19.3 Equations de surfaces

19.3.1 Surfaces cartésiennes et nappes paramétrées

Nous avons vu précédemment que, au voisinage d’un point régulier, une nappe paramétrée était équivalente à une nappe cartésienne, donc définie par une équation du type z = f(x,y) dans un repère convenablement choisi. Inversement toute nappe cartésienne est bien évidemment une nappe paramétrée par x = u,y = v,z = f(u,v).

Pla\c{c}ons nous maintenant du point de vue d’un sous-ensemble de {ℝ}^{3} défini par une équation du type f(x,y,z) = 0f est une fonction de classe {C}^{k} d’un ouvert U de {ℝ}^{3} dans . Soit donc Σ = \{(x,y,z) ∈ U\mathrel{∣}f(x,y,z) = 0\}. Supposons qu’en un point (a,b,c) de Σ on ait ({ ∂f \over ∂x} (a,b,c),{ ∂f \over ∂y} (a,b,c),{ ∂f \over ∂z} (a,b,c))\mathrel{≠}(0,0,0). Quitte à permuter les noms des coordonnées, on peut supposer par exemple { ∂f \over ∂z} (a,b,c)\mathrel{≠}0. Le théorème des fonctions implicites nous garantit qu’il existe {U}_{0} ouvert contenant (a,b), {V }_{0} ouvert contenant c et φ : {U}_{0} → {V }_{0} de classe {C}^{k} telle que

\mathop{∀}(x,y) ∈ {U}_{0}, \mathop{∀}z ∈ {V }_{0}, f(x,y,z) = 0 \mathrel{⇔} z = φ(x,y)

Autrement dit Σ, au voisinage de (a,b,c) est l’image d’une nappe cartésienne. Inversement, il est clair que l’image d’une nappe cartésienne z = φ(x,y) est définie par l’équation f(x,y,z) = 0f(x,y,z) = z − φ(x,y) (avec d’ailleurs { ∂f \over ∂z} = 1). On dira que Σ est une surface cartésienne quand elle vérifie \mathop{∀}(a,b,c) ∈ Σ, ({ ∂f \over ∂x} (a,b,c),{ ∂f \over ∂y} (a,b,c),{ ∂f \over ∂z} (a,b,c))\mathrel{≠}(0,0,0) (la véritable dénomination étant en fait sous variété de dimension 2 de {ℝ}^{3}).

Ceci nous montre donc, qu’au moins localement les trois points de vue (nappe cartésienne, nappe paramétrée et surfaces cartésiennes) sont équivalents avec certaines hypothèses de régularité. On retiendra en particulier sous ces trois formes les expressions du plan tangent et du vecteur normal.

Nappes paramétrées (u,v)\mathrel{↦}F(u,v) = (φ(u,v),ψ(u,v),ω(u,v))

Le plan tangent en ({u}_{0},{v}_{0}) est le plan F({u}_{0},{v}_{0}) +\mathop{ \mathrm{Vect}}({ ∂F \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}),{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})) d’équation

\left |\matrix{\,x − φ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂φ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂φ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) \cr y − ψ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ψ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ψ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) \cr z − ω({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ω \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ω \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})}\right | = 0

avec comme vecteur normal { ∂F \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}) ∧{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) = \left (\matrix{\,{ ∂φ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}) \cr { ∂ψ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}) \cr { ∂ω \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})}\right ) ∧\left (\matrix{\,{ ∂φ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) \cr { ∂ψ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) \cr { ∂ω \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})}\right )

Nappes cartésiennes z = f(x,y)

En utilisant le paramétrage (x,y)\mathrel{↦}(x,y,f(x,y)) et les formules précédentes, on obtient les formules suivantes.

