19.1 Nappes paramétrées

19.1.1 Notion de nappe paramétrée. Equivalence

Définition 19.1.1 On appelle nappe paramétrée de classe {C}^{k} de E tout couple (D,F) d’un ouvert D de {ℝ}^{2} et d’une application F : D → E de classe {C}^{k}, notée (u,v)\mathrel{↦}F(u,v)

Remarque 19.1.1 Vocabulaire associé. Soit Σ = (D,F) une nappe paramétrée de classe {C}^{k} de E

Exemple 19.1.1 Soit (O,\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k}) un repère affine, D un ouvert de {ℝ}^{2} et f une application de D dans . La nappe paramétrée F : (x,y)\mathrel{↦}O + x\vec{ı} + y\vec{ȷ} + f(x,y)\vec{k} sera appelée une nappe cartésienne. Pour une telle nappe on a { ∂F \over ∂x} ({x}_{0},{y}_{0}) = \vec{ı} +{ ∂f \over ∂x} ({x}_{0},{y}_{0})\vec{k} et { ∂F \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0}) = \vec{ȷ} +{ ∂f \over ∂x} ({x}_{0},{y}_{0})\vec{k} qui sont évidemment linéairement indépendants. Une nappe cartésienne est donc régulière. Nous verrons un peu plus loin une réciproque partielle à ce résultat.

Définition 19.1.2 (D,F) et (Δ,G) deux nappes paramétrées de classe {C}^{k}. On dit que ces deux nappes sont {C}^{k}-équivalentes s’il existe un difféomorphisme θ : D → Δ de classe {C}^{k} tel que F = G ∘ θ.

Remarque 19.1.2 On dira qu’un tel difféomorphisme est un changement de paramétrage admissible. L’étude des nappes paramétrées concerne essentiellement l’étude des propriétés des arcs qui sont invariantes par équivalence. L’application θ étant bijective on voit immédiatement que

Proposition 19.1.1 Soit (D,F) et (Δ,G) deux nappes paramétrées de classe {C}^{k} qui sont {C}^{k}-équivalentes. Alors les deux nappes ont la même image. Tous les points de l’image ont la même multiplicité pour les deux nappes. En particulier un point de l’image est simple pour l’un si et seulement si il est simple pour l’autre.

Proposition 19.1.2 Soit (D,F) et (Δ,G) deux nappes paramétrées de classe {C}^{k} qui sont {C}^{k}-équivalentes, θ : D → Δ un difféomorphisme de classe {C}^{k} tel que F = G ∘ θ. Alors ({u}_{0},{v}_{0}) est un point régulier de (D,F) si et seulement si θ({u}_{0},{v}_{0}) est un point régulier de (J,G). En particulier, (D,F) est régulière si et seulement si (J,G) l’est.

Démonstration Supposons que F = G ∘ θ. Notons (u,v)\mathrel{↦}F(u,v) et (λ,μ)\mathrel{↦}G(λ,μ) les deux nappes paramétrées équivalentes, et θ(u,v) = ({θ}_{1}(u,v),{θ}_{2}(u,v)) le changement de paramétrage admissible. On a donc F(u,v) = G({θ}_{1}(u,v),{θ}_{2}(u,v)) d’où l’on déduit

\begin{eqnarray*}{ ∂F \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})& =&{ ∂{θ}_{1} \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂G \over ∂λ} ({θ}_{1}({u}_{0},{v}_{0}),{θ}_{2}({u}_{0},{v}_{0})) %& \\ & & +{ ∂{θ}_{2} \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂G \over ∂μ} ({θ}_{1}({u}_{0},{v}_{0}),{θ}_{2}({u}_{0},{v}_{0})),%& \\ { ∂F \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})& =&{ ∂{θ}_{1} \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂G \over ∂λ} ({θ}_{1}({u}_{0},{v}_{0}),{θ}_{2}({u}_{0},{v}_{0})) %& \\ & & +{ ∂{θ}_{2} \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂G \over ∂μ} ({θ}_{1}({u}_{0},{v}_{0}),{θ}_{2}({u}_{0},{v}_{0})) %& \\ \end{eqnarray*}

