20.2 Intégrales multiples

20.2.1 Pavés et subdivisions. Ensembles négligeables

Définition 20.2.1 On appelle pavé de {ℝ}^{n} tout ensemble P de la forme P = [{a}_{1},{b}_{1}] ×\mathrel{⋯} × [{a}_{n},{b}_{n}]. On notera mesure du pavé P le nombre réel positif m(P) ={\mathop{ \mathop{∏ }} }_{i=1}^{n}({b}_{i} − {a}_{i}).

Remarque 20.2.1 Un pavé est clairement compact.

Définition 20.2.2 Soit P = [{a}_{1},{b}_{1}] ×\mathrel{⋯} × [{a}_{n},{b}_{n}] un pavé de {ℝ}^{n}. On appelle subdivision de P toute famille σ = ({σ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{σ}_{n}) où chaque {σ}_{i} est une subdivision de [{a}_{i},{b}_{i}]. Si {σ}_{i} = {({a}_{i,j})}_{1≤j≤{n}_{i}}, les sous pavés {P}_{{j}_{1},\mathop{\mathop{…}},{j}_{n}} = [{a}_{1,{j}_{1}−1},{a}_{1,{j}_{1}}] ×\mathrel{⋯} × [{a}_{n,{j}_{n}−1},{a}_{n,{j}_{n}}] sont appelés les sous pavés de la subdivision. On appelle pas de la subdivision σ = ({σ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{σ}_{n}) le plus grand des diamètres des sous pavés de σ.

Définition 20.2.3 Un sous-ensemble A de {ℝ}^{n} est dit négligeable (au sens de Riemann) si quelque soit ε > 0, il existe une famille finie de pavés {({P}_{i})}_{1≤i≤N} vérifiant

Proposition 20.2.1

Démonstration Tout est à peu près évident. L’affirmation (iii) résulte de ce que, si A ⊂{\mathop{\mathop{⋃ }} }_{i=1}^{N}{P}_{i}, alors on a aussi \overline{A} ⊂{\mathop{\mathop{⋃ }} }_{i=1}^{N}{P}_{i} puisque {\mathop{\mathop{⋃ }} }_{i=1}^{N}{P}_{i} est fermé.

Théorème 20.2.2 Soit Q un pavé de {ℝ}^{n−1} et f une application continue de Q dans . Alors le graphe de f est une partie négligeable de {ℝ}^{n}.

Démonstration Puisque f est continue sur le compact Q, elle est uniformément continue. Soit donc ε > 0. Il existe η > 0 tel que \mathop{∀}x,x' ∈ Q, \|x − x'\| < η ⇒|f(x) − f(x')| <{ ε \over 2m(Q)} . Soit alors σ une subdivision de Q de pas inférieur strictement à η et {({Q}_{i})}_{1≤i≤N} les sous pavés de la subdivision. Choisissons un point {x}_{i} dans chaque {Q}_{i} et posons {P}_{i} = {Q}_{i} × [f({x}_{i}) −{ ε \over 2m(Q)} ,f({x}_{i}) +{ ε \over 2m(Q)} ]. Chaque {P}_{i} est un pavé de {ℝ}^{n} et m({P}_{i}) ={ ε \over m(Q)} m({Q}_{i}) si bien que \mathop{\mathop{∑ }} m({P}_{i}) ={ ε \over m(Q)} \mathop{ \mathop{∑ }} m({Q}_{i}) ={ ε \over m(Q)} m(Q) = ε. Mais soit (x,f(x)) un point du graphe de f avec x ∈ Q ; soit i tel que x ∈ {Q}_{i} ; on a alors \|x − {x}_{i}\| ≤ δ(σ) < η et donc |f(x) − f({x}_{i})|≤{ ε \over 2m(Q)} , soit encore f(x) ∈ [f({x}_{i}) −{ ε \over 2m(Q)} ,f({x}_{i}) +{ ε \over 2m(Q)} ], si bien que (x,f(x)) ∈ {P}_{i}. On en déduit que le graphe de f est contenu dans {\mathop{\mathop{⋃ }} }_{i=1}^{N}{P}_{i} avec \mathop{\mathop{∑ }} m({P}_{i}) = ε. Donc le graphe de f est négligeable.

