4.3 Suites

4.3.1 Suites convergentes, limites

Définition 4.3.1 Soit E un espace métrique et {({x}_{n})}_{n∈ℕ} une suite de E. On dit qu’elle est convergente s’il existe ℓ ∈ E vérifiant les conditions équivalentes

Une suite qui n’est pas convergente est dite divergente.

Démonstration La propriété (ii) ne fait que traduire (i) pour V = B(ℓ,ε). Or toute boule est un voisinage et tout voisinage contient une boule. Donc (i) et (ii) sont équivalents.

Proposition 4.3.1 Si la suite {({x}_{n})}_{n∈ℕ} est convergente, l’élément de E est unique ; on l’appelle la limite de la suite. On note ℓ =\mathop{ lim}{x}_{n}.

Démonstration Si et ℓ' conviennent avec ℓ≠ℓ', il existe d’après la propriété de séparation U ouvert contenant et V ouvert contenant ℓ' tels que U ∩ V = ∅. Mais \mathop{∃}N,\quad n ≥ N ⇒ {x}_{n} ∈ U et \mathop{∃}N', n ≥ N' ⇒ {x}_{n} ∈ V . Pour n ≥\mathop{ max}(N,N'), on a {x}_{n} ∈ U ∩ V . C’est absurde.

Remarque 4.3.1 On prendra garde à ne pas introduire le symbole \mathop{lim}{x}_{n} de manière opératoire avant d’avoir démontré son existence. On remarquera d’autre part que les notions de convergence et de limites sont purement topologiques puisqu’on peut les exprimer en terme de voisinages ; elles sont donc inchangées par changement de distance topologiquement équivalente.

4.3.2 Sous suites, valeurs d’adhérences

Définition 4.3.2 Soit {({x}_{n})}_{n∈ℕ} une suite d’éléments de E et soit φ : ℕ → ℕ strictement croissante. On dit alors que la suite {({x}_{φ(n)})}_{n∈ℕ} est une sous suite de la suite {({x}_{n})}_{n∈ℕ}.

Théorème 4.3.2 Si la suite {({x}_{n})}_{n∈ℕ} est convergente de limite , alors toute sous suite converge et a la même limite.

C’est une conséquence du lemme suivant qui se démontre à l’aide d’une récurrence facile.

Lemme 4.3.3 Soit φ : ℕ → ℕ strictement croissante. Alors \mathop{∀}n ∈ ℕ, φ(n) ≥ n.

Démonstration (du théorème) Soit V voisinage de et N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ {x}_{n} ∈ V . Alors pour n ≥ N on a φ(n) ≥ n ≥ N donc {x}_{φ(n)} ∈ V . Donc est encore limite de la suite {({x}_{φ(n)})}_{n∈ℕ}.

Définition 4.3.3 Soit {({x}_{n})}_{n∈ℕ} une suite d’éléments de E et a ∈ E. On dit que a est valeur d’adhérence de la suite si on a les conditions équivalentes

  • (i) \mathop{∀}V ∈ V (a), \mathop{∀}N ∈ ℕ, \mathop{∃}n ≥ N,\quad {x}_{n} ∈ V
  • (i)’ \mathop{∀}ε > 0, \mathop{∀}N ∈ ℕ, \mathop{∃}n ≥ N,\quad d({x}_{n},a) < ε
  • (ii) \mathop{∀}V ∈ V (a), \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}{x}_{n} ∈ V \} est infini.
  • (ii)’ \mathop{∀}ε > 0, \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}d({x}_{n},a) < ε\} est infini.
  • (iii) a est limite d’une sous suite ({x}_{φ(n)}) de la suite ({x}_{n}).

Démonstration (i)’ n’est qu’une reformulation de (i) en termes de boules, comme (ii)’ vis à vis de (ii). Si \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}{x}_{n} ∈ V \} est fini, il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ {x}_{n}\mathrel{∉}V et donc (i) n’est pas vérifié. Ceci montre que (i)(ii). De même, si \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}{x}_{n} ∈ V \} est infini, il contient des éléments d’indices arbitrairement grands, donc (ii)(i). Si a est limite de la sous suite ({x}_{φ(n)}) et V est un voisinage de a, il existe N ∈ ℕ tel que n ≥ N ⇒ {x}_{φ(n)} ∈ V . Donc \{n ∈ ℕ\mathrel{∣}{x}_{n} ∈ V \} contient φ([N,+∞[), il est donc infini, soit (iii)(ii). Montrons maintenant que (i)’(iii), ce qui achèvera la démonstration. On construit φ(n) par récurrence de la manière suivante : on prend ε ={ 1 \over n+1} et N = \left \{ \cases{ 0 &si n = 0 \cr φ(n − 1) + 1&si n ≥ 1 \cr } \right . ; il existe alors p ≥ φ(n − 1) + 1 tel que d(a,{x}_{p}) <{ 1 \over n+1}  ; on pose φ(n) = p. On construit ainsi une fonction strictement croissante de dans vérifiant d(a,{x}_{φ(n)}) <{ 1 \over n+1} . D’où une sous suite de limite a.

Remarque 4.3.2 On a donc vu qu’une suite convergente admet une unique valeur d’adhérence, sa limite. Il est clair qu’une valeur d’adhérence d’une sous suite est encore une valeur d’adhérence de la suite.

4.3.3 Caractérisation des fermés d’un espace métrique

Théorème 4.3.4 Soit E un espace métrique, A une partie de E et a ∈ E. Alors a est dans l’adhérence de A si et seulement si a est limite (dans E) d’une suite d’éléments de A.

Démonstration Si a est limite d’une suite {({a}_{n})}_{n∈ℕ} d’éléments de A, soit V un voisinage de a. Alors \mathop{∃}N ∈ ℕ, n ≥ N ⇒ {a}_{n} ∈ V . En particulier {a}_{n} ∈ V ∩ A qui est donc non vide. Donc a appartient à \overline{A}. Inversement, soit a ∈\overline{A}. Alors, pour tout ε > 0, A ∩ B(a,ε)\mathrel{≠}∅. Pour ε ={ 1 \over n+1} on peut donc trouver {a}_{n} ∈ A tel que d(a,{a}_{n}) <{ 1 \over n+1} . Donc a est limite de la suite ({a}_{n}) d’éléments de A.

Corollaire 4.3.5 Soit E un espace métrique. Une partie A de E est fermée si et seulement si toute suite d’éléments de A qui converge dans E a une limite qui appartient à A.

Démonstration Ceci traduit simplement l’inclusion \overline{A} ⊂ A.