Faisons le produit vectoriel en notant ({λ}_{0},{μ}_{0}) = ({θ}_{1}({u}_{0},{v}_{0}),{θ}_{2}({u}_{0},{v}_{0})) ; on a

\begin{eqnarray*}{ ∂F \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}) ∧{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})&& %& \\ & =&{ ∂{θ}_{1} \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂{θ}_{2} \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂G \over ∂λ} ({λ}_{0},{μ}_{0}) ∧{ ∂G \over ∂μ} ({λ}_{0},{μ}_{0}) %& \\ & & +{ ∂{θ}_{2} \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂{θ}_{1} \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂G \over ∂μ} ({λ}_{0},{μ}_{0}) ∧{ ∂G \over ∂λ} ({λ}_{0},{μ}_{0}) %& \\ & =& \left ({ ∂{θ}_{1} \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂{θ}_{2} \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) −{ ∂{θ}_{2} \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂{θ}_{1} \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})\right )%& \\ & &{ ∂G \over ∂λ} ({λ}_{0},{μ}_{0}) ∧{ ∂G \over ∂μ} ({λ}_{0},{μ}_{0}) %& \\ & =& {j}_{θ}({u}_{0},{v}_{0}){ ∂G \over ∂λ} ({λ}_{0},{μ}_{0}) ∧{ ∂G \over ∂μ} ({λ}_{0},{μ}_{0}) %& \\ \end{eqnarray*}

où l’on désigne par {j}_{θ}(u,v) le jacobien de θ au point (u,v). Ce jacobien est non nul puisque θ est un difféomorphisme, et donc on a

{ ∂F \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}) ∧{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})\mathrel{≠}0 \mathrel{⇔}{ ∂G \over ∂λ} ({λ}_{0},{μ}_{0}) ∧{ ∂G \over ∂μ} ({λ}_{0},{μ}_{0})\mathrel{≠}0

ce qui achève la démonstration.

19.1.2 Orientation

Supposons que D est connexe. Le jacobien d’un difféomorphisme ne s’annulant pas, il doit être de signe constant sur un connexe. Ceci conduit à la définition suivante

Définition 19.1.3 Soit (D,F) et (Δ,G) deux nappes paramétrées de classe {C}^{k} qui sont {C}^{k}-équivalentes, définies sur des connexes, θ : D → Δ un difféomorphisme de classe {C}^{k} tel que F = G ∘ θ. On dit que (D,F) et (Δ,G) sont de même sens si θ possède un jacobien positif, de sens contraire si θ est à jacobien négatif.

Remarque 19.1.3 Il peut se produire qu’il existe deux difféomorphismes {θ}_{1} et {θ}_{2} tels que F = G ∘ {θ}_{1} et F = G ∘ {θ}_{2}, l’un étant à jacobien positif et l’autre à jacobien négatif. Autrement dit deux nappes paramétrées peuvent être à la fois de même sens et de sens contraire. On dit alors qu’une telle nappe paramétrée n’est pas orientable. Un exemple typique est le ruban de Moebius.

19.1.3 Plan tangent à une nappe paramétrée, vecteur normal

Définition 19.1.4 Soit Γ = (D,F) une nappe paramétrée de classe {C}^{k} et ({u}_{0},{v}_{0}) ∈ D un point régulier de Σ. On appelle plan tangent à Σ au point ({u}_{0},{v}_{0}) le plan affine F({u}_{0},{v}_{0}) +\mathop{ \mathrm{Vect}}({ ∂F \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}),{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})).

Remarque 19.1.4 Le plan tangent en un point singulier n’est pas défini.

Définition 19.1.5 Soit Σ = (D,F) une nappe paramétrée de classe {C}^{k} et ({u}_{0},{v}_{0}) ∈ D un point régulier de Σ. On appelle vecteur normal à Σ au point ({u}_{0},{v}_{0}) le vecteur { ∂F \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}) ∧{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}). On appelle normale à Σ au point ({u}_{0},{v}_{0}) la droite affine F({u}_{0},{v}_{0}) + ℝ{ ∂F \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}) ∧{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})