Corollaire 20.2.3 Toute partie de {ℝ}^{n} qui est une réunion finie de graphes d’applications continues sur des pavés

\begin{eqnarray*} ({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{i−1},{x}_{i+1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n})&& %& \\ & \mathrel{↦}& {x}_{i} = f({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{i−1},{x}_{i+1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n})%& \\ \end{eqnarray*}

est négligeable.

20.2.2 Intégrales multiples sur un pavé de {ℝ}^{n}

Remarque 20.2.2 On appelle point de discontinuité de f tout point où f n’est pas continue. Si f est une application de l’espace métrique X dans l’espace métrique E, on notera \mathop{\mathrm{Disc}} (f) l’ensemble des points de discontinuité de f.

Proposition 20.2.4 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie et P un pavé de {ℝ}^{n}. L’ensemble des fonctions f : P → E bornées et dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable est un sous-espace vectoriel de l’espace des applications de P dans E.

Démonstration Cet ensemble est évidemment non vide (il contient par exemple toutes les fonctions continues sur P) ; si f et g sont dans , si α et β sont des scalaires, on a évidemment αf + βg qui est bornée et de plus \mathop{\mathrm{Disc}} (αf + βg) ⊂\mathop{\mathrm{Disc}} (f) ∪\mathop{\mathrm{Disc}} (g) (puisque là où f et g sont toutes deux continues, αf + βg l’est également), donc \mathop{\mathrm{Disc}} (αf + βg) est négligeable.

On admettra le théorème suivant

Théorème 20.2.5 Il existe une application qui à toute fonction f bornée de P dans E dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable associe un élément de E noté {\mathop{∫ } }_{P}f vérifiant les propriétés suivantes

  • (i) l’application f\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{P}f est linéaire ({\mathop{∫ } }_{P}(αf + βg) = α{\mathop{∫ } }_{P}f + β{\mathop{∫ } }_{P}g)
  • (ii) \|{\mathop{∫ } }_{P}f\| ≤{\mathop{∫ } }_{P}\|f\|
  • (iii) {\mathop{∫ } }_{P}1 = m(P)
  • (iv) si P est la réunion de deux pavés {P}_{1} et {P}_{2} dont l’intersection est contenue dans l’intersection des frontières, alors {\mathop{∫ } }_{P}f ={\mathop{∫ } }_{{P}_{1}}f +{\mathop{∫ } }_{{P}_{2}}f
  • (v) si \{x ∈ P\mathrel{∣}f(x)\mathrel{≠}0\} est négligeable, alors {\mathop{∫ } }_{P}f = 0.

Proposition 20.2.6

  • (i) Si f : P → ℝ est une fonction bornée dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable et si f est positive, alors {\mathop{∫ } }_{p}f ≥ 0
  • (ii) Si f,g : P → ℝ sont deux fonctions bornées dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable et si f ≤ g alors {\mathop{∫ } }_{P}f ≤{\mathop{∫ } }_{P}g
  • (iii) Si f : P → ℝ est une fonction bornée dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable, alors \|{\mathop{∫ } }_{P}f\| ≤ m(P){\mathop{sup}}_{x∈P}\|f(x)\|.

