20.4 Introduction aux intégrales de surface

Définition 20.4.1 Soit Σ = (D,F) une nappe paramétrée de classe {C}^{1}de {ℝ}^{3}, où D est un compact de {ℝ}^{2} de frontière négligeable. Soit f une fonction définie et continue sur l’image de Σ et à valeurs dans l’espace vectoriel normé E. On appelle intégrale de f le long de Σ et on note \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{Σ}f(m) dσ l’élément de E

\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{Σ}f(m) dσ =\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{D}f(F(u,v)) \|{ ∂F \over ∂u} (u,v) ∧{ ∂F \over ∂v} (u,v)\| du dv

En particulier, on appelle aire de Σ le nombre réel positif

m(Σ) =\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{Σ} dσ =\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{D}\|{ ∂F \over ∂u} (u,v) ∧{ ∂F \over ∂v} (u,v)\| du dv

Le principal résultat sur ces intégrales de surface est l’invariance par changement de paramétrage admissible

Théorème 20.4.1 Soit {Σ}_{1} = ({D}_{1},{F}_{1}) et {Σ}_{2} = ({D}_{2},{F}_{2}) deux nappes paramétrées de classe {C}^{1} équivalentes, où {D}_{1} et {D}_{2} sont des compacts de {ℝ}^{2} de frontières négligeables. Soit f une fonction définie sur l’image de {Σ}_{1} et {Σ}_{2}, à valeurs dans l’espace vectoriel normé E. Alors

\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{Σ}_{1}}f(m) dσ =\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{Σ}_{2}}f(m) dσ

En particulier, l’aire de la nappe est invariante par changement de paramétrage.

Démonstration Soit θ : {D}_{1} → {D}_{2} un difféomorphisme de l’intérieur de {D}_{1} sur l’intérieur de {D}_{2} vérifiant {F}_{1} = {F}_{2} ∘ θ. Un calcul fait dans le chapitre sur les nappes paramétrées montre que (si on note (u,v)\mathrel{↦}{F}_{1}(u,v) et (λ,μ)\mathrel{↦}{F}_{2}(λ,μ))

{ ∂{F}_{1} \over ∂u} (u,v) ∧{ ∂{F}_{1} \over ∂v} (u,v) = {j}_{θ}(u,v){ ∂{F}_{2} \over ∂λ} (θ(u,v)) ∧{ ∂{F}_{2} \over ∂μ} (θ(u,v))

On en déduit que

\begin{eqnarray*} \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{Σ}_{1}}f(m) dσ&& %& \\ & =& \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{D}_{1}}f({F}_{1}(u,v)) \|{ ∂F \over ∂u} (u,v) ∧{ ∂F \over ∂v} (u,v)\| du dv %& \\ & =& \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{D}_{1}}f({F}_{2} ∘ θ(u,v)) \|{ ∂{F}_{2} \over ∂λ} (θ(u,v)) ∧{ ∂{F}_{2} \over ∂μ} (θ(u,v))\| |{j}_{θ}(u,v)| du dv%& \\ & =& \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{D}_{2}}f({F}_{2}(λ,μ)) \|{ ∂{F}_{2} \over ∂λ} (λ,μ) ∧{ ∂{F}_{2} \over ∂μ} (λ,μ)\| dλ dμ %& \\ \end{eqnarray*}

par le théorème de changement de variables dans les intégrales doubles.

Remarque 20.4.1 Le lecteur attentif aura remarqué que nous avons modifié légèrement les définitions d’une nappe paramétrée et de l’équivalence de deux nappes paramétrées, de fa\c{c}on à ce que cela nous arrange. Nous réclamons toute son indulgence pour ces modifications de détail.

Comme cas particulier, cherchons l’aire d’une nappe de révolution d’axe Oz. Soit Γ une méridienne de cette nappe, paramétrée en coordonnées cylindriques par r = φ(t) et z = ψ(t), t ∈ [a,b]. Un paramétrage de la nappe est alors F(t,θ) = O + φ(t)\vec{u}(θ) + ψ(t)\vec{k}, (t,θ) ∈ [a,b] × [0,2π] si bien que { ∂F \over ∂t} (t,θ) = φ'(t)\vec{u}(θ) + ψ'(t)\vec{k} et { ∂F \over ∂θ} (t,θ) = φ(t)\vec{u}'(θ). On a donc

{ ∂F \over ∂t} (t,θ) ∧{ ∂F \over ∂θ} (t,θ) = φ(t)\left (φ'(t)\vec{k} − ψ(t)\vec{u}(θ)\right )

et donc

\|{ ∂F \over ∂t} (t,θ) ∧{ ∂F \over ∂θ} (t,θ)\| = |φ(t)|\sqrt{φ'{(t)}^{2 } + ψ'{(t)}^{2}}

On en déduit que

\begin{eqnarray*} m(Σ)& =& \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{[a,b]×[0,2π]}|φ(t)|\sqrt{φ'{(t)}^{2 } + ψ'{(t)}^{2}} dt dθ%& \\ & =& 2π{\mathop{∫ } }_{a}^{b}|φ(t)|\sqrt{φ'{(t)}^{2 } + ψ'{(t)}^{2}} dt %& \\ & =& 2π{\mathop{∫ } }_{Γ}|r| ds %& \\ \end{eqnarray*}

en notant r = φ(t) et ds = \sqrt{φ'{(t)}^{2 } + ψ'{(t)}^{2}} dt la différentielle de l’abscisse curviligne sur Γ. On obtient donc

Proposition 20.4.2 Soit Σ la nappe de révolution engendrée par la rotation de la méridienne Γ autour de la droite D. Soit ds la différentielle de l’abscisse curviligne de Γ et r la distance d’un point de Γ à la droite D. Alors l’aire de la nappe est égale à 2π{\mathop{∫ } }_{Γ}r ds.