20.3 Calcul des intégrales doubles et triples

20.3.1 Théorème de Fubini sur une partie de {ℝ}^{2}

Théorème 20.3.1 (de Fubini pour un pavé de {ℝ}^{2}). Soit P = [a,b] × [c,d] un pavé de {ℝ}^{2}, E un espace vectoriel normé de dimension finie, f : P → E une fonction bornée dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable vérifiant (i) pour chaque x ∈ [a,b], l’application y\mathrel{↦}f(x,y) est réglée de [c,d] dans E (ii) l’application φ : [a,b] → E, x\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{c}^{d}f(x,y) dy est réglée. Alors

{\mathop{∫ } }_{P}f ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ(x) dx ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}\left ({\mathop{∫ } }_{c}^{d}f(x,y) dy\right ) dx

Démonstration Quitte à prendre une base de E, il suffit de montrer le résultat lorsque E = ℝ. Soit n ∈ ℕ, {a}_{i} = a + i{ b−a \over n} et {c}_{j} = c + j{ d−c \over n} . On définit ainsi une subdivision {σ}_{n} de P dont le pas tend vers 0 quand n tend vers + ∞. Soit {P}_{i,j} = [{a}_{i−1},{a}_{i}] × [{c}_{j−1},{c}_{j}] les pavés de cette subdivision. Posons alors, pour (i,j) ∈ {[1,n]}^{2},

{μ}_{i,j} ={ 1 \over {c}_{j} − {c}_{j−1}} {\mathop{∫ } }_{{c}_{j−1}}^{{c}_{j} }f({a}_{i},y) dy ={ n \over d − c} {\mathop{∫ } }_{{c}_{j−1}}^{{c}_{j} }f({a}_{i},y) dy

et soit {S}_{n} ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i,j∈[1,n]}{ (b−a)(d−c) \over {n}^{2}} {μ}_{i,j}. Si l’on note {M}_{i,j} ={\mathop{ sup}}_{x∈{P}_{i,j}}f(x) et {m}_{i,j} ={\mathop{ inf} }_{x∈{P}_{i,j}}f(x), on a clairement

\begin{eqnarray*} d(f,{σ}_{n})& =& {\mathop{∑ }}_{i,j∈[1,n]}{ (b − a)(d − c) \over {n}^{2}} {m}_{i,j} %& \\ & ≤& {\mathop{∑ }}_{i,j∈[1,n]}{ (b − a)(d − c) \over {n}^{2}} {μ}_{i,j} %& \\ & ≤& {\mathop{∑ }}_{i,j∈[1,n]}{ (b − a)(d − c) \over {n}^{2}} {M}_{i,j} = D(f,{σ}_{n})%& \\ \end{eqnarray*}

d(f,{σ}_{n}) et D(f,{σ}_{n}) désignent respectivement les sommes de Darboux inférieure et supérieure de f associées à la subdivision {σ}_{n}. Quand n tend vers + ∞, ces sommes de Darboux admettent toutes deux pour limite {\mathop{∫ } }_{P}f, donc {\mathop{lim}}_{n→+∞}{S}_{n} ={\mathop{∫ } }_{P}f. Mais d’autre part,

\begin{eqnarray*}{ S}_{n}& =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ b − a \over n} {\mathop{∑ }}_{j=1}^{n}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{{c}_{j−1}}^{{c}_{j} }f({a}_{i},y) dy%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ b − a \over n} {\mathop{\mathop{∫ } } }_{c}^{d}f({a}_{ i},y) dy %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{ b − a \over n} φ({a}_{i}) %& \\ \end{eqnarray*}

Il s’agit donc d’une somme de Riemann pour la fonction réglée φ : [a,b] → ℝ associée à la subdivision régulière {({a}_{i})}_{0≤i≤n}. On en déduit que {\mathop{lim}}_{n→+∞}{S}_{n} ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ(x) dx, d’où l’égalité recherchée.

Remarque 20.3.1 De même si on suppose que

Alors

{\mathop{∫ } }_{P}f ={\mathop{∫ } }_{c}^{d}ψ(y) dy ={\mathop{∫ } }_{c}^{d}\left ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(x,y) dx\right ) dy

Tout ceci nous amène tout naturellement à introduire la notation \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{P}f(x,y) dx dy pour l’intégrale d’une fonction f sur un pavé P de {ℝ}^{2} puis à généraliser cette notation à toute partie quarrable de {ℝ}^{2}.

