20.1 Intégrales curvilignes

20.1.1 Formes différentielles sur un arc paramétré

Définition 20.1.1 Soit E un espace vectoriel normé, Γ = (I,f) un arc paramétré de E de classe {C}^{1}. On appelle forme différentielle sur Γ toute forme différentielle α = a(t) dt sur l’intervalle I.

Exemple 20.1.1 Soit Γ = (I,f) un arc paramétré de E

Remarque 20.1.1 En fait les cas (ii) et (iii) sont étroitement liés. En effet, munissons {ℝ}^{n} de sa structure euclidienne canonique et soit U un ouvert contenant l’image de Γ. A tout champ de vecteurs V défini sur U défini par V (x) = ({V }_{1}(x),\mathop{\mathop{…}},{V }_{n}(x)), on peut associer la forme différentielle ω = {V }_{1}(x) d{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {V }_{n}(x) d{x}_{n}. Cette application V \mathrel{↦}ω est clairement bijective. On a alors dans ce cadre

\begin{eqnarray*} (V (m)\mathrel{∣}dm)& =& \left (V (f(t))\mathrel{∣}f'(t)\right ) dt %& \\ & =& \left ({a}_{1}(f(t)){f}_{1}'(t) + \mathop{\mathop{…}} + {a}_{n}(f(t)){f}_{n}'(t)\right ) dt%& \\ & =& {ω}_{{|}_{Γ}} %& \\ \end{eqnarray*}

Théorème 20.1.1 Les trois exemples fondamentaux sont invariants par changement de paramétrage de sens direct.

Soit (I,f) et (J,g) deux arcs paramétrés équivalents et de même sens. Soit θ : I → J un difféomorphisme croissant de classe {C}^{1} tel que f = g ∘ θ. Si α = a(t) dt et β = b(u) du sont les formes différentielles obtenues respectivement sur (I,f) et (J,g) par l’une des trois constructions ci dessus, on a a(t) dt = b(u) du pour u = θ(t).

Démonstration (i) Sur (I,f), on a h(m) ds = h(f(t)) \|f'(t)\| dt ; mais comme f = g ∘ θ, on a

\begin{eqnarray*} h(m) ds& =& h(g(θ(t))) \|θ'(t)g'(θ(t))\| dt%& \\ & =& h(g(θ(t))) \|g'(θ(t))\|θ'(t) dt%& \\ \end{eqnarray*}

car θ'(t) > 0 ; d’où encore, en posant u = θ(t) et donc du = θ'(t) dt, h(m) ds = h(g(u)) \|g'(u)\| du ce qu’on voulait démontrer.

(ii) Sur (I,f), on a

\begin{eqnarray*} (V (m)\mathrel{∣}dm)& =& \left (V (f(t))\mathrel{∣}f'(t)\right ) dt %& \\ & =& \left (V (g(θ(t))\mathrel{∣}θ'(t)g'(θ(t))\right ) dt%& \\ & =& \left (V (g(θ(t))\mathrel{∣}g'(θ(t))\right )θ'(t) dt%& \\ & =& \left (V (g(u))\mathrel{∣}g'(u)\right ) du %& \\ \end{eqnarray*}

ce qu’on voulait démontrer.

(iii) On peut faire un calcul similaire ou utiliser le lien entre formes différentielles et champ de vecteurs décrit ci dessus.

20.1.2 Intégrale d’une forme différentielle sur un arc

Définition 20.1.2 Soit Γ = ([a,b],f) un arc paramétré et α = A(t) dt une forme différentielle continue par morceaux sur Γ. On appelle intégrale (curviligne) de la forme différentielle α sur Γ le scalaire

{\mathop{∫ } }_{Γ}α ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}A(t) dt

Remarque 20.1.2 Soit Γ = ([a,b],f) un arc paramétré et c ∈ [a,b]. On peut alors considérer les deux arcs paramétrés {Γ}_{1} = ([a,c],{f}_{{|}_{[a,c]}}) et {Γ}_{2} = ([c,b],{f}_{{|}_{[c,b]}}). On dira alors que Γ est la juxtaposition de {Γ}_{1} et {Γ}_{2} et on écrira Γ = {Γ}_{1} ⊔ {Γ}_{2}.

