4.2 Espaces métriques

4.2.1 Distances

Définition 4.2.1 Soit E un ensemble. On appelle distance sur E toute application d : E × E → {ℝ}^{+} vérifiant pour tout x,y,z ∈ E

On appelle espace métrique un couple (E,d) d’un ensemble E et d’une distance d sur E.

Proposition 4.2.1 Soit d une distance sur E Alors

\mathop{∀}x,y,z ∈ E, |d(x,z) − d(y,z)|≤ d(x,y)

Démonstration On a d(x,z) − d(y,z) ≤ d(x,y) d’après l’inégalité triangulaire. En échangeant x et y, on a aussi d(y,z) − d(x,z) ≤ d(x,y), d’où le résultat.

Exemple 4.2.1 Sur tout ensemble, d(x,y) = \left \{ \cases{ 1&si x\mathrel{≠}y \cr 0&si x = y \cr } \right . est une distance sur E appelée la distance discrète. Sur K = ℝ ou K = ℂ, d(x,y) = |x − y| est une distance appelée la distance usuelle. Sur {K}^{n} on trouve classiquement trois distances utiles {d}_{1}(x,y) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i}|{x}_{i} − {y}_{i}|, {d}_{2}(x,y) = \sqrt{{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i}|{x}_{i} − {y}_{i}{|}^{2}} et {d}_{∞}(x,y) ={\mathop{ max}}_{i}|{x}_{i} − {y}_{i}| si x = ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) et y = ({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{n}).

Définition 4.2.2 On appelle boule ouverte de centre a de rayon r > 0 : B(a,r) = \{x ∈ E\mathrel{∣}d(a,x) < r\}.

On appelle boule fermée de centre a de rayon r > 0 : B'(a,r) = \{x ∈ E\mathrel{∣}d(a,x) ≤ r\}.

On appelle sphère de centre a de rayon r > 0 : S(a,r) = \{x ∈ E\mathrel{∣}d(a,x) = r\}

Définition 4.2.3 Soit (E,d) un espace métrique et {d}_{F} la restriction de d à F × F. Alors {d}_{F} est encore une distance sur F appelée la distance induite par d.

Remarque 4.2.1 On a clairement {B}_{{d}_{F}}(a,r) = {B}_{d}(a,r) ∩ F et le résultat similaire pour les boules fermées, si a ∈ F.

Définition 4.2.4 Soit ({E}_{1},{d}_{1}),\mathop{\mathop{…}},({E}_{k},{d}_{k}) des espaces métriques. Soit E = {E}_{1} ×\mathrel{⋯} × {E}_{k}. On définit alors sur E une distance produit par d(x,y) ={\mathop{ max}}_{i}{d}_{i}({x}_{i},{y}_{i}) si x = ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{k}) et y = ({y}_{1},\mathop{\mathop{…}},{y}_{k}).

Définition 4.2.5

Définition 4.2.6 Soit (E,d) et (F,δ) deux espaces métriques. On appelle isométrie de E sur F toute application f : E → F bijective qui conserve la distance :

\mathop{∀}x,y ∈ E, δ(f(x),f(y)) = d(x,y)

4.2.2 Topologie définie par une distance

Définition 4.2.7 Soit (E,d) un espace métrique. On appelle topologie définie sur E par la distance d l’ensemble des parties U de E (les ouverts de la topologie) vérifiant

\mathop{∀}x ∈ U, \mathop{∃}r > 0,\quad B(x,r) ⊂ U

Démonstration C’est bien une topologie : clairement E et sont des ouverts ; si U et U' sont des ouverts et x ∈ U ∩ U', il existe r > 0 et r' > 0 tels que B(x,r) ⊂ U et B(x,r') ⊂ U' et alors {r}_{0} =\mathop{ min}(r,r') > 0 est tel que B(x,{r}_{0}) ⊂ U ∩ U'. Si les {U}_{i}, i ∈ I sont des ouverts, soit x ∈{\mathop{\mathop{⋃ }} }_{i∈I}{U}_{i}. Il existe {i}_{0} tel que x ∈ {U}_{{i}_{0}} puis r > 0 tel que B(x,r) ⊂ {U}_{{i}_{0}}. On a alors B(x,r) ⊂{\mathop{\mathop{⋃ }} }_{i∈I}{U}_{i}.

Proposition 4.2.2 Dans un espace métrique, toute boule ouverte est un ouvert, toute boule fermée est un fermé.

