19.4 Quadriques

19.4.1 Notion de quadrique

Définition 19.4.1 Soit E un espace affine de dimension finie de direction \vec{E} et F : E → ℝ. On dit que F est une forme quadratique affine si elle vérifie les conditions équivalentes (i) il existe a ∈ E, une forme quadratique {Φ}_{a} sur \vec{E} et une forme linéaire {f}_{a} sur \vec{E} telles que \mathop{∀}x ∈ E, F(x) = {Φ}_{a}(\overrightarrow{ax}) + {f}_{a}(\overrightarrow{ax}) + F(a) (ii) pour tout a ∈ E, il existe une forme quadratique {Φ}_{a} sur \vec{E} et une forme linéaire {f}_{a} sur \vec{E} telles que \mathop{∀}x ∈ E, F(x) = {Φ}_{a}(\overrightarrow{ax}) + {f}_{a}(\overrightarrow{ax}) + F(a) (iii) pour tout repère affine (a,\overrightarrow{{e}_{1}},\mathop{\mathop{…}},\overrightarrow{{e}_{n}}), il existe un polynôme P ∈ ℝ[{X}_{1},\mathop{\mathop{…}},{X}_{n}] de degré inférieur ou égal à 2 tel que F(x) = P({x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n}) si {x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n} sont les coordonnées de x dans ce repère. La forme quadratique {Φ}_{a} est en fait indépendante de a ∈ E ; on l’appelle la forme quadratique principale de F.

Démonstration Il est clair que (ii)(i). Supposons (i) vérifié et soit b ∈ E. On a alors par l’identité de polarisation

\begin{eqnarray*} F(x)& =& {Φ}_{a}(\overrightarrow{ab} +\overrightarrow{ bx}) + {f}_{a}(\overrightarrow{ab} +\overrightarrow{ bx}) + F(a) %& \\ & =& {Φ}_{a}(\overrightarrow{bx}) + 2{φ}_{a}(\overrightarrow{ab},\overrightarrow{bx}) + {f}_{a}(\overrightarrow{bx)} + {Φ}_{a}(\overrightarrow{ab}) + {f}_{a}(\overrightarrow{ab}) + F(a)%& \\ & =& {Φ}_{b}(\overrightarrow{bx}) + {f}_{b}(\overrightarrow{bx}) + F(b) %& \\ \end{eqnarray*}

en posant {Φ}_{b} = {Φ}_{a} et {f}_{b}(\overrightarrow{ξ}) = 2{φ}_{a}(\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ξ}) + {f}_{a}(\overrightarrow{ξ}). Ceci montre à la fois que (i)(ii) et que {Φ}_{a} ne dépend pas de a.

L’équivalence entre (i) et (iii) résulte immédiatement des isomorphismes déjà connus entre formes quadratiques et polynômes homogènes de degré 2, formes linéaires et polynômes homogènes de degré 1, constantes et polynômes homogènes de degré 0. La décomposition F(x) = {Φ}_{a}(\overrightarrow{ax}) + {f}_{a}(\overrightarrow{ax}) + F(a) correspond exactement à la décomposition P = {P}_{2} + {P}_{1} + {P}_{0} d’un polynôme de degré au plus 2 en un polynôme homogène de degré 2, un polynôme homogène de degré 1 et une constante.

Remarque 19.4.1 Contrairement à la forme quadratique principale Φ qui ne dépend pas de a, la forme linéaire {f}_{a} dépend de a. Supposons que Φ est non dégénérée ; on sait alors que l’on peut trouver un vecteur \vec{v} ∈\vec{ E} tel que \mathop{∀}\vec{ξ} ∈\vec{ E}, {f}_{a}(\vec{ξ}) = φ(\vec{v},\vec{ξ}). Prenons alors b = a −{ 1 \over 2} \vec{v}. On a alors {f}_{b}(\vec{ξ}) = 2φ(\overrightarrow{ab},\vec{ξ}) + {f}_{a}(\vec{ξ}) = φ(2\overrightarrow{ab} +\vec{ v},\vec{ξ}) = φ(0,\vec{ξ}) = 0, si bien que {f}_{b} = 0.

