2.5 Dualité : approche générale

Cette section ne figure pas au programme des classes préparatoires. Elle reprend les définitions et les résultats de la section précédente en les généralisant.

2.5.1 Notion de dual. Orthogonalité

Définition 2.5.1 Soit E un K-espace vectoriel . On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K. On appelle dual de E le K-espace vectoriel {E}^{∗} = L(E,K).

Remarque 2.5.1 On dispose d’une application bilinéaire de {E}^{∗}× E dans K donnée par \langle f\mathrel{∣}x\rangle = f(x) appelée la forme bilinéaire canonique. A cette forme bilinéaire est associée une notion d’orthogonalité. On notera donc

Proposition 2.5.1 Les notations A,{A}_{1},{A}_{2} désignant des parties de E et B,{B}_{1},{B}_{2} désignant des parties de {E}^{∗}, on a

Démonstration Les propriétés (i),(ii) et (iii) sont évidentes ainsi que les parties ”” de (iv) et (v).

Montrons donc que A\mathrel{≠}E ⇒ {A}^{⊥}\mathrel{≠}\{0\}. Soit {({e}_{i})}_{i∈I} une base de A que l’on complète en {({e}_{i})}_{i∈J} base de E. Soit {i}_{0} ∈ J ∖ I et f l’application qui à x associe sa {i}_{0}-ième coordonnée dans la base. On a f\mathrel{≠}0 et f ∈ {A}^{⊥}.

Montrons maintenant que A\mathrel{≠}\{0\} ⇒ {A}^{⊥}\mathrel{≠}{E}^{∗}. Pour cela soit x ∈ A ∖\{0\}. On complète x en une base {({e}_{i})}_{i∈I} de E avec x = {e}_{{i}_{0}}. Soit f l’application qui à x associe sa {i}_{0}-ième coordonnée dans la base. On a f(x)\mathrel{≠}0, donc f\mathrel{∉}{A}^{⊥}.

Montrons maintenant que B\mathrel{≠}\{0\} ⇒ {B}^{o}\mathrel{≠}E. Soit f ∈ B ∖\{0\}. On a f\mathrel{≠}0, donc \mathop{∃}x ∈ E, f(x)\mathrel{≠}0. Dans ce cas x\mathrel{∉}{B}^{o}, ce qui achève la démonstration.

On prendra garde qu’on peut avoir {B}^{o} = \{0\} avec B\mathrel{≠}{E}^{∗} (prendre par exemple E = ℝ[X] et B =\mathop{ \mathrm{Vect}}({ε}_{x},x ∈ ℤ){ε}_{x}(P) = P(x) ; on a {B}^{o} = \{0\} alors que {ε}_{1∕2}\mathrel{∉}B).

2.5.2 Hyperplans

Définition 2.5.2 On appelle hyperplan de E tout sous-espace vectoriel H de E vérifiant les conditions équivalentes

Démonstration (i)(ii) : prendre \overline{e} une base de E∕H et écrire π(x) = f(x)\overline{e}.

(ii) (iii) : on prend a ∈ E tel que f(a)\mathrel{≠}0. Tout élément x s’écrit de manière unique sous la forme x = (x −{ f(x) \over f(a)} a) +{ f(x) \over f(a)} a avec x −{ f(x) \over f(a)} a ∈\mathop{\mathrm{Ker}}f, soit E =\mathop{ \mathrm{Ker}}f ⊕ Ka.

(iii)(i) : tout supplémentaire de H est isomorphe à E∕H.

Théorème 2.5.2 Soit H un hyperplan de E. Alors {H}^{⊥} est de dimension 1 (droite vectorielle) : deux formes linéaires nulles sur H sont proportionnelles.

Démonstration Si E = H ⊕ Ka et H =\mathop{ \mathrm{Ker}}f, soit g ∈ {H}^{⊥}. Alors g et { g(a) \over f(a)} f coïncident sur H et sur Ka, donc sont égales.

2.5.3 Bidual

Définition 2.5.3 On désigne par {E}^{∗∗} le dual de {E}^{∗}.

Remarque 2.5.2 Si E est de dimension finie, {E}^{∗} aussi et \mathop{dim} {E}^{∗} =\mathop{ dim} E. On en déduit que {E}^{∗∗} est aussi de dimension finie encore égale à \mathop{dim} E.

Théorème 2.5.3 L’application u : E → {E}^{∗∗}, x\mathrel{↦}{u}_{x} définie par {u}_{x}(f) = f(x) est une application linéaire injective. Si E est un espace vectoriel de dimension finie, c’est un isomorphisme d’espaces vectoriels.

Démonstration En effet, cette application est visiblement linéaire et si x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}u, on a

\mathop{∀}f ∈ {E}^{∗}, f(x) = {u}_{ x}(f) = 0(f) = 0

et donc x ∈ {({E}^{∗})}^{o} = \{0\} ; elle est donc injective. Si E est un espace vectoriel de dimension finie, on a une application linéaire injective entre deux espaces de même dimension finie, elle est donc bijective.

2.5.4 Transposée

Définition 2.5.4 Soit u ∈ L(E,F). On note {}^{t}u : {F}^{∗}→ {E}^{∗} définie par {}^{t}u(g) = g ∘ u (c’est une application linéaire).

Remarque 2.5.3 Cela revient à poser, pour x ∈ E et g ∈ {F}^{∗}, {\langle }^{t}u(g)\mathrel{∣}{x\rangle }_{E} =\langle g\mathrel{∣}u{(x)\rangle }_{F}.

