2.8 Systèmes linéaires

2.8.1 Position du problème

Soit A = {({a}_{i,j})}_{1≤i≤m,1≤j≤n} ∈ {M}_{K}(m,n) et {b}_{1},\mathop{\mathop{…}},{b}_{m} ∈ K. On considère le système d’équations aux inconnues {x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n} ∈ K

(L)\quad \left \{\matrix{\,{a}_{1,1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{1,n}{x}_{n} = {b}_{1} \cr \mathop{\mathop{…}} \cr {a}_{m,1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{m,n}{x}_{n} = {b}_{m}}\right .

On a diverses interprétations possibles d’un tel système (en notant {\text{Can}}_{n} la base canonique de {K}^{n}) :

Remarque 2.8.1 En remarquant que A est la matrice de u dans les bases canoniques, mais aussi la matrice des coordonnées de ({c}_{1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{n}) dans la base canonique de {K}^{m} et la transposée de la matrice de ({f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{m}) dans la base duale de la base canonique de {K}^{n}, on obtient

Théorème 2.8.1 Avec les notations ci-dessus, on a \mathop{\mathrm{rg}}A =\mathop{ \mathrm{rg}}u =\mathop{ \mathrm{rg}}({c}_{1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{n}) =\mathop{ \mathrm{rg}}({f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{m}). Cette valeur commune est appelée le rang du système.

2.8.2 Systèmes de Cramer

Définition 2.8.1 On appelle système de Cramer un système d’équations linéaires vérifiant les conditions équivalentes (qui toutes impliquent que m = n)

Théorème 2.8.2 (Résolution d’un système de Cramer) Un système de Cramer admet une solution unique donnée par

Démonstration Tout est évident sauf le (iii). Mais on a b = {x}_{1}{c}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {x}_{n}{c}_{n}, soit

\begin{eqnarray*} \mathop{\mathrm{det}} ({c}_{1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{j−1},b,{c}_{j+1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{n})&& %& \\ & =& \mathop{\mathrm{det}} ({c}_{1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{j−1},{x}_{1}{c}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {x}_{n}{c}_{n},{c}_{j+1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{n})%& \\ & =& {x}_{j}\mathop{ \mathrm{det}} ({c}_{1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{n}) %& \\ \end{eqnarray*}

en développant suivant la j-ième colonne (tous les autres déterminants sont nuls car contenant deux fois la même colonne {c}_{i}).

2.8.3 Théorème de Rouché-Fontené

Définition 2.8.2 On associe au système (L) le système dit homogène

(H)\quad \left \{\matrix{\,{a}_{1,1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{1,n}{x}_{n} = 0 \cr \mathop{\mathop{…}} \cr {a}_{m,1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{m,n}{x}_{n} = 0}\right .

On appelle {S}_{L} l’ensemble des solutions du système linéaire, {S}_{H} celui du système homogène.

Proposition 2.8.3 {S}_{H} est un sous-espace vectoriel de {K}^{n} de dimension égale à n −\mathop{\mathrm{rg}}L. {S}_{L} est soit vide, soit un sous-espace affine de direction {S}_{H} ; dans ce cas on obtient la solution générale de (L) en ajoutant à une solution particulière, la solution générale de (H).

Démonstration On a {S}_{H} =\mathop{ \mathrm{Ker}}u d’où le fait qu’il est un sous-espace vectoriel ; sa dimension est donnée par le théorème du rang. De plus, si v ∈ {S}_{L}, on a x ∈ {S}_{L} \mathrel{⇔} u(x) = b = u(v) \mathrel{⇔} u(x − v) = 0 \mathrel{⇔} x − v ∈ {S}_{H}.

Définition 2.8.3 Soit P = {({a}_{i,j})}_{i∈I,j∈J} une sous-matrice principale de la matrice du système (L). On appelle déterminants caractéristiques du système associés à la sous-matrice principale P les m − r déterminants

{Δ}_{{i}_{0}} =\mathop{ \mathrm{det}} \left (\matrix{\,{({a}_{i,j})}_{i∈I,j∈J}&{({b}_{i})}_{i∈I} \cr {({a}_{{i}_{0},j})}_{j∈J} &{b}_{{i}_{0}} }\right )

avec {i}_{0} ∈ [1,m] ∖ I

Théorème 2.8.4 (Rouché-Fontené). Soit P une sous-matrice principale de la matrice du système (L). Alors le système a des solutions si et seulement si les m − r déterminants caractéristiques associés à P sont nuls. Dans ce cas, l’ensemble des solutions de (L) est le même que l’ensemble des solutions du système L' obtenu en éliminant les équations non principales. On résout ce système (L’), en donnant des valeurs arbitraires aux inconnues non principales et en déterminant les valeurs correspondantes des inconnues principales par la résolution du système de Cramer (de matrice P) ainsi obtenu.