Corollaire 20.3.2 Soit P = [a,b] × [c,d] un pavé de {ℝ}^{2}, f : [a,b] → K, g : [c,d] → K réglées. Alors

\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{[a,b]×[c,d]}f(x)g(y) dx dy = \left ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(x) dx\right )\left ({\mathop{∫ } }_{c}^{d}g(y) dy\right )

Démonstration On a

{\mathop{∫ } }_{c}^{d}f(x)g(y) dy = f(x){\mathop{∫ } }_{c}^{d}g(y) dy = λf(x)

avec λ ={\mathop{∫ } }_{c}^{d}g(y) dy. On en déduit que

\begin{eqnarray*} \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{[a,b]×[c,d]}f(x)g(y) dx dy& =& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}λf(x) dx = λ{\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(x) dx%& \\ & =& \left ({\mathop{∫ } }_{a}^{b}f(x) dx\right )\left ({\mathop{∫ } }_{c}^{d}g(y) dy\right ) %& \\ \end{eqnarray*}

Théorème 20.3.3 (théorème de Fubini pour une partie de {ℝ}^{2}). Soit {φ}_{1} et {φ}_{2} deux applications continues de [a,b] dans vérifiant \mathop{∀}t ∈ [a,b], {φ}_{1}(t) ≤ {φ}_{2}(t) et soit A = \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}x ∈ [a,b]\text{ et }{φ}_{1}(x) ≤ y ≤ {φ}_{2}(x)\}. Soit f : A → E continue. Alors A est quarrable et

\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}f(x,y) dx dy ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}\left ({\mathop{∫ } }_{{φ}_{1}(x)}^{{φ}_{2}(x)}f(x,y) dy\right ) dx

Démonstration A est quarrable car il est borné ({φ}_{1} et {φ}_{2} continues sur des compacts sont bornées) et sa frontière est formée de la réunion de quatre graphes de fonctions continues x\mathrel{↦}{φ}_{1}(x), y\mathrel{↦}b, x\mathrel{↦}{φ}_{2}(x) et y\mathrel{↦}a. Soit M =\mathop{ sup}{φ}_{2}(x) et m =\mathop{ inf} {φ}_{1}(x) si bien que A ⊂ [a,b] × [m,M] et soit {f}^{∗} le prolongement par 0 de f de A à P = [a,b] × [m,M]. On sait déjà que {f}^{∗} est bornée et que \mathop{\mathrm{Disc}} (f) est négligeable (il est contenu dans la frontière de A). Pour x ∈ [a,b] fixé, l’application y\mathrel{↦}{f}^{∗}(x,y) est continue par morceaux car {f}^{∗}(x,y) = \left \{ \cases{ f(x,y)&si {φ}_{1}(x) ≤ y ≤ {φ}_{2}(x) \cr 0 &sinon } \right .. De plus {\mathop{∫ } }_{m}^{M}{f}^{∗}(x,y) dy ={\mathop{∫ } }_{{φ}_{1}(x)}^{{φ}_{2}(x)}f(x,y) dy est une fonction continue de x comme on l’a vu dans le chapitre sur les intégrales de fonctions d’une variable. On peut donc appliquer le théorème précédent et on obtient

\begin{eqnarray*} \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}f(x,y) dx dy& =& \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{P}{f}^{∗}(x,y) dx dy %& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}\left ({\mathop{∫ } }_{m}^{M}{f}^{∗}(x,y) dy\right ) dx %& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}\left ({\mathop{∫ } }_{{φ}_{1}(x)}^{{φ}_{2}(x)}f(x,y) dy\right ) dx%& \\ \end{eqnarray*}

PIC

Remarque 20.3.2 Ceci permet de ramener le calcul d’une intégrale double sur une partie de {ℝ}^{2} délimitée par deux graphes au calcul de deux intégrales de fonctions d’une variable. Pour un sous ensemble A plus général, on cherchera à écrire A = {A}_{1} ∪\mathop{\mathop{…}} ∪ {A}_{k} où chaque partie {A}_{i} est limitée par deux graphes de fonctions continues, soit de la forme \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}x ∈ [a,b]\text{ et }{φ}_{1}(x) ≤ y ≤ {φ}_{2}(x)\} ou de la forme \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}y ∈ [c,d]\text{ et }{ψ}_{1}(y) ≤ x ≤ {ψ}_{2}(y)\} ; on écrira alors, à condition que les intersections deux à deux des {A}_{i} soient négligeables, \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}f(x,y) dx dy ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{k}\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{A}_{i}}f(x,y) dx dy puis on ramènera le calcul de chaque intégrale double au calcul de deux intégrales simples.