Définition 19.4.2 On dit que a ∈ E est un centre de la forme quadratique affine si {f}_{a} = 0.

Remarque 19.4.2 On a donc montré que si Φ est non dégénérée, F admet un centre.

Définition 19.4.3 On dit qu’un sous-ensemble Σ de E est une quadrique (ou une conique en dimension 2) s’il existe une forme quadratique affine de forme quadratique principale non nulle telle que Σ = \{x ∈ E\mathrel{∣}F(x) = 0\}.

19.4.2 Réduction des quadriques

Supposons que E est un espace affine euclidien. Soit Σ une quadrique d’équation F(x) = 0 et soit Φ la forme quadratique principale de F. On sait qu’il existe une base orthonormée (\overrightarrow{{e}_{1}},\mathop{\mathop{…}},\overrightarrow{{e}_{n}}) de \vec{E} qui est orthogonale pour Φ. La matrice de Φ dans cette base est alors \mathop{diag}({λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n}) et quitte à permuter la base on peut supposer que {λ}_{1}\mathrel{≠}0,\mathop{\mathop{…}},{λ}_{r}\mathrel{≠}0,{λ}_{r+1} = \mathop{\mathop{…}} = {λ}_{n} = 0 pour un r ∈ [1,n] (car on a supposé Φ\mathrel{≠}0). Dans tout repère (a,\overrightarrow{{e}_{1}},\mathop{\mathop{…}},\overrightarrow{{e}_{n}}) l’équation de Σ est donc de la forme {λ}_{1}{x}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{r}{x}_{r}^{2} +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}{α}_{i}{x}_{i} + k = 0 soit encore {λ}_{1}{({x}_{1} +{ {α}_{1} \over 2{λ}_{1}} )}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{r}{({x}_{r} +{ {α}_{r} \over 2{λ}_{r}} )}^{2} +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=r+1}^{n}{α}_{i}{x}_{i} + k' = 0 avec k' = k −{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=1}^{r}{ {α}_{i}^{2} \over 4{λ}_{i}^{2}} . En posant {x}_{1}' = {x}_{1} +{ {α}_{1} \over 2{λ}_{1}} ,{x}_{r}' = {x}_{r} +{ {α}_{r} \over 2{λ}_{r}} , c’est-à-dire en faisant un changement d’origine du repère, on obtient un nouveau repère (a',\overrightarrow{{e}_{1}},\mathop{\mathop{…}},\overrightarrow{{e}_{n}}) dans lequel l’équation devient {λ}_{1}{x}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{r}{x}_{r}^{2} +{\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=r+1}^{n}{α}_{i}{x'}_{i} + k' = 0.

S’il existe i ≥ r + 1 tel que {α}_{i}\mathrel{≠}0, posons {e}_{r+1}' ={ {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=r+1}^{n}{α}_{ i}{e}_{i} \over \sqrt{{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=r+1}^{n}{α}_{i}^{2}}} . Alors ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{r},{e}_{r+1}') est une famille orthonormée, que nous pouvons compléter en une base orthonormée ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{r},{e}_{r+1}',\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}'). Dans le repère (a',{e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{r},{e}_{r+1}',\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}') les nouvelles coordonnées sont {x''}_{1} = {x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x''}_{r} = {x}_{r},{x''}_{r+1} ={ {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=r+1}^{n}{α}_{ i}{x'}_{i} \over \sqrt{{\mathop{\mathop{∑ }} }_{i=r+1}^{n}{α}_{i}^{2}}} si bien que l’équation devient dans ce repère {λ}_{1}{x}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{r}{x}_{r}^{2} + β{x''}_{r+1} + k' = 0 avec β\mathrel{≠}0. On écrit alors l’équation sous la forme {λ}_{1}{x}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{r}{x}_{r}^{2} + β({x''}_{r+1} +{ k' \over β} ) = 0 et un nouveau changement d’origine ramène à une équation {λ}_{1}{y}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{r}{y}_{r}^{2} + β{y}_{r+1} = 0.