Remarque 19.1.5 Le plan tangent est donc le plan affine passant par le point F({u}_{0},{v}_{0}) et orthogonal au vecteur normal. On a vu précédemment que si (D,F) et (Δ,G) sont deux nappes paramétrées de classe {C}^{k} qui sont {C}^{k}-équivalentes et si θ : D → Δ, (u,v)\mathrel{↦}(λ,μ) = θ(u,v) est un difféomorphisme de classe {C}^{k} tel que F = G ∘ θ alors { ∂F \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}) ∧{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) = {j}_{θ}({u}_{0},{v}_{0}){ ∂G \over ∂λ} ({λ}_{0},{μ}_{0}) ∧{ ∂G \over ∂μ} ({λ}_{0},{μ}_{0}). On en déduit que la direction du vecteur normal est invariante par changement de paramétrage admissible, donc il en est de même de la direction du plan tangent. Comme en plus les deux plans tangents ont en commun le point F({u}_{0},{v}_{0}) = G({λ}_{0},{μ}_{0}), ils sont nécessairement confondus. Il en est bien entendu de même de la normale. D’où la proposition suivante

Proposition 19.1.3 La notion de plan tangent et de normale à une nappe paramétrée est invariante par changement de paramétrage admissible. Soit (D,F) et (Δ,G) deux nappes paramétrées de classe {C}^{k} qui sont {C}^{k}-équivalentes, θ : D → Δ un difféomorphisme de classe {C}^{k} tel que F = G ∘ θ. Alors ({u}_{0},{v}_{0}) est un point régulier de (D,F) si et seulement si θ({u}_{0},{v}_{0}) est un point régulier de (Δ,G), et dans ce cas le plan tangent (resp. la normale) à (D,f) au point ({u}_{0},{v}_{0}) est égal au plan tangent (resp. à la normale) à (Δ,G) au point θ({u}_{0},{v}_{0}).

Remarque 19.1.6 Soit (D,F) une nappe paramétrée et t\mathrel{↦}(φ(t),ψ(t)) une application d’un intervalle I de dans D. L’arc paramétré t\mathrel{↦}F(φ(t),ψ(t)) est alors un arc dont l’image est contenue dans l’image de la nappe. On dira qu’un tel arc est tracé sur la nappe. En un point régulier (sur l’arc et sur la nappe), le vecteur tangent est le vecteur { d \over dt} (F(φ(t),ψ(t))) = φ'(t){ ∂F \over ∂u} (φ(t),ψ(t)) + ψ'(t){ ∂F \over ∂v} (φ(t),ψ(t)) et il est donc contenu dans le plan tangent. On en déduit que la tangente à un arc tracé sur la nappe est contenue dans le plan tangent à la nappe au point correspondant.

19.1.4 Points réguliers et nappes cartésiennes

Le théorème suivant permet de ramener l’étude locale d’une nappe paramétrée régulière à celle d’une nappe cartésienne.

Théorème 19.1.4 Soit Σ = (D,F) une nappe paramétrée de classe {C}^{k}, ({u}_{0},{v}_{0}) un point régulier de Σ et (\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k}) une base de \vec{E} telle que \vec{k} ne soit pas tangent à la surface. Alors il existe un ouvert U ⊂ D et contenant ({u}_{0},{v}_{0}) tel que la sous nappe {Σ}_{0} = ({U}_{0},F) soit équivalente à une nappe cartésienne (x,y)\mathrel{↦}O + x\vec{ı} + y\vec{ȷ} + f(x,y)\vec{k}.

Démonstration Posons F(u,v) = O + φ(u,v)\vec{ı} + ψ(u,v)\vec{ȷ} + ω(u,v)\vec{k}. D’après les hypothèses, la famille ({ ∂F \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}),{ ∂F \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}),\vec{k}) est libre et donc le déterminant