Exemple 20.3.1 Soit K = \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}y ≥ 0, y ≤ x,0 ≤ x + 2y ≤ 2\} et on cherche à calculer I =\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{K}{x}^{2} dx dy (moment d’inertie par rapport à l’axe Oy).

PIC

Le théorème de Fubini nous permet de calculer cette intégrale de deux manières différentes suivant que l’on commence à intégrer suivant x ou suivant y. Dans une première méthode on peut écrire

\begin{eqnarray*} K& =& \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}x ∈ [0,{ 2 \over 3} ]\text{ et }0 ≤ y ≤ x\} %& \\ & ∪& \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}x ∈ [{ 2 \over 3} ,2]\text{ et }0 ≤ y ≤ 1 −{ x \over 2} \}%& \\ \end{eqnarray*}

d’où (en faisant sortir de l’intégrale par rapport à y le terme en {x}^{2} qui ne dépend pas de y)

\begin{eqnarray*} I& =& {\mathop{∫ } }_{0}^{2∕3}{x}^{2}\left ({\mathop{∫ } }_{0}^{x}dy\right ) dx +{\mathop{∫ } }_{2∕3}^{2}{x}^{2}\left ({\mathop{∫ } }_{0}^{1−{ x \over 2} }dy\right ) dx%& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{0}^{2∕3}{x}^{3} dx +{\mathop{∫ } }_{2∕3}^{2}{x}^{2}\left (1 −{ x \over 2} \right ) dx ={ 52 \over 81} %& \\ \end{eqnarray*}

On peut aussi la calculer en considérant que

K = \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}y ∈ [0,{ 2 \over 3} ]\text{ et }y ≤ x ≤ 2 − 2y\}

d’où

I ={\mathop{∫ } }_{0}^{2∕3}\left ({\mathop{∫ } }_{y}^{2−2y}{x}^{2} dx\right ) dy ={\mathop{∫ } }_{0}^{2∕3}\left ({ {(2 − 2y)}^{3} \over 3} −{ {y}^{3} \over 3} \right ) dy ={ 52 \over 81}

20.3.2 Théorème de Fubini sur une partie de {ℝ}^{3}

On démontre d’une fa\c{c}on similaire le résultat suivant pour les intégrales sur une partie de {ℝ}^{3}

Théorème 20.3.4 (théorème de Fubini pour un pavé de {ℝ}^{3}). Soit P = [{a}_{1},{b}_{1}] × [{a}_{2},{b}_{2}] × [{a}_{3},{b}_{3}] un pavé de {ℝ}^{3}, E un espace vectoriel normé de dimension finie, f : P → E une fonction bornée dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable vérifiant

Bien entendu, dans la limite de validité (c’est-à-dire si l’on est certain que toutes les intégrales écrites ont bien un sens), on peut regrouper deux des intégrales simples en une intégrale double en utilisant le théorème de Fubini pour les intégrales doubles, et ainsi obtenir les formules (à permutation près sur les noms des variables)

\begin{eqnarray*} \mathop{∫ } \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{P}f(x,y,z) dx dy dz&& %& \\ & =& \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{[{a}_{1},{b}_{1}]×[{a}_{2},{b}_{2}]}\left ({\mathop{∫ } }_{{a}_{3}}^{{b}_{3} }f(x,y,z) dz\right ) dx dy%& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{{a}_{3}}^{{b}_{3} }\left (\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{[{a}_{1},{b}_{1}]×[{a}_{2},{b}_{2}]}f(x,y,z) dx dy\right ) dz%& \\ \end{eqnarray*}

La première méthode d’intégration porte en général le nom d’intégration par piles (on somme d’abord verticalement, puis ensuite horizontalement), la deuxième méthode portant le nom d’intégration par tranches (on somme d’abord horizontalement, puis ensuite verticalement).