Si par contre tous les {α}_{i} sont nuls pour i ≥ r + 1 ou si r = n, alors l’équation est déjà réduite à la forme {λ}_{1}{x}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{r}{x}_{r}^{2} + k' = 0. On a donc démontré le théorème suivant

Théorème 19.4.1 Soit Σ une quadrique. Alors il existe un repère orthonormé (a,\overrightarrow{{e}_{1}},\mathop{\mathop{…}},\overrightarrow{{e}_{n}}) tel que l’équation de Σ dans ce repère soit de l’une des deux formes suivantes

\begin{eqnarray*} {λ}_{1}{x}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{ r}{x}_{r}^{2} + k& =& 0, r ≤ n %& \\ \text{(quadrique à centre)}& & %& \\ {λ}_{1}{x}_{1}^{2} + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{ r}{x}_{r}^{2} + β{x}_{ r+1}& =& 0, r ≤ n − 1%& \\ \text{(quadrique sans centre)}& & %& \\ \end{eqnarray*}

avec {λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{r} non nuls. L’entier r est le rang de la forme quadratique principale et {λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{r} les valeurs propres non nulles (comptées avec leurs multiplicités) de la matrice de la forme quadratique principale Φ dans n’importe quelle base orthonormée.

19.4.3 Classification des quadriques en dimension 2 et 3

Dimension 2

Premier cas r = 2, {λ}_{1}{λ}_{2} > 0 : on obtient à partir de l’équation {λ}_{1}{x}^{2} + {λ}_{2}{y}^{2} = −k que la conique est soit l’ensemble vide, soit un point (si k = 0), soit une ellipse.

Deuxième cas r = 2, {λ}_{1}{λ}_{2} < 0 : on obtient à partir de l’équation {λ}_{1}{x}^{2} + {λ}_{2}{y}^{2} = −k que la conique est soit la réunion de deux droites sécantes (si k = 0), soit une hyperbole (si k\mathrel{≠}0).

Troisième cas r = 1 et conique sans centre : on obtient à partir de l’équation {λ}_{1}{x}^{2} + βy = 0 que la conique est une parabole

Quatrième cas r = 1 et conique avec centre : on obtient à partir de l’équation {λ}_{1}{x}^{2} + k = 0 que la conique est soit l’ensemble vide, soit une droite soit la réunion de deux droites parallèles.

Dimension 3

Premier cas r = 3, {λ}_{1},{λ}_{2} et {λ}_{3} de même signe (par exemple positifs) ; l’équation peut s’écrire sous la forme {λ}_{1}{x}^{2} + {λ}_{2}{y}^{2} + {λ}_{3}{z}^{2} = k ; si k < 0, on obtient l’ensemble vide ; si k = 0, la quadrique est réduite à un point ; si k > 0, la quadrique se déduit par l’affinité (x,y,z)\mathrel{↦}(\sqrt{{λ}_{1}}x,\sqrt{{λ}_{2}}y,\sqrt{{λ}_{3}}z) de la sphère {x}^{2} + {y}^{2} + {z}^{2} = k, il s’agit donc d’un ellipsoïde.

Deuxième cas r = 3, {λ}_{1},{λ}_{2} et {λ}_{3} de signes distincts. On peut par exemple supposer que {λ}_{1} > 0,{λ}_{2} > 0 et {λ}_{3} < 0. L’équation peut s’écrire sous la forme {λ}_{1}{x}_{2} + {λ}_{2}{y}^{2} + {λ}_{3}{z}^{2} = k ; la quadrique se déduit par l’affinité (x,y,z)\mathrel{↦}(\sqrt{{λ}_{1}}x,\sqrt{{λ}_{2}}y,\sqrt{−{λ}_{3}}z) de la quadrique {x}^{2} + {y}^{2} − {z}^{2} = k autrement dit de la surface de révolution d’axe Oz dont une équation cylindrique est {ρ}^{2} − {z}^{2} = k ; si k = 0, la méridienne est la réunion de deux droites et la quadrique est un cône du second degré ; si k\mathrel{≠}0, la méridienne est une hyperbole d’axe focal si k > 0, d’axe focal Oz si k < 0 ; dans le premier cas, la quadrique est un hyperboloïde à une nappe obtenu par affinité à partir de la rotation d’une hyperbole autour de son axe non focal, dans le second cas un hyperboloïde à deux nappes, obtenu par affinité à partir de la rotation d’une hyperbole autour de son axe focal