Démonstration Soit x ∈ B(a,r) et ρ = r − d(a,x) > 0. Si y ∈ B(x,ρ), on a d(a,y) ≤ d(a,x) + d(x,y) < d(a,x) + ρ = r soit B(x,ρ) ⊂ B(a,r). De même on montre que si x\mathrel{∉}B'(a,r) et si ρ = d(a,x) − r > 0, alors B(x,ρ) ⊂ E ∖ B'(a,r). Donc E ∖ B'(a,r) est ouvert et B'(a,r) est fermé.

Remarque 4.2.2

  • (i) V ∈ V (a) \mathrel{⇔} \mathop{∃}r > 0, B(a,r) ⊂ V
  • (ii) a ∈ {A}^{o} \mathrel{⇔} \mathop{∃}r > 0, B(a,r) ⊂ A
  • (iii) \overline{A} = \{x ∈ E\mathrel{∣}\mathop{∀}r > 0, B(x,r) ∩ A\mathrel{≠}∅\}
  • (iv) \mathop{\mathrm{Fr}}(A) = \{x ∈ E\mathrel{∣}\mathop{∀}r > 0, B(x,r) ∩ A\mathrel{≠}∅\text{ et }B(x,r) ∩cA\mathrel{≠}∅\}

Proposition 4.2.3 Soit (E,d) un espace métrique et F ⊂ E. Alors la topologie induite sur F est la topologie définie par la distance {d}_{F}.

Démonstration On remarque que si a ∈ F, {B}_{{d}_{F}}(a,r) = {B}_{d}(a,r) ∩ F. Soit V un ouvert pour la topologie induite, soit U ouvert de E tel que V = U ∩ F. On a a ∈ U, donc il existe r > 0 tel que {B}_{d}(a,r) ⊂ U. On a alors {B}_{{d}_{F}}(a,r) = {B}_{d}(a,r) ∩ F ⊂ U ∩ F ⊂ U. Inversement, soit V un ouvert pour la distance {d}_{F}. Pour tout x ∈ V , il existe {r}_{x} > 0 tel que {B}_{{d}_{F}}(x,{r}_{x}) ⊂ V . On a alors V ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{x∈V }{B}_{{d}_{F}}(x,{r}_{x}) (cette réunion contient V de manière évidente et est contenue dans V car réunion de parties de V ). On pose alors U ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{x∈V }{B}_{d}(x,{r}_{x}). C’est un ouvert de E et on a V = U ∩ F.

Remarque 4.2.3 Ceci montre que la topologie définie par la distance {d}_{F} ne dépend que de la topologie sur E et pas vraiment de la distance d. Montrons de même que la topologie définie par la distance produit ne dépend que des topologies sur les espaces et pas des distances elles-mêmes

Proposition 4.2.4 Soit ({E}_{1},{d}_{1}) et ({E}_{2},{d}_{2}) deux espaces métriques et ({E}_{1} × {E}_{2},δ) l’espace métrique produit. Soit U ⊂ {E}_{1} × {E}_{2}. Alors U est ouvert si et seulement si 

\mathop{∀}({a}_{1},{a}_{2}) ∈ U, \mathop{∃}{V }_{1} ∈ V ({a}_{1}), \mathop{∃}{V }_{2} ∈ V ({a}_{2}),\quad {V }_{1} × {V }_{2} ⊂ U

Démonstration Supposons que U est ouvert pour la distance produit. Si ({a}_{1},{a}_{2}) ∈ U, il existe r > 0 tel que {B}_{δ}(({a}_{1},{a}_{2}),r) ⊂ U. Mais on a

\begin{eqnarray*}{ B}_{δ}(({a}_{1},{a}_{2}),r)& =& \{({x}_{1},{x}_{2})\mathrel{∣}\mathop{max}({d}_{1}({x}_{1},{a}_{1}),{d}_{2}({a}_{2},{r}_{2})) < r\}%& \\ & =& {B}_{{d}_{1}}({a}_{1},r) × {B}_{{d}_{2}}({a}_{2},r) %& \\ \end{eqnarray*}

et donc {V }_{1} = {B}_{{d}_{1}}({a}_{1},r) et {V }_{2} = {B}_{{d}_{2}}({a}_{2},r) sont des voisinages de {a}_{1} et {a}_{2} tels que {V }_{1} × {V }_{2} ⊂ U. Inversement, si U vérifie cette propriété, soit ({a}_{1},{a}_{2}) ∈ U et soit {V }_{1} ∈ V ({a}_{1}), {V }_{2} ∈ V ({a}_{2}) tels que {V }_{1} × {V }_{2} ⊂ U. Il existe {r}_{1} > 0 et {r}_{2} > 0 tels que {B}_{{d}_{i}}({a}_{i},{r}_{i}) ⊂ {V }_{i}. Soit r =\mathop{ min}({r}_{1},{r}_{2}) > 0. On a