Le plan tangent en ({x}_{0},{y}_{0}) est le plan d’équation (en utilisant les notations de Monge p ={ ∂f \over ∂x} ({x}_{0},{y}_{0}), q ={ ∂f \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0}))

\left |\matrix{\,x − {x}_{0}&1&0 \cr y − {y}_{0}&0&1 \cr z − f({x}_{0},{y}_{0})&p&q}\right | = 0

avec comme vecteur normal \left (\matrix{\,1 \cr 0 \cr p}\right ) ∧\left (\matrix{\,0 \cr 1 \cr q}\right ) = \left (\matrix{\,−p \cr −q \cr 1 }\right )

Surfaces cartésiennes f(x,y,z) = 0

A l’aide du théorème des fonctions implicites, on a obtenu les résultats suivants.

Le plan tangent en ({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}) est le plan d’équation

(x − {x}_{0}){ ∂f \over ∂x} ({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}) + (y − {y}_{0}){ ∂f \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}) + (z − {z}_{0}){ ∂f \over ∂z} ({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}) = 0

avec le vecteur normal \overrightarrow{\mathop{grad}}f({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}) = \left (\matrix{\,{ ∂f \over ∂x} ({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}) \cr { ∂f \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}) \cr { ∂f \over ∂z} ({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0})}\right )

19.3.2 Cylindres

Définition 19.3.1 Soit E un espace affine euclidien de dimension 3 et \vec{D} une direction de droite. On dit qu’une partie Σ de E est un cylindre de direction \vec{D} si, pour tout m ∈ Σ, la droite m +\vec{ D} est contenue dans Σ.

Définition 19.3.2 Les droites m +\vec{ D} contenues dans Σ sont appelées les génératrices du cylindre. Un sous-ensemble qui rencontre toutes les génératrices est appelé un sous-ensemble directeur du cylindre. Un sous-ensemble directeur plan est appelé une base du cylindre.

On est parfois amené à rechercher un cylindre connaissant un sous-ensemble directeur Γ et la direction du cylindre \vec{D} = ℝ\vec{u}. Nous supposerons choisi un repère de E ce qui nous permet de supposer que E = {ℝ}^{3}. On posera donc \vec{u} = (α,β,γ).

Premier cas Γ est l’image d’un arc paramétré u\mathrel{↦}(φ(u),ψ(u),ω(u)). On obtient immédiatement une paramétrisation du cylindre par x = φ(u) + αv,y = ψ(u) + βv,z = ω(u) + γv.

Deuxième cas Γ est donnée par deux équations f(x,y,z) = 0,g(x,y,z) = 0. On écrit alors que

\begin{eqnarray*} m(x,y,z) ∈ Σ& \mathrel{⇔} & \mathop{∃}t ∈ ℝ, m + t\vec{u} ∈ Γ %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∃}t ∈ ℝ, \left \{\matrix{\,f(x + tα,y + tβ,z + tγ) = 0 \cr g(x + tα,y + tβ,z + tγ) = 0}\right .%& \\ \end{eqnarray*}

et on élimine t entre ces équations.

Exemple 19.3.1 Cylindre de direction \vec{u} = (1,1,1) de sous-ensemble directeur la parabole {y}^{2} = 2px,z = 0. On écrit

\begin{eqnarray*} m(x,y,z) ∈ Σ& \mathrel{⇔} & \mathop{∃}t ∈ ℝ, m + t\vec{u} ∈ Γ %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∃}t ∈ ℝ, \left \{\matrix{\,{(y + t)}^{2} = 2p(x + t) \cr z + t = 0}\right .%& \\ & \mathrel{⇔} & {(y − z)}^{2} = 2p(x − z) %& \\ \end{eqnarray*}

et nous avons obtenu une équation du cylindre.

19.3.3 Cônes

Définition 19.3.3 Soit E un espace affine euclidien de dimension 3 et S un point de E. On dit qu’une partie Σ de E est un cône de sommet S si, pour tout m ∈ Σ ∖\{S\}, la droite Sm est contenue dans Σ.

Définition 19.3.4 Les droites Sm contenues dans Σ sont appelées les génératrices du cône. Un sous-ensemble ne contenant pas le sommet qui rencontre toutes les génératrices est appelé un sous ensemble directeur du cône. Un sous-espace directeur plan est appelé une base du cône.