Troisième cas r = 2, quadrique à centre, {λ}_{1}{λ}_{2} > 0. On peut écrire l’équation sous la forme {λ}_{1}{x}^{2} + {λ}_{2}{y}^{2} = k ; il s’agit soit de l’ensemble vide, soit d’une droite (si k = 0), soit d’un cylindre d’axe Oz dont la base est une ellipse, c’est-à-dire d’un cylindre elliptique.

Quatrième cas r = 2, quadrique à centre, {λ}_{1}{λ}_{2} < 0. On peut écrire l’équation sous la forme {λ}_{1}{x}^{2} + {λ}_{2}{y}^{2} = k ; il s’agit soit de la réunion de deux plans sécants (si k = 0), soit d’un cylindre d’axe Oz dont la base est une hyperbole, c’est-à-dire d’un cylindre hyperbolique

Cinquième cas r = 2, quadrique sans centre, {λ}_{1}{λ}_{2} > 0. On peut écrire l’équation sous la forme {λ}_{1}{x}^{2} + {λ}_{2}{y}^{2} = βz ; la quadrique se déduit par l’affinité (x,y,z)\mathrel{↦}(\sqrt{{λ}_{1}}x,\sqrt{{λ}_{2}}y,βz) de la quadrique {x}^{2} + {y}^{2} = z autrement dit de la surface de révolution d’axe Oz dont une équation cylindrique est {ρ}^{2} = z obtenue par rotation d’une parabole autour de son axe ; il s’agit d’un paraboloïde elliptique.

Sixième cas r = 2, quadrique sans centre, {λ}_{1}{λ}_{2} < 0. On peut écrire l’équation sous la forme {λ}_{1}{x}^{2} + {λ}_{2}{y}^{2} = βz ; la quadrique se déduit par l’affinité (x,y,z)\mathrel{↦}(\sqrt{{λ}_{1}}x,\sqrt{−{λ}_{2}}y,βz) de la quadrique {x}^{2} − {y}^{2} = z ; il s’agit d’un paraboloïde hyperbolique.

Septième cas r = 1, quadrique à centre. L’équation {λ}_{1}{x}^{2} + k = 0 définit soit l’ensemble vide, soit un plan, soit la réunion de deux plans parallèles.

Huitième cas r = 1, quadrique sans centre. L’équation {λ}_{1}{x}^{2} = βy définit un cylindre d’axe Oz dont la base est une parabole. Il s’agit d’un cylindre parabolique.

19.4.4 Quadriques réglées, quadriques de révolution

Parmi les neuf types de vraies quadriques, quatre sont des cylindres ou des cônes qui sont évidemment des surfaces réglées. Il est clair qu’un ellipsoïde qui est borné ne peut pas contenir de droites, dont ne peut pas être réglé. Pour des raisons évidentes de non connexité, un hyperboloïde à deux nappes ne peut pas contenir de droite (une telle droite serait forcément horizontale car contenue dans un demi-espace horizontal, or les sections horizontales de l’hyperboloïde sont des cercles). Un paraboloïde elliptique étant situé dans un demi espace ne peut évidemment pas contenir de droites (une telle droite serait forcément horizontale car contenue dans un demi-espace horizontal, or les sections horizontales du paraboloïde sont des cercles). Reste donc le cas de l’hyperboloïde à une nappe et du paraboloïde hyperbolique.