Proposition 20.1.2 (i) L’application α\mathrel{↦}{\mathop{∫ } }_{Γ}α est linéaire (ii) On a {\mathop{∫ } }_{{Γ}_{1}⊔{Γ}_{2}}α ={\mathop{∫ } }_{{Γ}_{1}}α +{\mathop{∫ } }_{{Γ}_{2}}α

Démonstration Résulte immédiatement des propriétés de l’intégrale.

Théorème 20.1.3 (invariance de l’intégrale curviligne). Soit {Γ}_{1} = ([a,b],f) un arc paramétré, {Γ}_{2} = ([c,d],g) un arc paramétré équivalent et de même sens. Soit θ un difféomorphisme croissant de [a,b] sur [c,d] tel que f = g ∘ θ. Soit α = A(t) dt une forme différentielle sur {Γ}_{1} et β = B(u) du la forme différentielle qui s’en déduit en posant t = θ(u). Alors

{\mathop{∫ } }_{{Γ}_{1}}α ={\mathop{∫ } }_{{Γ}_{2}}β

Démonstration Comme θ est croissant, on a nécessairement c = θ(a) et d = θ(b). De plus la relation A(t) dt = B(u) du pour u = θ(t), montre que A(t) = B(θ(t))θ'(t). On a donc

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{{Γ}_{1}}α& =& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}A(t) dt ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}B(θ(t))θ'(t) dt%& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{θ(a)}^{θ(b)}B(u) du ={\mathop{∫ } }_{{Γ}_{2}}β %& \\ \end{eqnarray*}

en utilisant le théorème de changement de variable dans les intégrales.

Exemple 20.1.2 Les résultats précédents, en liaison avec les définitions du paragraphe précédent nous permettent d’associer à un arc paramétré Γ = ([a,b],f) les trois types suivants d’intégrales, tous trois invariants par changement de paramétrage admissible et croissant

Remarque 20.1.3 Le lecteur vérifiera facilement que le premier type d’intégrale est également invariant par changement d’orientation de Γ, c’est-à-dire par un changement de paramétrage décroissant (car la forme différentielle est changée en son opposée mais dans le même temps les bornes de l’intégrale sont interverties) ; par contre les intégrales des deux autres types sont changées en leurs opposées par changement d’orientation.

Proposition 20.1.4 Soit Γ = ([a,b],f) un arc paramétré de classe {C}^{1} de longueur l(Γ).

Démonstration (i) On a

\begin{eqnarray*} \left |{\mathop{∫ } }_{Γ}h(m) ds\right |& =& \left |{\mathop{∫ } }_{a}^{b}h(f(t)) \|f'(t)\| dt\right | %& \\ & ≤& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}|h(f(t))|\|f'(t)\| dt %& \\ & ≤& \left ({\mathop{sup}}_{m∈\mathop{\mathrm{Im}} Γ}|h(m)|\right ){\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|f'(t)\| dt%& \\ & =& l(Γ){\mathop{sup}}_{m∈\mathop{\mathrm{Im}} Γ}|h(m)| %& \\ \end{eqnarray*}

(ii) On a grâce à l’inégalité de Schwarz, \left |\left (V (f(t))\mathrel{∣}f'(t)\right )\right | ≤\| V (f(t))\| \|f'(t)\| d’où

\begin{eqnarray*} \left |{\mathop{∫ } }_{Γ}(V (m)\mathrel{∣}dm)\right |& =& \left |{\mathop{∫ } }_{a}^{b}\left (V (f(t))\mathrel{∣}f'(t)\right ) dt\right | %& \\ & ≤& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|V (f(t))\| \|f'(t)\| dt %& \\ & ≤& \left ({\mathop{sup}}_{m∈\mathop{\mathrm{Im}} Γ}\|V (m)\|\right ){\mathop{∫ } }_{a}^{b}\|f'(t)\| dt%& \\ & =& l(Γ){\mathop{sup}}_{m∈\mathop{\mathrm{Im}} Γ}\|V (m)\| %& \\ \end{eqnarray*}