\left |\matrix{\,{ ∂φ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂φ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})&0 \cr { ∂ψ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ψ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})&0 \cr { ∂ω \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ω \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})&1}\right |

est non nul, ce qui montre que { ∂φ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂ψ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) −{ ∂φ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}){ ∂ψ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})\mathrel{≠}0. Mais ceci n’est autre que le jacobien au point ({u}_{0},{v}_{0}) de l’application θ : D → {ℝ}^{2}, (u,v)\mathrel{↦}(φ(u,v),ψ(u,v)). En posant ({x}_{0},{y}_{0}) = θ({u}_{0},{v}_{0}) (ce sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée de F({u}_{0},{v}_{0})), le théorème d’inversion locale assure qu’il existe {U}_{0} ouvert contenant ({x}_{0},{y}_{0}) (que l’on peut bien entendu supposer inclus dans D) et {V }_{0} ouvert contenant ({x}_{0},{y}_{0}) tel que θ soit un {C}^{k} difféomorphisme de {U}_{0} sur {V }_{0}. On a bien entendu θ({θ}^{−1}(x,y)) = (x,y), soit encore φ({θ}^{−1}(x,y)) = x et ψ({θ}^{−1}(x,y)) = y. Posons alors f(x,y) = ω({θ}^{−1}(x,y)). La nappe ({U}_{0},F{|}_{{U}_{0}}) est équivalente à la nappe ({V }_{0},F ∘ {θ}^{−1}{|}_{{V }_{0}}) avec

\begin{eqnarray*} F ∘ {θ}^{−1}(x,y)& =& O + φ({θ}^{−1}(x,y))\vec{ı} + ψ({θ}^{−1}(x,y))\vec{ȷ} + ω({θ}^{−1}(x,y))\vec{k}%& \\ & =& O + x\vec{ı} + y\vec{ȷ} + f(x,y)\vec{k} %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui démontre le résultat.

19.1.5 Intersection de nappes paramétrées

Le théorème suivant assure que lorsque deux images de nappes paramétrées se coupent franchement (c’est à dire de manière non tangentielle), l’intersection des deux est localement l’image d’un arc paramétré régulier.

Théorème 19.1.5 Soit {Σ}_{1} = ({D}_{1},{F}_{1}) et {Σ}_{2} = ({D}_{2},{F}_{2}) deux nappes paramétrées régulières dont les images ont un point en commun {m}_{0} = {F}_{1}({u}_{1},{v}_{1}) = {F}_{2}({u}_{2},{v}_{2}). On suppose que les deux nappes ne sont pas tangentes en ce point commun (c’est-à-dire que le plan tangent à {Σ}_{1} en ({u}_{1},{v}_{1}) est distinct du plan tangent à {Σ}_{2} en ({u}_{2},{v}_{2})). Alors l’intersection des deux nappes est localement l’image d’un arc paramétré, c’est-à-dire qu’il existe {U}_{1} ouvert contenant ({u}_{1},{v}_{1}) et {U}_{2} ouvert contenant ({u}_{2},{v}_{2}) tels que {F}_{1}({U}_{1}) ∩ {F}_{2}({U}_{2}) soit l’image d’un arc paramétré régulier.

Démonstration Choisissons un repère (O,\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k}) tel que \vec{k} n’appartienne pas à la réunion des directions des deux plans tangents en {m}_{0} à {Σ}_{1} et {Σ}_{2}. La propriété à démontrer ne concernant que les images, elle est invariante par changement de paramétrage ; de plus c’est une propriété locale puisqu’on a le choix des ouverts {U}_{1} et {U}_{2}. Le théorème précédent nous permet de supposer que les deux nappes sont des nappes cartésiennes {Σ}_{1} : (x,y)\mathrel{↦}O + x\vec{ı} + y\vec{ȷ} + {f}_{1}(x,y)\vec{k} et {Σ}_{2} : (x,y)\mathrel{↦}O + x\vec{ı} + y\vec{ȷ} + {f}_{2}(x,y)\vec{k} (avec le même (x,y) qui représente l’abscisse et l’ordonnée du point). On a alors {m}_{0} = O + {x}_{0}\vec{ı} + {y}_{0}\vec{ȷ} + {f}_{1}({x}_{0},{y}_{0})\vec{k} = O + {x}_{0}\vec{ı} + {y}_{0}\vec{ȷ} + {f}_{2}({x}_{0},{y}_{0})\vec{k}, si bien que {f}_{1}({x}_{0},{y}_{0}) = {f}_{2}({x}_{0},{y}_{0}). L’intersection des images des deux nappes est alors \{O + x\vec{ı} + y\vec{ȷ} + z\vec{k}\mathrel{∣}z = {f}_{1}(x,y) = {f}_{2}(x,y)\}. En introduisant une structure euclidienne qui rende la base (\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k}) orthonormée, le vecteur normal en {m}_{0} à {Σ}_{1} est le vecteur