De la même manière que pour les intégrales doubles et par prolongement par 0 à un pavé, on montre alors les deux résultats suivants

Théorème 20.3.5 (théorème de Fubini pour une partie de {ℝ}^{3}, intégration par piles). Soit A un sous-ensemble quarrable de {ℝ}^{2}, {φ}_{1} et {φ}_{2} deux applications continues de A dans vérifiant \mathop{∀}(x,y) ∈ A, {φ}_{1}(x,y) ≤ {φ}_{2}(x,y) et soit K = \{(x,y,z) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}(x,y) ∈ A\text{ et }{φ}_{1}(x,y) ≤ z ≤ {φ}_{2}(x,y)\}. Soit f : K → E continue. Alors

\mathop{∫ } \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{K}f(x,y,z) dx dy dz =\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}\left ({\mathop{∫ } }_{{φ}_{1}(x,y)}^{{φ}_{2}(x,y)}f(x,y,z) dz\right ) dx dy

Théorème 20.3.6 (théorème de Fubini pour une partie de {ℝ}^{3}, intégration par tranches). Soit K une partie de {ℝ}^{3} compacte et quarrable. Soit f une application continue de K dans E. On suppose vérifiées les conditions suivantes (en posant m ={\mathop{ inf} }_{(x,y,z)∈K}z et M ={\mathop{ sup}}_{(x,y,z)∈K}z) (i) pour tout z ∈ [m,M], {K}_{z} = \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}(x,y,z) ∈ K\} (section de K par le plan horizontal de cote z) est un sous-ensemble quarrable de {ℝ}^{2} (ii) l’application z\mathrel{↦}\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{z}}f(x,y,z) dx dy est réglée sur [m,M]. Alors

\mathop{∫ } \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{K}f(x,y,z) dx dy dz ={\mathop{∫ } }_{m}^{M}\left (\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{z}}f(x,y,z) dx dy\right ) dz

Exemple 20.3.2 Supposons donnée une courbe dans un plan méridien donnée en coordonnées cylindriques par r = φ(z)φ : [a,b] → ℝ est continue positive. Considérons le volume K de révolution délimité par la rotation de la courbe autour de l’axe Oz. Les sous-ensembles {K}_{z} sont des disques de centre (0,0) de rayon φ(z), donc de mesure πφ{(z)}^{2}. On en déduit que la mesure de K est donnée par

\begin{eqnarray*} m(K)& =& \mathop{∫ } \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{K} dx dy dz ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}\left (\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{z}} dx dy\right ) dz ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}m({K}_{ z}) dz%& \\ & =& π{\mathop{∫ } }_{a}^{b}φ{(z)}^{2} dz %& \\ \end{eqnarray*}

Par exemple, pour une boule de rayon R, on peut prendre a = −R, b = R et φ(z) = \sqrt{{R}^{2 } − {z}^{2}}, d’où la mesure de la boule

m(K) = π{\mathop{∫ } }_{−R}^{R}({R}^{2} − {z}^{2}) dz = π{\left [{R}^{2}z −{ {z}^{3} \over 3} \right ]}_{−R}^{R} ={ 4 \over 3} π{R}^{3}

20.3.3 Théorème de changement de variables dans les intégrales multiples

On admettra le théorème suivant de démonstration difficile

Théorème 20.3.7 (théorème de changement de variables). Soit {K}_{1} et {K}_{2} deux parties compactes de {ℝ}^{n} de frontières négligeables, φ : {K}_{1} → {K}_{2} continue, E un espace vectoriel normé de dimension finie. On suppose que φ réalise un {C}^{1} difféomorphisme de l’intérieur de {K}_{1} sur l’intérieur de {K}_{2}. Soit f : {K}_{2} → E continue. Alors (si {j}_{φ}(x) désigne le jacobien de φ au point x ∈ {K}_{1}^{o})

{\mathop{∫ } }_{{K}_{2}}f ={\mathop{∫ } }_{{K}_{1}}f ∘ φ |{j}_{φ}|

En particulier on a les formules suivantes pour les intégrales doubles et triples

\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{2}}f(x,y) dx dy =\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{1}}f(φ(u,v)) |{j}_{φ}(u,v)| du dv

\begin{eqnarray*} \mathop{∫ } \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{2}}f(x,y,z) dx dy dz&& %& \\ & =& \mathop{∫ } \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{1}}f(φ(u,v,w)) |{j}_{φ}(u,v,w)| du dv dw%& \\ \end{eqnarray*}

Remarque 20.3.3 Le lecteur comparera ce théorème de changement de variables avec le théorème de changement de variable pour les fonctions d’une variable. Le jacobien joue ici le rôle du terme φ'(u). On prendra garde qu’ici il est assorti d’une valeur absolue. Ceci est dû à l’absence de convention de Chasles à partir de la dimension 2. En dimension 1 et lorsque φ est décroissante (donc φ' ≤ 0), les bornes se retrouvent en sens contraire de l’ordre naturel et un rétablissement de cet ordre transforme alors φ' en − φ' = |φ'|.