\begin{eqnarray*}{ B}_{δ}(({a}_{1},{a}_{2}),r)& =& {B}_{{d}_{1}}({a}_{1},r) × {B}_{{d}_{2}}({a}_{2},r) %& \\ & ⊂& {B}_{{d}_{1}}({a}_{1},{r}_{1}) × {B}_{{d}_{2}}({a}_{2},{r}_{2}) ⊂ {V }_{1} × {V }_{2} ⊂ U%& \\ \end{eqnarray*}

donc U est un ouvert pour δ, ce qui achève la démonstration.

Remarque 4.2.4 En particulier, si {U}_{1} et {U}_{2} sont des ouverts de {E}_{1} et {E}_{2}, alors {U}_{1} × {U}_{2} est un ouvert de {E}_{1} × {E}_{2} ; un tel ouvert sera dit ouvert élémentaire.

4.2.3 Points isolés, points d’accumulation

Soit toujours F une partie de E et x ∈\overline{F}. On sait que \mathop{∀}V ∈ V (x) V ∩ F\mathrel{≠}∅. On a alors deux possibilités suivant que V ∩ F peut être réduit à \{x\} ou non.

Définition 4.2.8

  • (i) On dit que x ∈ F est point isolé de F, s’il existe V voisinage de x dans E tel que V ∩ F = \{x\}
  • (ii) On dit que x ∈ E est point d’accumulation de F si pour tout voisinage V de x dans E, V ∩ F ∖\{x\}\mathrel{≠}∅.

Théorème 4.2.5 Soit E un espace métrique.

  • (i) x ∈ F est point isolé de F si et seulement si \{x\} est ouvert dans F
  • (ii) x ∈ E est point d’accumulation de F si et seulement si pour tout voisinage V de x dans E, V ∩ F est infini.

Démonstration (i) est tout à fait élémentaire et résulte de la définition de la topologie induite. En ce qui concerne (ii), la partie () est évidente. Montrons donc la partie (). Soit x un point d’accumulation de F, V un voisinage de x et r > 0 tel que B(x,r) ⊂ V . Alors (B(x,r) ∖\{x\}) ∩ F\mathrel{≠}∅. Soit {x}_{1} ∈ (B(x,r) ∖\{x\}) ∩ F. Si {x}_{n} est supposé construit, on pose {r}_{n} = d(x,{x}_{n}) > 0 et on choisit {x}_{n+1} ∈ (B(x,{r}_{n}) ∖\{x\}) ∩ F\mathrel{≠}∅. Alors la suite (d(x,{x}_{n})) est strictement décroissante, ce qui montre que les {x}_{n} sont deux à deux distincts. Ils sont tous dans F et dans B(x,r) donc dans V .

4.2.4 Propriété de séparation

Théorème 4.2.6 Soit E un espace métrique, a et b deux points distincts de E. Alors il existe U ouvert contenant a et V ouvert contenant b tels que U ∩ V = ∅.

Démonstration Soit r ={ 1 \over 3} d(a,b), U = B(a,r) et V = B(b,r) conviennent.

Corollaire 4.2.7 Soit E un espace métrique et Δ = \{(x,x) ∈ E × E\}. Alors Δ est fermée dans E × E.

Démonstration Soit (a,b) ∈ E × E ∖ Δ. On a donc a\mathrel{≠}b. Il existe U ouvert contenant a et V ouvert contenant b tels que U ∩ V = ∅. Alors U × V est un ouvert de E × E (élémentaire) et (U × V ) ∩ Δ = ∅, soit U × V ⊂ E × E ∖ Δ. Donc E × E ∖ Δ est voisinage de tous ses points et il est ouvert. Donc Δ est fermée.

4.2.5 Changement de distances

Définition 4.2.9 Soit E un ensemble. On dit que deux distances {d}_{1} et {d}_{2} sur E sont topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie (il s’agit clairement d’une relation d’équivalence).