(\vec{i} +{ ∂{f}_{1} \over ∂x} ({x}_{0},{y}_{0})\vec{k}) ∧ (\vec{j} +{ ∂{f}_{1} \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0})\vec{k})

soit encore

−{ ∂{f}_{1} \over ∂x} ({x}_{0},{y}_{0})\vec{ı} −{ ∂{f}_{1} \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0})\vec{ȷ} + \vec{k}

et de même le vecteur normal {m}_{0} à {Σ}_{1} est le vecteur −{ ∂{f}_{2} \over ∂x} ({x}_{0},{y}_{0})\vec{ı} −{ ∂{f}_{2} \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0})\vec{ȷ} + \vec{k}. Comme ces deux vecteurs doivent être distincts, on peut supposer par exemple que { ∂{f}_{1} \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0})\mathrel{≠}{ ∂{f}_{2} \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0}). Posons alors g(x,y) = {f}_{1}(x,y) − {f}_{2}(x,y). On a donc g({x}_{0},{y}_{0}) = 0 et { ∂g \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0})\mathrel{≠}0. Le théorème des fonctions implicites garantit qu’il existe {I}_{0} intervalle ouvert contenant {x}_{0} et {J}_{0} intervalle ouvert contenant {y}_{0} tel que, pour tout x ∈ {I}_{0}, il existe un unique y ∈ {J}_{0} vérifiant g(x,y) = 0, autrement dit {f}_{1}(x,y) = {f}_{2}(x,y). Si on note y = φ(x), alors (quitte à restreindre {I}_{0}), φ est de classe {C}^{k}. On en déduit que

\begin{eqnarray*}{ F}_{1}({I}_{0} × {J}_{0}) ∩ {F}_{1}({I}_{0} × {J}_{0})&& %& \\ & =& \{O + x\vec{ı} + y\vec{ȷ} + z\vec{k}\mathrel{∣}x ∈ {I}_{0}, y ∈ {J}_{0}, z = {f}_{1}(x,y) = {f}_{2}(x,y)\} %& \\ & =& \{O + x\vec{ı} + y\vec{ȷ} + z\vec{k}\mathrel{∣}x ∈ {I}_{0}, y ∈ {J}_{0}, g(x,y) = 0, z = {f}_{1}(x,y)\}%& \\ & =& \{O + x\vec{ı} + y\vec{ȷ} + z\vec{k}\mathrel{∣}x ∈ {I}_{0}, y ∈ {J}_{0}, y = φ(x), z = {f}_{1}(x,y)\} %& \\ & =& \{O + x\vec{ı} + φ(x)\vec{ȷ} + {f}_{1}(x,φ(x))\vec{k}\mathrel{∣}x ∈ {I}_{0}\} %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre que l’intersection est l’image de l’arc paramétré x\mathrel{↦}O + x\vec{ı} + φ(x)\vec{ȷ} + {f}_{1}(x,φ(x))\vec{k} (qui est bien entendu régulier car le vecteur dérivée a 1 pour abscisse).

19.1.6 Intersection d’une nappe et de son plan tangent

Le théorème d’intersection de deux nappes paramétrées régulières non tangentes s’applique en particulier à une nappe et à un plan. Soit Σ = (D,F) une nappe régulière de classe {C}^{k}, {m}_{0} = F({u}_{0},{v}_{0}) un point de l’image et Π un plan affine contenant {m}_{0}. Si Π n’est pas tangent à Σ en {m}_{0}, l’intersection de Π et de la nappe est localement l’image d’un arc paramétré régulier. Nous allons voir qu’il n’en est plus du tout de même dans le cas où le plan Π est le plan tangent à la surface.