Démonstration (i) On a {\mathop{∫ } }_{P}f ={\mathop{∫ } }_{P}|f|≥\left |{\mathop{∫ } }_{P}f\right | d’où {\mathop{∫ } }_{P}f ≥ 0

(ii) On a {\mathop{∫ } }_{P}g −{\mathop{∫ } }_{P}f ={\mathop{∫ } }_{P}(g − f) ≥ 0 puisque g − f ≥ 0

(iii) Si M ={\mathop{ sup}}_{x∈P}\|f(x)\|, on a \|{\mathop{∫ } }_{P}f\| ≤{\mathop{∫ } }_{P}\|f\| ≤{\mathop{∫ } }_{P}M = M{\mathop{∫ } }_{P}1 = Mm(P)

Définition 20.2.4 Soit f : P → E une application, soit σ une subdivision de P, {({P}_{i})}_{1≤i≤N} les sous pavés de la subdivision et pour chaque i ∈ [1,N], {x}_{i} un point de {P}_{i} ; la somme S(f,σ,x) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{N}m({P}_{i})f({x}_{i}) sera appelée une somme de Riemann associée à la subdivision σ et à la famille x = {({x}_{i})}_{1≤i≤N}.

On admettra également le résultat suivant

Théorème 20.2.7 Soit f une fonction bornée de P dans E dont l’ensemble des points de discontinuité est négligeable. Alors, pour tout ε > 0, il existe un réel η > 0 tel que pour toute subdivision σ de P de pas plus petit que η et pour toute famille x = ({x}_{i}) associée, on a \|{\mathop{∫ } }_{P}f − S(f,σ,x)\| < ε.

Remarque 20.2.3 Comme dans le cas des fonctions d’une variable, on peut aussi définir, lorsque f est à valeurs réelles des sommes de Darboux supérieure et inférieure D(f,σ) ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{N}m({P}_{i}){M}_{i} et {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{N}m({P}_{i}){m}_{i}{M}_{i} ={\mathop{ sup}}_{x∈{P}_{i}}f(t) et {m}_{i} ={\mathop{ inf} }_{x∈{P}_{i}}f(t). La même démonstration que pour les fonctions d’une variable montre alors que ces sommes de Darboux inférieure et supérieure tendent vers l’intégrale de f sur P lorsque le pas de la subdivision tend vers 0.

20.2.3 Intégrales multiples sur une partie de {ℝ}^{n}

Soit A une partie de {ℝ}^{n} bornée de frontière négligeable et f : A → E continue et bornée. Soit P un pavé de {ℝ}^{n} contenant A et {f}^{∗} l’application de P dans E définie par

{ f}^{∗}(x) = \left \{ \cases{ f(x)&si x ∈ A \cr 0 &si x ∈ A } \right .

L’ensemble des points de discontinuité de {f}^{∗} est contenu dans la frontière de A car si x est dans l’intérieur de A, la fonction {f}^{∗} coïncide avec la fonction continue f sur tout un voisinage de x, donc est continue au point x et si x appartient à l’intérieur de P ∖ A, alors {f}^{∗} coïncide avec la fonction nulle sur tout un voisinage de x, donc est continue au point x. On peut donc définir {\mathop{∫ } }_{P}{f}^{∗}. De plus, si {P}_{1} et {P}_{2} sont deux pavés contenant A, ”la fonction {f}^{∗}” est nulle sur {P}_{2} ∖ {P}_{1} et sur {P}_{1} ∖ {P}_{2}, si bien que {\mathop{∫ } }_{{P}_{1}}{f}^{∗} ={\mathop{∫ } }_{{P}_{2}}{f}^{∗}, ce qui montre que {\mathop{∫ } }_{P}{f}^{∗} ne dépend pas du choix du pavé P contenant A.

Définition 20.2.5 Soit A une partie de {ℝ}^{n} bornée de frontière négligeable et f : A → E continue et bornée ; on posera {\mathop{∫ } }_{A}f ={\mathop{∫ } }_{P}{f}^{∗}.