On est parfois amené à rechercher un cône connaissant un sous-ensemble directeur Γ et le sommet S du cône. Nous supposerons choisi un repère de E ce qui nous permet de supposer que E = {ℝ}^{3}. On posera donc S = (α,β,γ).

Premier cas Γ est l’image d’un arc paramétré u\mathrel{↦}(φ(u),ψ(u),ω(u)). On obtient immédiatement une paramétrisation du cône par x = vφ(u) + (1 − v)α,y = vψ(u) + (1 − v)β,z = vω(u) + (1 − v)γ.

Deuxième cas Γ est donnée par deux équations f(x,y,z) = 0,g(x,y,z) = 0. On écrit alors que

\begin{eqnarray*} m(x,y,z) ∈ Σ ∖\{S\}& \mathrel{⇔} & \mathop{∃}t ∈ ℝ, S + t\overrightarrow{Sm} ∈ Γ%& \\ \end{eqnarray*}

soit encore

\mathop{∃}t ∈ ℝ, \left \{\matrix{\,f(tx + (1 − t)α,ty + (1 − t)β,tz + (1 − t)γ) = 0 \cr g(tx + (1 − t)α,ty + (1 − t)β,tz + (1 − t)γ) = 0}\right .

et on élimine t entre ces équations.

Exemple 19.3.2 Cône de sommet S = (0,0,1) de sous-ensemble directeur la parabole {y}^{2} = 2px,z = 0. On écrit

\begin{eqnarray*} m(x,y,z) ∈ Σ ∖\{S\}& \mathrel{⇔} & \mathop{∃}t ∈ ℝ, S + t\overrightarrow{Sm} ∈ Γ \mathrel{⇔} \mathop{∃}t ∈ ℝ, \left \{\matrix{\,{(ty)}^{2} = 2ptx \cr tz + (1 − t) = 0}\right . %& \\ & \mathrel{⇔} & z\mathrel{≠}1\text{ et }{\left ({ y \over 1 − z} \right )}^{2} ={ 2px \over 1 − z} \mathrel{⇔} z\mathrel{≠}1\text{ et }{y}^{2} = 2px(1 − z)%& \\ \end{eqnarray*}

et nous avons obtenu une équation du cône (privé de son sommet).

19.3.4 Surfaces de révolution

Définition 19.3.5 Soit E un espace affine euclidien de dimension 3 et D une droite de E. On dit qu’une partie Σ de E est une surface de révolution d’axe D si, pour tout m ∈ Σ, le cercle {C}_{m} d’axe D passant par m est contenu dans Σ.

Remarque 19.3.1 Les cercles {C}_{m} contenus dans Σ sont appelés les parallèles de la surface de révolution. Un sous-ensemble qui rencontre tous les parallèles est appelé un sous-ensemble directeur de la surface de révolution. Un sous-ensemble directeur situé dans un plan contenant l’axe D est appelé un méridien.

Remarque 19.3.2 Supposons que Σ soit défini par l’équation f(x,y,z) = 0 et supposons les axes choisis de telle sorte que D soit l’axe 0z. Posons alors g(ρ,θ,z) = f(ρ\mathop{cos} θ,ρ\mathop{sin} θ,z) en coordonnées cylindriques. Si g ne dépend pas de θ, on voit immédiatement que la surface est de révolution, admettant pour méridiens les sous-ensembles g(ρ,z) = 0 dans les plans ρOz. On retiendra en particulier que toute équation du type F({x}^{2} + {y}^{2},z) = 0 définit une surface de révolution.

On est parfois amené à rechercher une surface de révolution connaissant un sous-ensemble directeur Γ et l’axe de révolution. Nous supposerons choisi un repère de E ce qui nous permet de supposer que E = {ℝ}^{3}. On posera alors D = (a,b,c) + ℝ(α,β,γ).