Soit (0,\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k}) un repère de E. Posons F(u,v) = O + φ(u,v)\vec{ı} + ψ(u,v)\vec{ȷ} + ω(u,v)\vec{k} et soit ({u}_{0},{v}_{0}) ∈ D. Le plan tangent Π en ({u}_{0},{v}_{0}) a pour équation

\left |\matrix{\,x − φ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂φ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂φ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) \cr y − ψ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ψ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ψ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) \cr z − ω({x}_{0},{y}_{0})&{ ∂ω \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ω \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})}\right | = 0

et la position de F(u,v) par rapport à Π est donnée par le signe de la fonction

Δ(u,v) = \left |\matrix{\,φ(u,v) − φ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂φ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂φ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) \cr ψ(u,v) − ψ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ψ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ψ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) \cr ω(u,v) − ω({x}_{0},{y}_{0})&{ ∂ω \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0})&{ ∂ω \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0})}\right |

Supposons que la nappe est de classe {C}^{2} ; alors Δ est aussi de classe {C}^{2} et on a Δ({u}_{0},{v}_{0}) = 0 (la première colonne du déterminant est nulle), { ∂Δ \over ∂u} ({u}_{0},{v}_{0}) = 0 (la première et la deuxième colonne du déterminant sont égales) et { ∂Δ \over ∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) = 0 (la première et la troisième colonne du déterminant sont égales).

On peut donc appliquer à Δ la théorie des extremums de fonctions de deux variables. En utilisant les notations de Monge {r}_{0} ={ {∂}^{2}Δ \over ∂{u}^{2}} ({u}_{0},{v}_{0}), {s}_{0} ={ {∂}^{2}Δ \over ∂u∂v} ({u}_{0},{v}_{0}) et {t}_{0} ={ {∂}^{2}Δ \over ∂{v}^{2}} ({u}_{0},{v}_{0}), on a trois cas possibles

Premier cas : {s}_{0}^{2} − {r}_{0}{t}_{0} < 0 ; alors on sait que la fonction Δ présente au point ({u}_{0},{v}_{0}) un extremum local strict ; en particulier, il existe {U}_{0} ouvert contenant ({u}_{0},{v}_{0}) tel que Δ soit de signe constant sur {U}_{0} ∖\{({u}_{0},{v}_{0})\} ; donc localement, la nappe reste d’un même coté de son plan tangent et l’intersection des deux est réduite au point {m}_{0} ; on dit alors que le point ({u}_{0},{v}_{0}) est un point elliptique de la nappe.

Deuxième cas : {s}_{0}^{2} − {r}_{0}{t}_{0} > 0 ; alors on sait que la fonction Δ ne présente pas au point ({u}_{0},{v}_{0}) d’extremum local ; pour tout {U}_{0} ouvert contenant ({u}_{0},{v}_{0}), il existe des points de {U}_{0}Δ est strictement positive et des points de {U}_{0}Δ est strictement négative ; donc au voisinage de {m}_{0} la nappe a des points de part et d’autre de son plan tangent ; on dit alors que le point ({u}_{0},{v}_{0}) est un point hyperbolique de la nappe.

Troisième cas : {s}_{0}^{2} − {r}_{0}{t}_{0} = 0 ; alors on ne sait pas étudier ainsi le signe de Δ ; on dit alors que le point ({u}_{0},{v}_{0}) est un point parabolique de la nappe.

Remarque 19.1.7 La suite de cette section ne fait pas partie du programme des classes préparatoires.

Une étude plus fine de la situation peut consister à étudier les lignes de niveau de la nappe paramétrée dans la direction du plan tangent, c’est-à-dire l’intersection de la nappe avec des plans parallèles au plan tangent. Pour faire cette étude, on peut utiliser un repère (O,\vec{ı},\vec{ȷ},\vec{k}) tel que O = {m}_{0}, \vec{ı} et \vec{ȷ} sont dans le plan tangent et \vec{k} n’appartient pas au plan tangent. Alors localement, la nappe est équivalente à une nappe cartésienne (x,y)\mathrel{↦}O + x\vec{ı} + y\vec{ȷ} + f(x,y)\vec{k}. Le fait que \vec{ı} et \vec{ȷ} sont dans le plan tangent va se traduire par { ∂f \over ∂x} ({x}_{0},{y}_{0}) ={ ∂f \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0}) = 0. En utilisant les notations de Monge {r}_{0} ={ {∂}^{2}f \over ∂{x}^{2}} ({x}_{0},{y}_{0}), {s}_{0} ={ {∂}^{2}f \over ∂x∂y} ({x}_{0},{y}_{0}) et {t}_{0} ={ {∂}^{2}f \over ∂{y}^{2}} ({x}_{0},{y}_{0}), quitte à prendre une base de Sylvester dans le plan \mathop{\mathrm{Vect}}(\vec{ı},\vec{ȷ}) pour la forme quadratique différentielle seconde {r}_{0}{x}^{2} + 2{s}_{0}xy + {t}_{0}{y}^{2}, on peut même supposer que {s}_{0} = 0 et que {r}_{0},{t}_{0} ∈\{− 1,0,1\}. Le discriminant de cette forme quadratique différentielle seconde est alors − {r}_{0}{t}_{0}. Supposons que le point n’est pas parabolique. On a donc {r}_{0}{t}_{0}\mathrel{≠}0. Appelons {ε}_{1} le signe de {r}_{0} et {ε}_{2} le signe de {t}_{0}. On a :