Corollaire 20.3.8 En supposant vérifiées les hypothèses ci dessus pour le changement de variable, on a les formules suivantes pour les passages en coordonnées polaires, cylindriques ou sphériques

\begin{eqnarray*} \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{2}}f(x,y) dx dy& =& \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{1}}f(r\mathop{cos} θ,r\mathop{sin} θ) |r| dr dθ%& \\ & & %& \\ \end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*} \mathop{∫ } \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{2}}f(x,y,z) dx dy dz&& %& \\ & =& \mathop{∫ } \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{1}}f(r\mathop{cos} θ,r\mathop{sin} θ,z) |r| dr dθ dz %& \\ \mathop{∫ } \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{2}}f(x,y,z) dx dy dz&& %& \\ & =& \mathop{∫ } \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{{K}_{1}}f(r\mathop{cos} θ\mathop{cos} φ,r\mathop{sin} θ\mathop{cos} φ,r\mathop{sin} φ) |{r}^{2}\mathop{ cos} φ| dr dθ dφ%& \\ \end{eqnarray*}

Remarque 20.3.4 Le lecteur devra se persuader que le principal obstacle au calcul explicite d’une intégrale multiple provient du domaine d’intégration et non de la fonction à intégrer (penser par exemple qu’une aire ou un volume peuvent être difficiles à calculer alors que la fonction à intégrer est la constante 1). Ceci veut dire que lorsque l’on recherche un changement de variable, on doit accorder une priorité absolue à la simplification du domaine d’intégration, l’idéal étant de transformer ce domaine en un pavé.

Exemple 20.3.3 Soit ({v}_{1},\mathop{\mathop{…}},{v}_{n}) une famille libre de {ℝ}^{n} et soit V le polytope construit sur cette base, c’est-à-dire V = \{{t}_{1}{v}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {t}_{n}{v}_{n}\mathrel{∣}\mathop{∀}i ∈ [1,n], {t}_{i} ∈ [0,1]\} (en dimension 2, il s’agit d’un parallélogramme et en dimension 3 d’un parallélépipède). Alors l’application φ : {[0,1]}^{n} → V , ({t}_{1},\mathop{\mathop{…}},{t}_{n})\mathrel{↦}{t}_{1}{v}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {t}_{n}{v}_{n} vérifie évidemment les conditions du théorème de changement de variable. De plus son jacobien est égal au produit mixte des n vecteurs, soit [{v}_{1},\mathop{\mathop{…}},{v}_{n}]. On en déduit que la mesure de V est donnée par

\begin{eqnarray*} m(V )& =& {\mathop{∫ } }_{V }1 ={\mathop{∫ } }_{{[0,1]}^{n}}|[{v}_{1},\mathop{\mathop{…}},{v}_{n}]| %& \\ & =& |[{v}_{1},\mathop{\mathop{…}},{v}_{n}]|m({[0,1]}^{n}) = |[{v}_{ 1},\mathop{\mathop{…}},{v}_{n}]|%& \\ \end{eqnarray*}

PIC

Exemple 20.3.4 On considère deux paraboles d’axe Ox tangentes en O à l’axe Oy et deux paraboles d’axe Oy tangentes en O à l’axe Ox. On cherche à calculer l’aire du domaine K compris entre les paraboles (hachuré sur le dessin ci dessous)