Démonstration Etudions tout d’abord la compatibilité du système. On a

\begin{eqnarray*}{ S}_{L}\mathrel{≠}∅& \mathrel{⇔} & b ∈\mathop{\mathrm{Vect}}({c}_{1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{n}) %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{dim} \mathop{\mathrm{Vect}}({c}_{1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{n},b) =\mathop{ dim} \mathop{\mathrm{Vect}}({c}_{1},\mathop{\mathop{…}},{c}_{n})%& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{\mathrm{rg}}\left (\matrix{\,A&B}\right ) =\mathop{ \mathrm{rg}}A %& \\ \end{eqnarray*}

Soit donc P = {({a}_{i,j})}_{i∈I,j∈J} une sous-matrice principale de A (avec |I| = |J| = r). Le système a des solutions si et seulement si P est encore une sous-matrice principale de \left (\matrix{\,A&B}\right ), c’est-à-dire si et seulement si toutes les sous matrices bordantes de P dans \left (\matrix{\,A&B}\right ) sont non inversibles ; mais ces matrices bordantes sont de deux types : soit des matrices bordantes dans A qui sont forcément non inversibles, soit des matrices de la forme \left (\matrix{\,{({a}_{i,j})}_{i∈I,j∈J}&{({b}_{i})}_{i∈I} \cr {({a}_{{i}_{0},j})}_{j∈J} &{b}_{{i}_{0}} }\right ), avec {i}_{0} ∈ [1,m] ∖ I. On a noté {Δ}_{{i}_{0}} le déterminant d’une telle matrice : les {Δ}_{{i}_{0}}, i ∈ [1,m] ∖ I sont les déterminants caractéristiques du système (il y en a m − r). Le système a des solutions si et seulement si ces déterminants caractéristiques sont tous nuls.

Supposons la condition réalisée, soit (L') le système \left \{\matrix{\,{a}_{i,1}{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{i,n}{x}_{n} = {b}_{i}}\right .,\quad i ∈ I (système d’équations principales associées à P). On a clairement {S}_{L} ⊂ {S}_{L'}. Mais les deux systèmes ont même rang, si bien que \mathop{dim} {S}_{L} =\mathop{ dim} {S}_{L'}. On a donc {S}_{L} = {S}_{L'}. Or le système L' se résout facilement en l’écrivant sous la forme

{\mathop{∑ }}_{j∈J}{a}_{i,j}{x}_{j} = {b}_{i} −{\mathop{∑ }}_{j\mathrel{∉}J}{a}_{i,j}{x}_{j},\quad i ∈ I

On donne des valeurs arbitraires aux inconnues {x}_{j}, j\mathrel{∉}J (inconnues non principales associées à la matrice P) ; on obtient alors un système de Cramer de matrice P qui permet de déterminer les {x}_{j}, j ∈ J (les inconnues principales associées à P).

2.8.4 Méthode du pivot

Appliquons la méthode du pivot sur les lignes de la matrice A en effectuant les opérations correspondantes sur la matrice B. On obtient un nouveau système du type

\left \{\matrix{\,{α}_{1,{i}_{1}}{x}_{{i}_{1}} + {α}_{1,{i}_{1}+1}{x}_{{i}_{1}+1} + \quad \quad \mathop{\mathop{…}}\quad \quad + {α}_{1,n}{x}_{n} = {β}_{1} \cr {α}_{2,{i}_{2}}{x}_{{i}_{2}} + {α}_{2,{i}_{2}+1}{x}_{{i}_{2}+1} + \quad \mathop{\mathop{…}}\quad + {α}_{2,n}{x}_{n} = {β}_{2} \cr \mathop{\mathop{…}} \cr {α}_{r,{i}_{r}}{x}_{{i}_{r}} + {α}_{1,{i}_{r}+1}{x}_{{i}_{r}+1} + \mathop{\mathop{…}} + {α}_{r,n}{x}_{n} = {β}_{r} \cr 0 = {β}_{r+1} \cr \mathop{\mathop{…}} \cr 0 = {β}_{m}}\right .

avec {i}_{1} < {i}_{2} < \mathop{\mathop{…}} < {i}_{r}, {α}_{k,{i}_{k}}\mathrel{≠}0 pour k ∈ [1,r]

Un tel système se résout immédiatement : il a des solutions si et seulement si {β}_{r+1} = \mathop{\mathop{…}} = {β}_{m} = 0. Dans ce cas il est équivalent au système formé des r premières équations. Celui-ci se résout en donnant des valeurs arbitraires aux {x}_{j} pour j\mathrel{∉}\{{i}_{1},\mathop{\mathop{…}},{i}_{r}\} et en calculant les {x}_{{i}_{k}} par résolution d’un système triangulaire supérieur.

Application : recherche de l’inverse d’une matrice : AX = Y \mathrel{⇔} X = {A}^{−1}Y .