Lemme 19.1.6 (Morse). Sous ces hypothèses, il existe un ouvert {U}_{0} contenant ({x}_{0},{y}_{0}), un ouvert {V }_{0} contenant (0,0) et un difféomorphisme θ : {V }_{0} → {U}_{0} tel que θ(0,0) = ({x}_{0},{y}_{0}) et

\mathop{∀}(X,Y ) ∈ {V }_{0}, f(θ(X,Y )) = {ε}_{1}{X}^{2} + {ε}_{ 2}{Y }^{2}

Démonstration A une translation près, nous pouvons supposer que {x}_{0} = {y}_{0} = 0. Appliquons alors la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 2. On a donc

\begin{eqnarray*} f(x,y) = f(0,0) + x{ ∂f \over ∂x} (0,0) + y{ ∂f \over ∂y} (0,0)&& %& \\ & +& {\mathop{∫ } }_{0}^{1}(1 − t)\left ({x}^{2}{ {∂}^{2}f \over ∂{x}^{2}} (tx,ty) + 2xy{ {∂}^{2}f \over ∂x∂y} (tx,ty) + {y}^{2}{ {∂}^{2}f \over ∂{y}^{2}} (tx,ty)\right ) dt%& \\ & =& {x}^{2}u(x,y) + 2xyv(x,y) + {y}^{2}w(x,y) %& \\ \end{eqnarray*}

compte tenu de f(0,0) ={ ∂f \over ∂x} ({x}_{0},{y}_{0}) ={ ∂f \over ∂y} ({x}_{0},{y}_{0}) = 0, avec des fonctions continues (théorème sur les intégrales dépendant d’un paramètre)

\begin{eqnarray*} u(x,y)& =& {\mathop{∫ } }_{0}^{1}(1 − t){ {∂}^{2}f \over ∂{x}^{2}} (tx,ty) dt %& \\ v(x,y)& =& {\mathop{∫ } }_{0}^{1}(1 − t){ {∂}^{2}f \over ∂x∂y} (tx,ty) dt%& \\ w(x,y)& =& {\mathop{∫ } }_{0}^{1}(1 − t){ {∂}^{2}f \over ∂{y}^{2}} (tx,ty) dt %& \\ \end{eqnarray*}

On a en particulier u(0,0) = {r}_{0}, v(0,0) = {s}_{0} = 0, w(0,0) = {t}_{0}. Posons D = \left (\matrix{\,{r}_{0}&{s}_{0} \cr {s}_{0}&{t}_{0}}\right ) = \left (\matrix{\,{r}_{0}&0 \cr 0 &{t}_{0}}\right ). L’application T qui à une matrice triangulaire Y associe la matrice {}^{t}Y DY a pour différentielle au point Y l’application H{\mathrel{↦}}^{t}HDY {+ }^{t}Y DH et donc dT(\mathrm{Id}).H {= }^{t}HD + DH. On vérifie immédiatement que cette application linéaire dT(\mathrm{Id}) est bijective de l’espace vectoriel des matrices triangulaires supérieures sur l’espace vectoriel des matrices symétriques. On en déduit par le théorème d’inversion locale que T est un difféomorphisme local d’un voisinage de l’identité (dans l’espace vectoriel des matrices triangulaires) sur un voisinage W de T(\mathrm{Id}) = D dans l’espace vectoriel des matrices symétriques. Or u,v et w sont continues en (0,0). Donc il existe {U}_{1} ouvert contenant (0,0) tel que pour (x,y) ∈ {U}_{1} on ait \left (\matrix{\,u(x,y)&v(x,y) \cr v(x,y)&w(x,y)}\right ) ∈ W. Posons alors C(x,y) = {T}^{−1}(\left (\matrix{\,u(x,y)&v(x,y) \cr v(x,y)&w(x,y)}\right ). Alors C(x,y) est une matrice triangulaire, qui dépend de fa\c{c}on {C}^{1} de (x,y) telle que