PIC

Les paraboles auront pour équations {x}^{2} = 2{p}_{1}y et {x}^{2} = 2{p}_{2}y pour les paraboles verticales, {y}^{2} = 2{q}_{1}x et {y}^{2} = 2{q}_{2}x pour les paraboles horizontales. Il n’est pas raisonnable de tenter un calcul par le théorème de Fubini. Nous allons donc faire un changement de variable en paramétrant un point de la zone hachuré ; pour cela nous considérerons que tout point de la zone hachurée est l’intersection d’une parabole {x}^{2} = 2py et d’une parabole {y}^{2} = 2qx avec p ∈ [{p}_{1},{p}_{2}] et q ∈ [{q}_{1},{q}_{2}], autrement dit nous considérerons l’application φ : K → [{p}_{1},{p}_{2}] × [{q}_{1},{q}_{2}] définie par φ(x,y) = ({ {x}^{2} \over 2y} ,{ {y}^{2} \over 2x} ). Il est visible que φ est bijective, ce que confirmerait un calcul simple. De plus

{j}_{φ}(x,y) = \left |\matrix{\,{ x \over y} &−{ {x}^{2} \over 2{y}^{2}} \cr −{ {y}^{2} \over 2{x}^{2}} &{ y \over x} }\right | ={ 3 \over 4}

On en déduit par le théorème d’inversion locale que φ est un {C}^{1} difféomorphisme de {K}^{o} sur ]{p}_{1},{p}_{2}[×]{q}_{1},{q}_{2}[ et que {j}_{{φ}^{−1}}(p,q) ={ 1 \over {j}_{φ}({φ}^{−1}(p,q))} ={ 4 \over 3} . On a donc

\begin{eqnarray*} m(K)& =& \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{K}1 dx dy %& \\ & =& \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{[{p}_{1},{p}_{2}]×[{q}_{1},{q}_{2}]}1 ∘ {φ}^{−1}(p,q)\left |{j}_{{ φ}^{−1}}(p,q)\right | dp dq%& \\ & =&{ 4 \over 3} m([{p}_{1},{p}_{2}] × [{q}_{1},{q}_{2}]) ={ 4 \over 3} ({p}_{2} − {p}_{1})({q}_{2} − {q}_{1}) %& \\ \end{eqnarray*}

20.3.4 Théorème de Green-Riemann

Soit {φ}_{1} et {φ}_{2} deux applications continues de [a,b] dans vérifiant \mathop{∀}x ∈ [a,b], {φ}_{1}(x) ≤ {φ}_{2}(x) et soit A = \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}x ∈ [a,b]\text{ et }{φ}_{1}(x) ≤ y ≤ {φ}_{2}(x)\}. On considère la frontière ∂A de A en tant qu’arc paramétré orientée comme l’indique la figure ci dessous : on parcourt la frontière en laissant A à sa main gauche. Cette frontière est la réunion de quatre arcs paramétrés, deux étant des graphes de fonctions x\mathrel{↦}y = {φ}_{i}(x) (l’un parcouru dans le sens direct, l’autre dans le sens indirect), deux étant des graphes de fonctions y\mathrel{↦}\text{constante}.

PIC

Soit U un ouvert contenant A et P une fonction de classe {C}^{1} sur U. On cherche à calculer l’intégrale I =\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}{ ∂P \over ∂y} (x,y) dx dy. D’après le théorème de Fubini, on a

\begin{eqnarray*} \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}{ ∂P \over ∂y} (x,y) dx dy &=&{\mathop{∫ } }_{a}^{b}\left ({\mathop{∫ } }_{{φ}_{1}(x)}^{{φ}_{2}(x)}{ ∂P \over ∂y} (x,y) dy\right ) dx&&%& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}{\Big [P(x,y)\Big ]}_{ y={φ}_{1}(x)}^{y={φ}_{2}(x)} dx %& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}P(x,{φ}_{ 2}(x)) dx −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}P(x,{φ}_{ 1}(x)) dx%& \\ \end{eqnarray*}

La première intégrale {\mathop{∫ } }_{a}^{b}P(x,{φ}_{2}(x)) dx n’est autre que l’intégrale curviligne de la forme différentielle P(x,y) dx le long du graphe y = {φ}_{2}(x), c’est-à-dire l’opposée de l’intégrale curviligne de la forme différentielle P(x,y) dx le long du quart supérieur de la frontière ∂A (un changement d’orientation changeant l’intégrale curviligne en son opposée). La deuxième intégrale −{\mathop{∫ } }_{a}^{b}P(x,{φ}_{1}(x)) dx n’est autre que l’opposée de l’intégrale curviligne de la forme différentielle P(x,y) dx le long du graphe y = {φ}_{1}(x), c’est-à-dire l’opposée de l’intégrale curviligne de la forme différentielle P(x,y) dx le long du quart inférieur de la frontière ∂A . Mais d’autre part les intégrales curvilignes de la forme différentielle P(x,y) dx le long des quarts gauche et droite de la frontière sont nulles, car sur ces arcs, x est une constante et donc dx = 0. On en déduit donc que \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}{ ∂P \over ∂y} (x,y) dx dy = −{\mathop{∫ } }_{∂A}P(x,y) dx.