Premier cas Γ est l’image d’un arc paramétré u\mathrel{↦}(φ(u),ψ(u),ω(u)). On obtient immédiatement une paramétrisation de la surface de révolution par (x,y,z) = {R}_{D}(v)(φ(u),ψ(u),ω(u)){R}_{D}(θ) désigne la rotation d’axe D et d’angle θ. Si le repère est bien choisi, on peut supposer que D est l’axe 0z. Alors {R}_{D}(θ) est l’application (x,y,z)\mathrel{↦}(x\mathop{cos} θ − y\mathop{sin} θ,x\mathop{sin} θ + y\mathop{cos} θ,z) si bien que l’on a la paramétrisation de la nappe par

x = φ(u)\mathop{cos} v − ψ(u)\mathop{sin} v, y = φ(u)\mathop{sin} v + ψ(u)\mathop{cos} v,z = ω(u)

Deuxième cas Γ est donné par deux équations f(x,y,z) = 0,g(x,y,z) = 0. Remarquons alors que {C}_{m} est l’intersection de la sphère de centre A passant par m avec le plan orthogonal à \vec{u} passant par m. Il admet donc pour équations (si m a pour coordonnées ({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}))

\left \{\matrix{\,{(x − a)}^{2} + {(y − b)}^{2} + {(z − c)}^{2} = {({x}_{0} − a)}^{2} + {({y}_{0} − b)}^{2} + {({z}_{0} − c)}^{2} \cr αx + βy + γz = α{x}_{0} + β{y}_{0} + γ{z}_{0}}\right .

On écrit alors que

\begin{eqnarray*} m({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}) ∈ Σ& \mathrel{⇔} & {C}_{m} ∩ Γ\mathrel{≠}∅%& \\ \end{eqnarray*}

soit encore \mathop{∃}x,y,z ∈ ℝ,

\begin{eqnarray*} \left \{\matrix{\,{(x − a)}^{2} + {(y − b)}^{2} + {(z − c)}^{2} = {({x}_{0} − a)}^{2} + {({y}_{0} − b)}^{2} + {({z}_{0} − c)}^{2} \cr αx + βy + γz = α{x}_{0} + β{y}_{0} + γ{z}_{0} \cr f(x,y,z) = 0 \cr g(x,y,z) = 0}\right .& & %& \\ \end{eqnarray*}

et on élimine x,y et z entre ces équations.

Dans le cas où D est l’axe Oz, on remplacera avantageusement la sphère par un cylindre d’axe Oz et on obtiendra comme équation de {C}_{m} \left \{\matrix{\,{x}^{2} + {y}^{2} = {x}_{0}^{2} + {y}_{0}^{2} \cr z = {z}_{0}}\right . et donc

\begin{eqnarray*} m({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}) ∈ Σ& \mathrel{⇔} & {C}_{m} ∩ Γ\mathrel{≠}∅ %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∃}x,y,z ∈ ℝ, \left \{\matrix{\,{x}^{2} + {y}^{2} = {x}_{0}^{2} + {y}_{0}^{2} \cr z = {z}_{0} \cr f(x,y,z) = 0 \cr g(x,y,z) = 0}\right .%& \\ \end{eqnarray*}

et on élimine x,y et z entre ces équations.

Exemple 19.3.3 Surface de révolution engendrée par la rotation de la droite Δ : x = 1, y = z autour de l’axe 0z. On a donc

\begin{eqnarray*} m({x}_{0},{y}_{0},{z}_{0}) ∈ Σ& \mathrel{⇔} & {C}_{m} ∩ Δ\mathrel{≠}∅ %& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∃}x,y,z ∈ ℝ, \left \{\matrix{\,{x}^{2} + {y}^{2} = {x}_{0}^{2} + {y}_{0}^{2} \cr z = {z}_{0} \cr x = 1 \cr y = z}\right .%& \\ & \mathrel{⇔} & {x}_{0}^{2} + {y}_{ 0}^{2} = 1 + {z}_{ 0}^{2} %& \\ \end{eqnarray*}

si bien que la surface a pour équation cartésienne {x}^{2} + {y}^{2} − {z}^{2} = 1, comme équation cylindrique {ρ}^{2} − {z}^{2} = 1 et que ses méridiennes sont des hyperboles équilatères. Il s’agit là d’un hyperboloïde (à une nappe).