En ce qui concerne l’hyperboloïde à une nappe, une équation réduite peut s’écrire sous la forme { {x}^{2} \over {a}^{2}} +{ {y}^{2} \over {b}^{2}} −{ {z}^{2} \over {c}^{2}} = 1 soit encore

\left ({ x \over a} +{ z \over c} \right )\left ({ x \over a} −{ z \over c} \right ) = \left (1 +{ y \over b} \right )\left (1 −{ y \over b} \right )

Cet hyperboloïde contient donc les deux familles de droites ({D}_{λ,μ}) et ({Δ}_{λ,μ}) définies pour (λ,μ)\mathrel{≠}(0,0) par

{D}_{λ,μ} \left \{\matrix{\,λ\left ({ x \over a} +{ z \over c} \right ) = μ\left (1 +{ y \over b} \right ) \cr \cr μ\left ({ x \over a} −{ z \over c} \right ) = λ\left (1 −{ y \over b} \right )}\right .\quad \text{ et }\quad {Δ}_{λ,μ} \left \{\matrix{\,λ\left ({ x \over a} +{ z \over c} \right ) = μ\left (1 −{ y \over b} \right ) \cr \cr μ\left ({ x \over a} −{ z \over c} \right ) = λ\left (1 +{ y \over b} \right )}\right .

Par tout point de l’hyperboloïde passe une et une seule droite de chaque famille.

En ce qui concerne le paraboloïde hyperbolique, une équation réduite peut s’écrire sous la forme { {x}^{2} \over {a}^{2}} −{ {y}^{2} \over {b}^{2}} = z soit encore

\left ({ x \over a} +{ y \over b} \right )\left ({ x \over a} −{ y \over b} \right ) = z

Cet hyperboloïde contient donc les deux familles de droites ({D}_{λ,μ}) et ({Δ}_{λ,μ}) définies pour (λ,μ)\mathrel{≠}(0,0) par

{D}_{λ,μ} \left \{\matrix{\,λ\left ({ x \over a} +{ y \over b} \right ) = μz \cr \cr μ\left ({ x \over a} −{ y \over b} \right ) = λ}\right .\quad \text{ et }\quad {Δ}_{λ,μ} \left \{\matrix{\,λ\left ({ x \over a} +{ y \over b} \right ) = μ \cr \cr μ\left ({ x \over a} −{ y \over b} \right ) = λz}\right .

Par tout point du paraboloïde hyperbolique passe une et une seule droite de chaque famille.

En ce qui concerne la possibilité pour des quadriques d’être de révolution, on constate immédiatement sur l’équation réduite que la quadrique est de révolution si deux des {λ}_{i} sont égaux (c’est-à-dire si la matrice de la forme quadratique principale Φ dans n’importe quelle base orthonormée admet une valeur propre double). Ceci permet de compléter le tableau :





Equation Type Réglé De révolution




{ {x}^{2} \over {a}^{2}} +{ {y}^{2} \over {b}^{2}} +{ {z}^{2} \over {c}^{2}} = 1 ellipsoïde Non si a = b ou b = c ou c = a
{ {x}^{2} \over {a}^{2}} +{ {y}^{2} \over {b}^{2}} −{ {z}^{2} \over {c}^{2}} = 1 hyperboloïde à une nappe Doublement si a = b
{ {x}^{2} \over {a}^{2}} +{ {y}^{2} \over {b}^{2}} −{ {z}^{2} \over {c}^{2}} = 0 cône du second degré Oui si a = b
{ {x}^{2} \over {a}^{2}} +{ {y}^{2} \over {b}^{2}} −{ {z}^{2} \over {c}^{2}} = −1hyperboloïde à deux nappes Non si a = b
{ {x}^{2} \over {a}^{2}} +{ {y}^{2} \over {b}^{2}} = 1 cylindre elliptique Oui si a = b
{ {x}^{2} \over {a}^{2}} −{ {y}^{2} \over {b}^{2}} = 1 cylindre hyperbolique Oui Non
z ={ {x}^{2} \over {a}^{2}} +{ {y}^{2} \over {b}^{2}} paraboloïde elliptique Non si a = b
z ={ {x}^{2} \over {a}^{2}} −{ {y}^{2} \over {b}^{2}} paraboloïde hyperbolique Doublement Non
2py = {x}^{2} cylindre parabolique Oui Non