Soit {ψ}_{1} et {ψ}_{2} deux applications continues de [c,d] dans vérifiant \mathop{∀}y ∈ [c,d], {ψ}_{1}(y) ≤ {ψ}_{2}(y) et soit A = \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}y ∈ [c,d]\text{ et }{ψ}_{1}(y) ≤ x ≤ {ψ}_{2}(y)\}. On considère la frontière ∂A de A en tant qu’arc paramétré orientée comme l’indique la figure ci dessous : on parcourt la frontière en laissant A à sa main gauche. Cette frontière est la réunion de quatre arcs paramétrés, deux étant des graphes de fonctions y\mathrel{↦}x = {ψ}_{i}(y) (l’un parcouru dans le sens direct, l’autre dans le sens indirect), deux étant des graphes de fonctions x\mathrel{↦}\text{constante}.

PIC

Soit U un ouvert contenant A et Q une fonction de classe {C}^{1} sur U. La même méthode va nous fournir

\begin{eqnarray*} \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}{ ∂Q \over ∂y} (x,y) dx dy &=&{\mathop{∫ } }_{c}^{d}\left ({\mathop{∫ } }_{{ψ}_{1}(y)}^{{ψ}_{2}(y)}{ ∂Q \over ∂x} (x,y) dx\right ) dy&&%& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{c}^{d}{\Big[ Q(x,y)\Big ]}_{ x={ψ}_{1}(y)}^{x={ψ}_{2}(y)} dx %& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{c}^{d}Q({ψ}_{ 2}(y),y) dy −{\mathop{∫ } }_{c}^{d}Q({ψ}_{ 1}(y),y) dy%& \\ \end{eqnarray*}

La première intégrale {\mathop{∫ } }_{c}^{d}Q({ψ}_{2}(y),y) dy est l’intégrale de la forme différentielle Q(x,y) dy le long du quart droit de la frontière ∂A, la seconde −{\mathop{∫ } }_{c}^{d}Q({ψ}_{1}(y),y) dy est l’intégrale de la forme différentielle Q(x,y) dy le long du quart gauche de la frontière ∂A (à cause du changement d’orientation). Mais d’autre part les intégrales curvilignes de la forme différentielle Q(x,y) dy le long des quarts supérieur et inférieur de la frontière sont nulles, car sur ces arcs, y est une constante et donc dy = 0. On en déduit donc que \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}{ ∂Q \over ∂x} (x,y) dx dy ={\mathop{∫ } }_{∂A}Q(x,y) dy.

Si A est à la fois des deux formes en question, on pourra additionner les deux résultats obtenus ce qui nous conduira à la formule

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{∂A}(P(x,y) dx + Q(x,y) dy)&& %& \\ & =& \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}\left ({ ∂Q \over ∂x} (x,y) −{ ∂P \over ∂y} (x,y)\right ) dx dy%& \\ \end{eqnarray*}

Définition 20.3.1 On dit qu’une partie A de {ℝ}^{2} est un compact élémentaire s’il existe a,b,c,d ∈ ℝ, deux fonctions {φ}_{1},{φ}_{2} : [a,b] → ℝ continues telles que \mathop{∀}x ∈ [a,b], {φ}_{1}(x) ≤ {φ}_{2}(x) et deux fonctions {ψ}_{1} et {ψ}_{2} continues de [c,d] dans vérifiant \mathop{∀}y ∈ [c,d], {ψ}_{1}(y) ≤ {ψ}_{2}(y) telles que

\begin{eqnarray*} A& =& \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}x ∈ [a,b]\text{ et }{φ}_{ 1}(x) ≤ y ≤ {φ}_{2}(x)\}%& \\ & =& \{(x,y) ∈ {ℝ}^{2}\mathrel{∣}y ∈ [c,d]\text{ et }{ψ}_{ 1}(y) ≤ x ≤ {ψ}_{2}(y)\}%& \\ \end{eqnarray*}

Définition 20.3.2 On dit qu’une partie A de {ℝ}^{2} est un compact simple s’il existe un pavé P de {ℝ}^{2} contenant A et une subdivision σ de P tels que pour tous les pavés {P}_{i} de la subdivision, {P}_{i} ∩ A soit un compact élémentaire.

