19.2 Nappes réglées

Remarque 19.2.1 Cette notion n’est pas au programme des classes préparatoires.

19.2.1 Notion de nappe réglée

Soit I un intervalle de et soit {({D}_{u})}_{u∈I} une famille de droites indexée par u. Donnons nous pour chaque u ∈ I un point f(u) de {D}_{u} et un vecteur directeur \vec{g}(u) ∈\overrightarrow{ {D}_{u}} ∖\{0\} et supposons que (I,f) et (I,\vec{g}) soient de classe {C}^{1}. La réunion des droites {D}_{u} est alors paramétrée par F : I × ℝ → E, (u,v)\mathrel{↦}f(u) + v\vec{g}(u). Nous allons montrer qu’à équivalence près, cette nappe paramétrée ne dépend pas du choix de (I,f) et de (I,\vec{g}).

Supposons tout d’abord que nous changeons l’arc paramétré (I,f) en (I,{f}_{1}) ; on a alors {f}_{1}(u) = f(u) + φ(u)\vec{g}(u) et on vérifie facilement (par exemple à l’aide d’une structure euclidienne) que φ est de classe {C}^{1}. Mais alors l’application θ : (u,v)\mathrel{↦}(u,v + φ(u)) est de classe {C}^{1} et sa réciproque (u,w)\mathrel{↦}(u,w − φ(u)) est aussi de classe {C}^{1}. Donc θ est un difféomorphisme de I × ℝ sur lui même et on a F ∘ θ(u,v) = F(u,v + φ(u)) = f(u) + (v + α(u))\vec{g}(u) = {f}_{1}(u) + v\vec{g}(u) = {F}_{1}(u,v) ce qui montre bien que les deux nappes sont effectivement équivalentes.

Supposons maintenant que nous changeons (I,\vec{g}) en (I,\vec{{g}}_{1}) ; on a alors \vec{{g}}_{1}(u) = ψ(u)\vec{g}(u) avec une application ψ de classe {C}^{1} qui ne s’annule pas. Mais alors l’application θ : (u,v)\mathrel{↦}(u,ψ(u)v) est de classe {C}^{1} et sa réciproque (u,w)\mathrel{↦}(u,{ w \over ψ(u)} ) est aussi de classe {C}^{1}. Donc θ est un difféomorphisme de I × ℝ sur lui même et on a F ∘ θ(u,v) = F(u,ψ(u)v) = f(u) + β(u)v\vec{g}(u) = f(u) + v\vec{{g}}_{1}(u) = {F}_{1}(u,v) ce qui montre que les deux nappes sont bien équivalentes.

Définition 19.2.1 Une telle nappe sera appelée une nappe réglée de classe {C}^{1}. Les droites {D}_{u} sont appelées les génératrices de la nappe. Un arc (I,f) de classe {C}^{1} tel que \mathop{∀}u ∈ I, f(u) ∈ {D}_{u} sera appelé une directrice de la nappe ; une directrice plane est appelée une base de la nappe.

19.2.2 Plan tangent à une nappe réglée

Donnons nous une nappe réglée de classe {C}^{1}, {({D}_{u})}_{u∈I} et soit F(u,v) = f(u) + v\vec{g}(u) un paramétrage admissible de cette nappe. Soit {u}_{0} ∈ I. On a alors { ∂F \over ∂u} ({u}_{0},v) = f'({u}_{0}) + v\vec{g}'({u}_{0}) et { ∂F \over ∂v} ({u}_{0},v) =\vec{ g}({u}_{0}). Un vecteur normal à la nappe est alors le vecteur { ∂F \over ∂u} ({u}_{0},v) ∧{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},v) = f'({u}_{0}) ∧\vec{ g}({u}_{0}) + v\vec{g}'({u}_{0}) ∧\vec{ g}({u}_{0}).

Trois cas sont alors possibles :

19.2.3 Nappes cylindriques. Nappes coniques

Définition 19.2.2 Soit \vec{D} une direction de droite dans E. On appelle nappe cylindrique de direction \vec{D} toute nappe réglée de classe {C}^{1}, {({D}_{u})}_{u∈I} telle que toutes les droites {D}_{u} soient parallèles à \vec{D}.

Soit \vec{k} un vecteur directeur de \vec{D}. On peut donc choisir un paramétrage F(u,v) = f(u) + v\vec{g}(u) avec \mathop{∀}u ∈ I, \vec{g}(u) =\vec{ k}. On a alors \vec{g} constante et donc \vec{g}'(u) = 0. On voit donc que le premier cas de l’étude du plan tangent est exclu et qu’il n’y a que deux possibilités pour un {u}_{0} ∈ I.

Premier cas f'({u}_{0})\mathrel{∉}\vec{D}. Alors { ∂F \over ∂u} ({u}_{0},v) ∧{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},v) = f'({u}_{0}) ∧\vec{ k}. Tout point de la génératrice est régulier et le plan tangent est constant le long de la génératrice.

Deuxième cas f'({u}_{0}) ∈\vec{ D}. Alors la génératrice est singulière et le plan tangent n’existe en aucun point de la génératrice.

Définition 19.2.3 Soit S un point de E. On appelle nappe conique de sommet S toute nappe réglée de classe {C}^{1}, {({D}_{u})}_{u∈I} telle que toutes les droites {D}_{u} passent par le point S.

On peut alors choisir un paramétrage F(u,v) = f(u) + v\vec{g}(u) avec \mathop{∀}u ∈ I, f(u) = S. Donc f est constante et f'(u) = 0. On voit donc que le premier cas de l’étude du plan tangent est exclu et qu’il n’y a que deux possibilités pour un {u}_{0} ∈ I.

Premier cas (\vec{g}({u}_{0}),\vec{g}'({u}_{0})) est libre. Alors { ∂F \over ∂u} ({u}_{0},v) ∧{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},v) = v\vec{g}'({u}_{0}),\vec{g}({u}_{0}). Tout point de la génératrice différent du sommet est régulier et le plan tangent est constant le long de la génératrice.

Deuxième cas (\vec{g}({u}_{0}),\vec{g}'({u}_{0})) est liée. Alors la génératrice est singulière et le plan tangent n’existe en aucun point de la génératrice.

Remarque 19.2.2 Les deux types de nappes réglées que nous venons d’étudier vérifient la propriété remarquable que le plan tangent est constant le long de chaque génératrice ; on appelle de telles nappes réglées des nappes développables. Un autre type de nappes développables peut être construit en prenant l’ensemble des tangentes à une courbe gauche régulière. Soit (I,f) un tel arc paramétré régulier. On peut paramétrer la tangente {D}_{u} par v\mathrel{↦}f(u) + vf'(u) ; on peut donc prendre \vec{g}(u) = f'(u). La famille (f'({u}_{0}),\vec{g}({u}_{0}),\vec{g}'({u}_{0})) est donc la famille (f'({u}_{0}),f''({u}_{0})). Elle est donc de rang au plus 2. On a deux possibilités : soit {u}_{0} est un point birégulier de (I,f), alors la famille est de rang 2 et le plan tangent est donc constant le long de la génératrice (dont le seul point singulier est d’ailleurs v = 0, c’est-à-dire le point de contact de la tangente), soit {u}_{0} n’est pas birégulier et la génératrice est singulière. En fait on peut montrer que ces trois types de nappes (nappes cylindriques, nappes coniques et ensemble des tangentes à une courbe) épuisent, au moins localement, les nappes développables.