Théorème 4.2.8 Soit E un ensemble, d et d' deux distances sur E. Ces distances sont topologiquement équivalentes si et seulement si elles vérifient

  • (i) \mathop{∀}a ∈ E, \mathop{∀}r > 0, \mathop{∃}r' > 0,\quad {B}_{d'}(a,r') ⊂ {B}_{d}(a,r)
  • (ii) \mathop{∀}a ∈ E, \mathop{∀}r' > 0, \mathop{∃}r > 0,\quad {B}_{d}(a,r) ⊂ {B}_{d'}(a,r')

Démonstration Ces conditions sont évidemment nécessaires puisque les boules ouvertes pour d doivent être des ouverts pour d' et réciproquement. Supposons maintenant que (i) est vérifiée et soit U un ouvert pour d. Soit a ∈ U. Il existe r > 0 tel que {B}_{d}(a,r) ⊂ U. Alors \mathop{∃}r' > 0,\quad {B}_{d'}(a,r') ⊂ {B}_{d}(a,r) ⊂ U. On en déduit que U est ouvert pour d', donc {T}_{d} ⊂{T}_{d'}. De même (ii) traduit l’inclusion {T}_{d'} ⊂{T}_{d}.

Définition 4.2.10 Soit E un ensemble. On dit que deux distances {d}_{1} et {d}_{2} sur E sont équivalentes s’il existe α et β strictement positifs tels que

\mathop{∀}x,y ∈ E,\quad α{d}_{1}(x,y) ≤ {d}_{2}(x,y) ≤ β{d}_{1}(x,y)

Proposition 4.2.9 Deux distances équivalentes sont topologiquement équivalentes.

Démonstration On a {d}_{1}(a,x) <{ r \over β} ⇒ {d}_{2}(x,y) < r soit {B}_{{d}_{1}}(a,{ r \over β} ) ⊂ {B}_{{d}_{2}}(a,r). De même {B}_{{d}_{2}}(a,αr) ⊂ {B}_{{d}_{1}}(a,r).

Remarque 4.2.5 Soit d une distance sur E et posons d'(x,y) =\mathop{ min}(1,d(x,y)). On vérifie facilement que d est une distance sur E, que d et d' sont topologiquement équivalentes ({B}_{d}(a,r) ⊂ {B}_{d'}(a,r) et {B}_{d'}(a,\mathop{min}({ 1 \over 2} ,r)) ⊂ {B}_{d}(a,r)). Mais en général, d et d' ne sont pas équivalentes (d' est toujours bornée alors que d ne l’est pas en général).

4.2.6 La droite numérique achevée

On pose \overline{ℝ} = ℝ ∪\{−∞,+∞\} muni de la relation d’ordre évidente. Les intervalles ouverts sont donc les intervalles de la forme

  • (i) I =]a,b[= \{x ∈ ℝ\mathrel{∣}a < x < b\} pour a,b ∈\overline{ℝ}
  • (ii) I =]a,+∞] = \{x ∈\overline{ℝ}\mathrel{∣}a < x\} ou I = [−∞,a[= \{x ∈\overline{ℝ}\mathrel{∣}x < a\}
  • (iii) I = [−∞,+∞] = \overline{ℝ}

Comme sur , ces intervalles ouverts engendrent une topologie appelée la topologie usuelle de \overline{ℝ}. On a alors

  • (i) si a ∈ ℝ, V ∈ V (a) \mathrel{⇔} \mathop{∃}ε > 0,\quad ]a − ε,a + ε[⊂ V
  • (ii) si a = +∞,
    V ∈ V (+∞) \mathrel{⇔} \mathop{∃}A > 0,\quad ]A,+∞] ⊂ V

  • (iii) si a = −∞,
    V ∈ V (−∞) \mathrel{⇔} \mathop{∃}A < 0,\quad [−∞,A[⊂ V

Théorème 4.2.10 La topologie usuelle sur \overline{ℝ} est définie par une distance.

Démonstration Soit φ : \overline{ℝ} → [−1,1] définie par φ(x) = \left \{ \cases{ { x \over 1+|x|} &si x ∈ ℝ \cr 1 &si x = +∞ \cr −1 &si x = −∞ \cr } \right .. L’application φ est une bijection strictement croissante donc respecte les intervalles ouverts, donc les topologies usuelles : si U ⊂\overline{ℝ}, U est ouvert dans \overline{ℝ} si et seulement si φ(U) est ouvert dans [−1,1] ; comme la topologie sur [−1,1] est définie par la distance |x − y|, la topologie sur \overline{ℝ} est définie par la distance d(x,y) = |φ(x) − φ(y)| (pour cette distance, φ devient une isométrie).

Remarque 4.2.6 On vérifie immédiatement que la topologie usuelle de \overline{ℝ} induit sur la topologie usuelle de .