20.1.3 Formes différentielles exactes et champs de gradients

Théorème 20.1.5

  • (i) Soit Γ = ([a,b],f) un arc paramétré de classe {C}^{1} et soit V un champ de vecteurs défini et continu sur un ouvert U contenant l’image de Γ ; si V est le champ des gradients d’une fonction F : U → ℝ, alors
    {\mathop{∫ } }_{Γ}(V (m)\mathrel{∣}dm) = F(f(b)) − F(f(a))

  • (ii) Soit Γ = ([a,b],f) un arc paramétré de classe {C}^{1} et soit ω une forme différentielle définie et continue sur un ouvert U contenant l’image de Γ ; si ω est la différentielle d’une fonction F : U → ℝ, alors
    {\mathop{∫ } }_{Γ}ω = F(f(b)) − F(f(a))

Démonstration (i) On a en effet

\begin{eqnarray*}{ d \over dt} (F(f(t)))& =& dF(f(t)).f'(t) = \left ((\mathop{\mathrm{grad}} F)(f(t))\mathrel{∣}f'(t)\right )%& \\ & =& (V (f(t))\mathrel{∣}f'(t)) %& \\ \end{eqnarray*}

d’où l’on déduit

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{Γ}(V (m)\mathrel{∣}dm)& =& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}(V (f(t))\mathrel{∣}f'(t)) ={\mathop{∫ } }_{a}^{b}(F ∘ f)'(t) dt%& \\ & =& F(f(b)) − F(f(a)) %& \\ \end{eqnarray*}

(ii) Si ω = dF, on a donc ω ={ ∂F \over ∂{x}_{1}} (x) d{x}_{1} + \mathop{\mathop{…}} +{ ∂F \over ∂{x}_{n}} (x) d{x}_{n}, si bien que

\begin{eqnarray*} {\mathop{∫ } }_{Γ}ω& =& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}({ ∂F \over ∂{x}_{1}} (f(t)){f}_{1}'(t) + \mathop{\mathop{…}} +{ ∂F \over ∂{x}_{n}} (f(t)){f}_{n}'(t)) dt %& \\ & =& {\mathop{∫ } }_{a}^{b}{ d \over dt} (F({f}_{1}(t),\mathop{\mathop{…}},{f}_{n}(t))) dt = F(f(b)) − F(f(a))%& \\ \end{eqnarray*}

Corollaire 20.1.6 Soit Γ = ([a,b],f) un arc paramétré de classe {C}^{1}, fermé (c’est-à-dire que f(b) = f(a)).

  • (i) Pour tout champ de gradients V sur un ouvert U de E contenant \mathop{\mathrm{Im}}Γ, on a {\mathop{∫ } }_{Γ}(V (m)\mathrel{∣}dm) = 0
  • (ii) Pour toute forme différentielle exacte ω sur un ouvert U de E contenant \mathop{\mathrm{Im}}Γ, on a {\mathop{∫ } }_{Γ}ω = 0

Démonstration Conséquence évidente du résultat précédent.

Exemple 20.1.3 Considérons sur {ℝ}^{2} ∖\{(0,0\} la forme différentielle de classe {C}^{∞}, ω ={ x dy−y dx \over {x}^{2}+{y}^{2}}  ; on vérifie facilement que dω = 0 puisque { ∂ \over ∂y} \left ({ −y \over {x}^{2}+{y}^{2}} \right ) ={ ∂ \over ∂x} \left ({ x \over {x}^{2}+{y}^{2}} \right ). Pourtant ω n’est pas exacte. En effet calculons l’intégrale de ω le long du cercle Γ de centre (0,0) de rayon 1. On a en posant x =\mathop{ cos} θ et y =\mathop{ sin} θ,

x dy − y dx =\mathop{ cos} θ × (\mathop{cos} θ dθ) −\mathop{ sin} θ × (−\mathop{sin} θ dθ) = dθ

si bien que

{\mathop{∫ } }_{Γ}ω ={\mathop{∫ } }_{0}^{2π}dθ = 2π\mathrel{≠}0

ce qui montre que ω ne peut pas être la différentielle d’une fonction. L’hypothèse que l’ouvert est étoilé est donc essentielle pour la validité du théorème de Poincaré qui dit que (sur un ouvert étoilé) une forme différentielle est exacte si et seulement si elle vérifie dω = 0.