On oriente la frontière d’un tel compact simple par la même règle que ci dessus : on parcourt la frontière en laissant le compact à sa main gauche.

Exemple 20.3.5 Une couronne est un compact simple comme le montre le dessin ci-dessous où on a exhibé une subdivision adaptée, ainsi que l’orientation de la frontière de chaque compact élémentaire :

PIC

Posons alors {A}_{i} = {P}_{i} ∩ A. On peut alors écrire

\begin{eqnarray*} \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}\left ({ ∂Q \over ∂x} (x,y) −{ ∂P \over ∂y} (x,y)\right ) dx dy&& %& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i} \mathop{\mathop{∫ } } { \mathop{\mathop{∫ } } }_{{A}_{i}}\left ({ ∂Q \over ∂x} (x,y) −{ ∂P \over ∂y} (x,y)\right ) dx dy%& \\ & =& {\mathop{∑ }}_{i}{ \mathop{\mathop{∫ } } }_{∂{A}_{i}}(P(x,y) dx + Q(x,y) dy) %& \\ \end{eqnarray*}

Mais la réunion des frontières des {A}_{i} est constituée de deux types d’arcs paramétrés : des arcs faisant partie de la frontière de A plus des segments horizontaux et verticaux provenant de la subdivision du pavé. Or (sans vouloir formaliser complètement ce raisonnement) ces segments sont parcourus deux fois pour un {A}_{i} et un {A}_{j} adjacents, une fois dans un sens et une fois dans l’autre (voir le dessin ci dessus), si bien que les intégrales curvilignes le long de ces segments horizontaux ou verticaux n’appartenant pas à la frontière de A s’annulent deux à deux. On obtient donc

\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}\left ({ ∂Q \over ∂x} (x,y) −{ ∂P \over ∂y} (x,y)\right ) dx dy ={\mathop{∫ } }_{∂A}(P(x,y) dx + Q(x,y) dy)

Théorème 20.3.9 (Green-Riemann). Soit A un compact simple de {ℝ}^{2} de frontière orientée ∂A, U un ouvert de {ℝ}^{2} contenant A, P,Q : U → ℝ de classe {C}^{1}. Alors

\mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}\left ({ ∂Q \over ∂x} (x,y) −{ ∂P \over ∂y} (x,y)\right ) dx dy ={\mathop{∫ } }_{∂A}(P(x,y) dx + Q(x,y) dy)

Remarque 20.3.5 Le théorème de Green-Riemann permet (entre autres choses) de ramener le calcul d’une intégrale du type \mathop{∫ } {\mathop{∫ } }_{A}f(x,y) dx dy à celui d’une intégrale curviligne {\mathop{∫ } }_{∂A}(P(x,y) dx + Q(x,y) dy) (c’est-à-dire d’une intégrale simple) à condition de connaître deux fonctions P et Q telles que f(x,y) ={ ∂Q \over ∂x} (x,y) −{ ∂P \over ∂y} (x,y).

Corollaire 20.3.10 Soit A un compact simple de {ℝ}^{2} de frontière orientée ∂A. Alors l’aire de A est donnée par

m(A) ={\mathop{∫ } }_{∂A}x dy = −{\mathop{∫ } }_{∂A}y dx ={ 1 \over 2} {\mathop{∫ } }_{∂A}(x dy − y dx)

Démonstration Il suffit de prendre successivement P(x,y) = 0,Q(x,y) = x, P(x,y) = −y,Q(x,y) = 0 et enfin P(x,y) = −{ y \over 2} ,Q(x,y) ={ x \over 2} , couples pour lesquels { ∂Q \over ∂x} (x,y) −{ ∂P \over ∂y} (x,y) = 1.

Corollaire 20.3.11 Soit A un compact simple de {ℝ}^{2} de frontière orientée ∂A. Alors l’aire de A est donnée en polaires par

m(A) ={ 1 \over 2} {\mathop{∫ } }_{∂A}{ρ}^{2} dθ

Démonstration En effet x dy − y dx = {ρ}^{2} dθ.