4.1 Eléments de topologie générale

4.1.1 Espaces topologiques

Définition 4.1.1 Soit E un ensemble. On appelle topologie sur E toute partie T de P(E) vérifiant les propriétés

Les éléments de T s’appellent les ouverts de la topologie. On appelle espace topologique un couple (E,T ) d’un ensemble E et d’une topologie T sur E.

Remarque 4.1.1 On déduit de la propriété (ii) que toute intersection finie d’ouverts est encore un ouvert.

Exemple 4.1.1 \{∅,E\} est une topologie sur E appelée la topologie grossière ; de même P(E) est une topologie sur E appelée la topologie discrète.

4.1.2 La topologie de

Définition 4.1.2 On dit qu’une partie I de est un intervalle ouvert si elle est de l’une des formes suivantes

On vérifie facilement que cet ensemble noté est stable par intersection finie (car on a un ordre total). Soit alors T l’ensemble des réunions de familles d’intervalles ouverts. On vérifie facilement la proposition suivante

Proposition 4.1.1 T est une topologie sur appelée la topologie usuelle.

Théorème 4.1.2 Soit U une partie de . On a équivalence de

Démonstration ((i) (ii)) Si U ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{k∈K}{I}_{k} et x ∈ U, alors \mathop{∃}k ∈ K, x ∈ {I}_{k} et {I}_{x} = {I}_{k} convient.

((ii) (i)) Soit V ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{x∈U}{I}_{x}. V est une réunion de parties de U donc V ⊂ U ; mais \mathop{∀}x ∈ U,x ∈ {I}_{x} ⊂ V , donc U ⊂ V . On a donc U = V ∈T.

Corollaire 4.1.3 Dans , une partie U est ouverte si et seulement si elle vérifie

\mathop{∀}x ∈ U, \mathop{∃}ε > 0,\quad ]x − ε,x + ε[⊂ U

Démonstration En effet ]x − ε,x + ε[ est un intervalle ouvert contenant x, et inversement tout intervalle ouvert contenant x contient un ]x − ε,x + ε[, pour un ε > 0 assez petit.

4.1.3 Fermés et voisinages

Définition 4.1.3 Soit (E,T ) un espace topologique. On dit qu’une partie A de E est fermée si son complémentaire est ouvert.

Proposition 4.1.4 (i) et E sont fermés

  • (ii) si A,B sont des fermés, A ∪ B est fermé (par récurrence, la réunion d’un nombre fini de fermés est fermée).
  • (iii) Pour toute famille {({F}_{i})}_{i∈I} de fermés, {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{i∈I}{F}_{i} est fermée.

Démonstration Par passage au complémentaire à partir des trois propriétés des ouverts.

Remarque 4.1.2 Les parties et E sont à la fois ouvertes et fermées ; dans muni de la topologie usuelle, la partie ]0,1] n’est ni ouverte, ni fermée. Fermé n’est en aucun cas le contraire d’ouvert.

Définition 4.1.4 Soit (E,T ) un espace topologique, x ∈ E et V une partie contenant x. On dit que V est un voisinage de x si il existe un ouvert U tel que x ∈ U ⊂ V .

Proposition 4.1.5 Toute intersection finie de voisinages de x est un voisinage de x ; toute partie contenant un voisinage de x est un voisinage de x.

Démonstration Elémentaire.

Exemple 4.1.2 Dans , V est un voisinage de x si et seulement si, \mathop{∃}ε > 0, ]x − ε,x + ε[⊂ V .

Théorème 4.1.6 Soit (E,T ) un espace topologique. Une partie U de E est ouverte si et seulement si U est voisinage de tous ses points.

Démonstration Si U est ouverte, on a \mathop{∀}x ∈ U, x ∈ U ⊂ U, donc U est un voisinage de tous ses points. Inversement, si U est voisinage de tous ses points, pour chaque x ∈ U, il existe {U}_{x} ouvert tel que x ∈ {U}_{x} ⊂ U. Soit V ={\mathop{ \mathop{⋃ }} }_{x∈U}{U}_{x}. U est une réunion d’ouverts, donc un ouvert. On a V ⊂ U comme réunion de parties de U et U ⊂ V car \mathop{∀}x ∈ U,x ∈ {U}_{x} ⊂ V . Donc U = V et U est ouvert.

Définition 4.1.5 On notera V (a) l’ensemble des voisinages de a.

4.1.4 Intérieur, adhérence, frontière

Proposition 4.1.7 Soit A une partie de E (espace topologique).

  • (i) L’ensemble des ouverts contenus dans A a un plus grand élément appelé l’intérieur de A et noté {A}^{o}.
  • (ii) L’ensemble des fermés contenant A a un plus petit élément appelé l’adhérence de A et noté \overline{A}.

Démonstration {\mathop{\mathop{⋃ }} }_{{ U\text{ouvert} \atop U⊂A} }U est un ouvert contenu dans A et c’est bien entendu le plus grand. De même {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{{ F\text{fermé} \atop A⊂F} }F est un fermé contenant A et c’est évidemment le plus petit.