Théorème 20.2.8

  • (i) L’application f\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{A}f est linéaire ({\mathop{∫ } }_{A}(αf + βg) = α{\mathop{∫ } }_{A}f + β{\mathop{∫ } }_{A}g)
  • (ii) \|{\mathop{∫ } }_{A}f\| ≤{\mathop{∫ } }_{A}\|f\|
  • (iii) si {A}_{1} ∩ {A}_{2} est négligeable, alors {\mathop{∫ } }_{{A}_{1}∪{A}_{2}}f ={\mathop{∫ } }_{{A}_{1}}f +{\mathop{∫ } }_{{A}_{2}}f
  • (iv) si A est négligeable, alors {\mathop{∫ } }_{A}f = 0.

Démonstration (i) et (ii) résultent de {(αf + βg)}^{∗} = α{f}^{∗} + β{g}^{∗} et de \|{f}^{∗}\| =\| {f\|}^{∗} qui sont évidents. Pour (iii) si on considère P un pavé contenant {A}_{1} ∪ {A}_{2}, {f}^{∗} l’extension de f de {A}_{1} ∪ {A}_{2} à P, {f}_{1}^{∗} et {f}_{2}^{∗} les extensions de f depuis respectivement {A}_{1} et {A}_{2} à P, on a {f}^{∗} = {f}_{1}^{∗} + {f}_{2}^{∗} sauf sur {A}_{1} ∩ {A}_{2}. On a donc {f}^{∗} = {f}_{1}^{∗} + {f}_{2}^{∗} + gg est une fonction nulle sauf sur l’ensemble négligeable {A}_{1} ∩ {A}_{2} ; on en déduit que

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{{A}_{1}∪{A}_{2}}f& =& {\mathop{∫ } }_{P}{f}^{∗} ={\mathop{∫ } }_{P}({f}_{1}^{∗} + {f}_{ 2}^{∗} + g) %& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{P}{f}_{1}^{∗} +{\mathop{∫ } }_{P}{f}_{2}^{∗} +{\mathop{∫ } }_{P}g ={\mathop{∫ } }_{P}{f}_{1}^{∗} +{\mathop{∫ } }_{P}{f}_{2}^{∗}%& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{{A}_{1}}f +{\mathop{∫ } }_{{A}_{2}}f %& \\ \end{eqnarray*}

Quand à (iv), il est évident puisque \{x ∈ P\mathrel{∣}{f}^{∗}(x)\mathrel{≠}0\} ⊂ A

20.2.4 Mesure d’un sous-ensemble borné de {ℝ}^{n}

Définition 20.2.6 On dit qu’une partie A de {ℝ}^{n} est quarrable si elle est bornée et de frontière négligeable.

Définition 20.2.7 Soit A une partie quarrable de {ℝ}^{n} ; on appelle mesure de A le nombre réel positif m(A) ={\mathop{∫ } }_{A}1.

Proposition 20.2.9 Soit A une partie quarrable de {ℝ}^{n} ; alors l’intérieur et l’adhérence de A sont aussi quarrables et ont la même mesure.

Démonstration En effet, la frontière de l’intérieur et de l’adhérence de A sont contenues dans la frontière de A qui est négligeable. De plus {\mathop{∫ } }_{\overline{A}}1 ={\mathop{∫ } }_{\overline{A}∖A}1 +{\mathop{∫ } }_{A}1 ={\mathop{∫ } }_{A}1 puisque \overline{A} ∖ A est contenu dans la frontière de A et donc est négligeable ; la démonstration est similaire pour l’intérieur.

Proposition 20.2.10 Si f : A → E est une fonction continue bornée sur l’ensemble quarrable A, alors \|{\mathop{∫ } }_{A}f\| ≤ m(A){\mathop{sup}}_{x∈A}\|f(x)\|.

Démonstration Si M ={\mathop{ sup}}_{x∈A}\|f(x)\|, on a \|{\mathop{∫ } }_{A}f\| ≤{\mathop{∫ } }_{A}\|f\| ≤{\mathop{∫ } }_{A}M = M{\mathop{∫ } }_{A}1 = Mm(A)