ({x}_{2n+1}) convergent et ont la même limite. De même, une fonction admet une limite en a si et seulement si elle a une limite à gauche et une limite à droite et ces limites sont égales (à condition que tout cela ait un sens).

4.4.3 Composition des limites

Théorème 4.4.5 Soit E,F et G trois espaces métriques, f fonction de E vers F, g une fonction de F vers G. Soit A une partie de E et B une partie de F. On suppose que A ⊂\mathop{ Def} (f), B ⊂\mathop{ Def} (g) et f(A) ⊂ B (si bien que g ∘ f est définie sur A). Si f admet une limite b en a suivant A et si g admet une limite en b suivant B, alors g ∘ f admet pour limite en a suivant A.

Démonstration Remarquons que b ∈\overline{f(A)} ⊂\overline{B}. Soit alors W ∈ V (ℓ). Il existe V ∈ V (b) tel que g(V ∩ B) ⊂ W. Pour ce voisinage V , il existe U ∈ V (a) tel que f(U ∩ A) ⊂ V . Mais on a f(U ∩ A) ⊂ f(A) ⊂ B et donc f(U ∩ A) ⊂ V ∩ B soit g ∘ f(U ∩ A) ⊂ W, ce qui achève la démonstration.

Proposition 4.4.6 Soit E,{F}_{1},\mathop{\mathop{…}},{F}_{p} des espaces métriques, F = {F}_{1} ×\mathrel{⋯} × {F}_{p}, {p}_{i} la projection de F sur {F}_{i} définie par {p}_{i}({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{p}) = {y}_{i}. Soit f une fonction de E vers F, {f}_{i} = {p}_{i} ∘ f si bien que f(x) = ({f}_{1}(x),\mathop{\mathop{…}},{f}_{p}(x)). Alors f admet une limite en a suivant A si et seulement si chacune des {f}_{i} admet une limite {ℓ}_{i} en a suivant A. dans ce cas ℓ = ({ℓ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{ℓ}_{p}).

Lemme 4.4.7 Pour tout b ∈ F on a {\mathop{lim}}_{y→b}{p}_{i}(y) = {p}_{i}(b).

Démonstration Soit {V }_{i} un voisinage ouvert de {b}_{i} = {p}_{i}(b). Alors U = {F}_{1} ×\mathrel{⋯} × {V }_{i} ×\mathrel{⋯} × {F}_{p} est un ouvert contenant b tel que {p}_{i}(U) ⊂ V .

Démonstration La condition est nécessaire d’après le théorème de composition des limites : si f admet pour limite, alors {p}_{i} ∘ f admet pour limite {p}_{i}(ℓ) que l’on nomme {ℓ}_{i}. On a alors bien entendu, ℓ = ({ℓ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{ℓ}_{p}). Réciproquement, supposons que chacune des {f}_{i} admet {ℓ}_{i} pour limite en a suivant A et soit ℓ = ({ℓ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{ℓ}_{p}). Soit V un voisinage de . Il existe alors un ouvert élémentaire {V }_{1} ×\mathrel{⋯} × {V }_{p} tel que ({ℓ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{ℓ}_{p}) ⊂ {V }_{1} ×\mathrel{⋯} × {V }_{p} ⊂ V . Pour chaque i, il existe {U}_{i} voisinage de a tel que {f}_{i}({U}_{i} ∩ A) ⊂ {V }_{i}. Soit U = {U}_{1} ∩\mathop{\mathop{…}} ∩ {U}_{p}. On a alors f(U ∩ A) ⊂ {V }_{1} ×\mathrel{⋯} × {V }_{p} ⊂ V , ce qui montre que f a pour limite en a suivant A.

4.4.4 Limites et suites

Théorème 4.4.8 Soit E et F deux espaces métriques. Alors f admet pour limite en a suivant A si et seulement si pour toute suite ({a}_{n}) d’éléments de A de limite a, la suite {(f({a}_{n}))}_{n∈ℕ} admet pour limite.

Démonstration Le fait que la condition soit nécessaire résulte du théorème de composition des limites : soit V voisinage de  ; il existe U ∈ V (a) tel que f(U ∩ A) ⊂ V  ; il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ {a}_{n} ∈ U(∩A) ; alors, pour n ≥ N, on a f({a}_{n}) ∈ V , donc est limite de la suite (f({a}_{n})). Supposons maintenant que f n’admet pas pour limite en a suivant A ; ceci signifie que

\mathop{∃}ε > 0, \mathop{∀}η > 0\mathop{∃}a' ∈ A\text{ tel que }d(a,a') < η\text{ et }d(f(x),ℓ) ≥ ε

Pour η ={ 1 \over n+1} , on a donc {a}_{n} ∈ A tel que d(a,{a}_{n}) <{ 1 \over n+1} avec d(ℓ,f({a}_{n})) ≥ ε, d’où une suite d’éléments de A de limite a telle que la suite (f({a}_{n})) n’admet pas pour limite. Ceci démontre la réciproque par contraposition.

Corollaire 4.4.9 Avec les mêmes notations, f admet une limite en a suivant A si et seulement si pour toute suite ({a}_{n}) d’éléments de A de limite a, la suite (f({a}_{n})) converge.

Démonstration La condition est évidemment nécessaire. Pour la réciproque, il suffit de montrer que la limite de la suite (f({a}_{n})) ne dépend pas de la suite ({a}_{n}) ; or si ({a}_{n}) et ({b}_{n}) sont deux telles suites, on définit ({c}_{n}) par {c}_{2n} = {a}_{n} et {c}_{2n+1} = {b}_{n} ; cette suite converge vers a, donc la suite (f({c}_{n})) converge et donc ses deux sous suites (f({a}_{n})) et (f({b}_{n})) ont la même limite.

Remarque 4.4.4 Ce corollaire permet d’assurer l’existence d’une limite sans expliciter celle-ci à condition d’avoir un critère de convergence des suites (par exemple le critère de Cauchy).