Proposition 4.1.8 c(\overline{A}) = {(cA)}^{o} et c({A}^{o}) = \overline{cA}

Démonstration Il suffit de remarquer que les ouverts sont les complémentaires des fermés et que U ⊂ A \mathrel{⇔} cA ⊂cU et que A ⊂ F \mathrel{⇔} cF ⊂cA.

Théorème 4.1.9

  • (i) {A}^{o} = \{x ∈ A\mathrel{∣}A ∈ V (x)\}
  • (ii) \overline{A} = \{x ∈ E\mathrel{∣}\mathop{∀}V ∈ V (x), V ∩ A\mathrel{≠}∅\}

Démonstration (i) Soit U = \{x ∈ A\mathrel{∣}A ∈ V (x)\}. On a U ⊂ A. On remarque que U est ouvert ; en effet si x ∈ U, on a A ∈ V (x), donc il existe {U}_{o} ouvert tel que x ∈ {U}_{o} ⊂ A ; mais alors \mathop{∀}y ∈ {U}_{o}, y ∈ {U}_{o} ⊂ A, donc A ∈ V (y) soit x ∈ {U}_{o} ⊂ U et U ∈ V (x). Donc U est voisinage de tous ses points, il est donc ouvert. On a donc U ⊂ {A}^{o}. Mais inversement, si x ∈ {A}^{o}, comme {A}^{o} est ouvert, on a x ∈ {A}^{o} ⊂ A, donc A ∈ V (x). On a donc {A}^{o} ⊂ U soit {A}^{o} = U.

(ii) On a donc c(\overline{A}) = {(cA)}^{o} = \{x\mathrel{∣}cA ∈ V (x)\} = \{x\mathrel{∣}\mathop{∃}V ∈ V (x), V ⊂cA\}. On en déduit que \overline{A} = \{x ∈ E\mathrel{∣}\mathop{∀}V ∈ V (x), V ∩ A\mathrel{≠}∅\}.

Remarque 4.1.3 Pour la topologie naturelle de , on a {(\overline{ℚ})}^{o} = ℝ et \overline{{ℚ}^{o}} = ∅ ; ces applications ne sont donc en rien réciproques.

Proposition 4.1.10 A est ouvert si et seulement si {A}^{o} = A. A est fermé si et seulement si \overline{A} = A.

Démonstration Evident.

Définition 4.1.6 Une partie A de E est dite dense dans E si elle vérifie les conditions équivalentes

  • (i) \overline{A} = E
  • (ii) \mathop{∀}x ∈ E, \mathop{∀}V ∈ V (x),\quad V ∩ A\mathrel{≠}∅.
  • (iii) Tout ouvert non vide de E contient un point de A

Démonstration L’équivalence de (i) et (ii) est claire d’après le théorème précédent ; l’équivalence entre (ii) et (iii) est tout à fait élémentaire : tout ouvert est un voisinage, tout voisinage contient un ouvert.

Définition 4.1.7 La frontière d’une partie A est \mathop{\mathrm{Fr}}(A) = \overline{A} ∖ {A}^{o} = \overline{A} ∩\overline{cA}. C’est un fermé de E.

Démonstration Elle est fermée comme intersection de deux fermés.

4.1.5 Topologie induite

Définition 4.1.8 Soit (E,T ) un espace topologique, F une partie de E et soit {T}_{F} = \{U ∩ F\mathrel{∣}U ∈T\}. Alors {T}_{F} est une topologie sur F appelée la topologie induite par celle de E

Proposition 4.1.11 Soit A ⊂ F.

  • (i) A est fermée dans F si et seulement si il existe B fermé de E tel que A = B ∩ F.
  • (ii) Soit a ∈ A ; A est un voisinage de a dans F si et seulement si il existe B voisinage de a dans E tel que A = B ∩ F.

Démonstration ((i)) Supposons que A est fermé dans F. Alors F ∖ A est ouvert dans F et donc il existe U ouvert de E tel que F ∖ A = U ∩ F. Mais on a alors A = (E ∖ U) ∩ F et donc A est l’intersection avec F d’un fermé de E.

((i)) Si A = B ∩ F, on a F ∖ A = (E ∖ B) ∩ F donc F ∖ A est ouvert dans F, donc A est fermé dans F.

((ii)) Si A est un voisinage de a dans F, il existe U ouvert de F tel que a ∈ U ⊂ A. Mais on a U = V ∩ F, où V est un ouvert de E. Alors V ∪ A est un voisinage de a dans E tel que (V ∪ A) ∩ F = U ∪ A = A.

((ii)) Si A = B ∩ FB est un voisinage de a dans E, il existe V ouvert de E tel que a ∈ V ⊂ B. On a alors a ∈ V ∩ F ⊂ A, ce qui montre que A est un voisinage de a dans F.

Remarque 4.1.4 On prendra soin de ne pas confondre ouvert dans F et ouvert dans E, fermé dans F et fermé dans E, etc.