Théorème 2.5.4 On a les propriétés suivantes

Démonstration (i) et (ii) sont très faciles à partir de la définition. (iii) découle immédiatement de (ii) en écrivant que v ∘ u ={ \mathrm{Id}}_{E} et u ∘ v ={ \mathrm{Id}}_{F}.

Pour (iv), on a g ∈{\mathop{\mathrm{Ker}}}^{t}u \mathrel{⇔} \mathop{∀}x ∈ E{, }^{t}u(g)(x) = 0 \mathrel{⇔} \mathop{∀}x ∈ E, g(u(x)) = 0 \mathrel{⇔} g ∈ {(\mathop{\mathrm{Im}}u)}^{⊥}.

Pour (v), on remarque d’abord que f ∈{\mathop{\mathrm{Im}}}^{t}u ⇒\mathop{∃}g, f = g ∘ u ⇒\mathop{∀}x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}u, f(x) = 0 ⇒ f ∈ {(\mathop{\mathrm{Ker}}u)}^{⊥}, soit {\mathop{\mathrm{Im}}}^{t}u ⊂ {(\mathop{\mathrm{Ker}}u)}^{⊥}. Inversement, soit f ∈ {(\mathop{\mathrm{Ker}}u)}^{⊥}. On définit {g}_{1} forme linéaire sur \mathop{\mathrm{Im}}u par {g}_{1}(y) = f(x) si y = u(x) ; on vérifie en effet que f(x) est indépendant du choix de x tel que y = u(x) car f est nulle sur \mathop{\mathrm{Ker}}u. Soit alors V un supplémentaire de \mathop{\mathrm{Im}}u dans F. On définit g : F → K par g({y}_{1} + {y}_{2}) = {g}_{1}({y}_{1}) si {y}_{1} ∈\mathop{\mathrm{Im}}u et {y}_{2} ∈ V . On a bien f = g ∘ u {= }^{t}u(g). Donc {(\mathop{\mathrm{Ker}}u)}^{⊥}⊂{\mathop{\mathrm{Im}}}^{t}u et donc l’égalité.

2.5.5 Dualité en dimension finie

Proposition 2.5.5 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, ℰ = ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E. La famille ℰ' = ({e}_{1}^{∗},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}^{∗}) de {E}^{∗} définie par {e}_{i}^{∗}({e}_{j}) = {δ}_{i}^{j} est une base de {E}^{∗} appelée la base duale de la base

Démonstration On vérifie en effet immédiatement qu’elle est libre et elle a le bon cardinal.

Théorème 2.5.6 Soit E un espace vectoriel de dimension finie. L’application ℰ→ℰ' est une bijection de l’ensemble des bases de E sur l’ensemble des bases de {E}^{∗}.

Démonstration Injectivité : si (({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) et ({e}_{1}',\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}') sont deux bases qui ont même base duale, on a pour toute f ∈ {E}^{∗}, f({e}_{i}) = f({e}_{i}') et donc {e}_{i} = {e}_{i}'. Surjectivité : soit ℱ = ({f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{n}) une base de {E}^{∗} et soit sa base duale (dans {E}^{∗∗}). Soit u l’isomorphisme de E sur {E}^{∗∗}, et ℰ = {u}^{−1}(ℱ'), base de E. On a alors {f}_{i}({e}_{j}) = {u}_{{e}_{j}}({f}_{i}) = {f}_{j}^{∗}({f}_{i}) = {δ}_{i}^{j}, donc est la base duale de la base .

Corollaire 2.5.7 Soit E un espace vectoriel de dimension finie.

  • (i) Soit A un sous-espace vectoriel de E. On a
    \mathop{dim} E =\mathop{ dim} A +\mathop{ dim} {A}^{⊥}\text{ et }{({A}^{⊥})}^{o} = A

  • (ii) Soit B un sous-espace vectoriel de {E}^{∗}. On a
    \mathop{dim} E =\mathop{ dim} B +\mathop{ dim} {B}^{o}\text{ et }{({B}^{o})}^{⊥} = B

Démonstration Soit ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}) une base de A que l’on complète en ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) base de E. On vérifie immédiatement que {A}^{⊥} =\mathop{ \mathrm{Vect}}({e}_{p+1}^{∗},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}^{∗}) d’où le résultat sur la dimension. On montre de même le résultat sur la dimension de {B}^{o}. Les égalités découlent alors des inclusions et du fait que les espaces ont même dimension.

Corollaire 2.5.8 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, {f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{k} ∈ {E}^{∗}, V = \{x ∈ E\mathrel{∣}{f}_{1}(x) = \mathop{\mathop{…}} = {f}_{k}(x) = 0\}. Alors \mathop{dim} V =\mathop{ dim} E −\mathop{\mathrm{rg}}({f}_{1},\mathop{\mathop{…}},{f}_{k}).

Théorème 2.5.9 Soit E et F deux espaces vectoriels de dimensions finies, u ∈ L(E,F). Alors \mathop{\mathrm{rg}}u ={\mathop{ \mathrm{rg}}}^{t}u.

Démonstration {\mathop{\mathrm{rg}}}^{t}u =\mathop{ dim} {\mathop{\mathrm{Im}}}^{t}u =\mathop{ dim} {(\mathop{\mathrm{Ker}}u)}^{⊥} =\mathop{ dim} E −\mathop{ dim} \mathop{\mathrm{Ker}}u =\mathop{ \mathrm{rg}}u.