\left (\matrix{\,u(x,y)&v(x,y) \cr v(x,y)&w(x,y)}\right ) {= }^{t}C(x,y)DC(x,y)

et C(0,0) = {T}^{−1}(D) = \mathrm{Id}. On a alors

\begin{eqnarray*} f(x,y)& =& {x}^{2}u(x,y) + 2xyv(x,y) + {y}^{2}w(x,y)%& \\ & =& \left (\matrix{\,x&y}\right )\left (\matrix{\,u(x,y)&v(x,y) \cr v(x,y)&w(x,y)}\right )\left (\matrix{\,x \cr y}\right ) %& \\ & =&{ \left (\matrix{\,x&y \cr }\right )}^{t}C(x,y)DC(x,y)\left (\matrix{\,x \cr y}\right ) %& \\ { & =& }^{t}F(x,y)DF(x,y) %& \\ \end{eqnarray*}

avec F(x,y) = C(x,y)\left (\matrix{\,x \cr y}\right ). On a alors { ∂F \over ∂x} (x,y) ={ ∂C \over ∂x} (x,y)\left (\matrix{\,x \cr y}\right ) + C(x,y)\left (\matrix{\,1 \cr 0}\right ) et donc { ∂F \over ∂x} (0,0) = C(0,0)\left (\matrix{\,1 \cr 0}\right ) = \left (\matrix{\,1 \cr 0}\right ). De même { ∂F \over ∂x} (0,0) = C(0,0)\left (\matrix{\,0 \cr 1}\right ) = \left (\matrix{\,0 \cr 1}\right ). Donc la différentielle de F en (0,0) est l’identité de {ℝ}^{2}. Une nouvelle application du théorème d’inversion locale assure que F est un difféomorphisme d’un ouvert {U}_{0} contenant (0,0) sur un ouvert {V }_{0} contenant (0,0). Appelons θ le difféomorphisme réciproque. On a alors

\begin{eqnarray*} f ∘ θ(X,Y ){& =& }^{t}F(θ(X,Y ))DF(θ(X,Y )) = \left (\matrix{\,X&Y \cr }\right )D\left (\matrix{\,X\cr Y}\right )%& \\ & =& {r}_{0}{X}^{2} + {t}_{ 0}{Y }^{2} %& \\ \end{eqnarray*}

Il suffit ensuite de changer \sqrt{|{r}_{0 } |}X en X' et \sqrt{ |{t}_{0}|}Y en Y ' pour obtenir le résultat souhaité.

Les lignes de niveau de la nappe dans la direction du plan tangent sont donc les courbes f(x,y) = k et elles sont localement difféomorphes aux courbes {ε}_{1}{X}^{2} + {ε}_{2}{Y }^{2} au voisinage de (0,0). Si le point ({x}_{0},{y}_{0}) est un point elliptique, {ε}_{1} et {ε}_{2} sont de même signe (que l’on peut supposer par exemple positif). On voit que l’intersection est vide pour k < 0, réduite à un point pour k = 0 (c’est le plan tangent lui même), difféomorphe à une ellipse pour k > 0 (et suffisamment petit). Par contre, si ({x}_{0},{y}_{0}) est un point hyperbolique, {ε}_{1} et {ε}_{2} sont de signe contraire et l’intersection est difféomorphe à une hyperbole pour k\mathrel{≠}0 (suffisamment petit) et à la réunion de deux droites pour k = 0 ; l’intersection avec le plan tangent est donc localement la réunion de deux courbes passant par le point de contact ; ces deux courbes séparent les lignes de niveau correspondant aux k > 0 des lignes de niveau correspondant aux k < 0. Voici des exemples de lignes de niveau au voisinage de points elliptiques, hyperboliques ou paraboliques.