2.4 Dualité : approche restreinte

2.4.1 Formes linéaires, dual, formes coordonnées

Définition 2.4.1 Soit E un K-espace vectoriel . On appelle forme linéaire sur E toute application linéaire de E dans K. On appelle dual de E le K-espace vectoriel {E}^{∗} = L(E,K).

Remarque 2.4.1 Soit {({e}_{i})}_{i∈I} une base de E et {i}_{0} ∈ I. Tout vecteur x de E s’écrit de manière unique sous la forme x ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i∈I}{x}_{i}{e}_{i}. L’application {φ}_{{i}_{0}} : x\mathrel{↦}{x}_{{i}_{0}} est clairement une forme linéaire sur E, appelée forme linéaire coordonnée d’indice {i}_{0} dans la base {({e}_{i})}_{i∈I}. Elle est définie par {φ}_{{i}_{0}}({e}_{{i}_{0}}) = 1 et {φ}_{{i}_{0}}({e}_{i}) = 0 si i\mathrel{≠}{i}_{0}, soit encore par {φ}_{{i}_{0}}({e}_{i}) = {δ}_{{i}_{0}}^{i}.

Proposition 2.4.1 Soit E un K-espace vectoriel et x ∈ E, x\mathrel{≠}0. Alors il existe une forme linéaire φ sur E telle que φ(x) = 1.

Démonstration Le vecteur x forme à lui tout seul une famille libre que l’on peut compléter en une base {({e}_{i})}_{i∈I} de E avec x = {e}_{{i}_{0}}. Soit φ la forme linéaire qui associe à tout vecteur de E sa {i}_{0}-ième coordonnée dans cette base. On a bien entendu φ(x) = 1.

Remarque 2.4.2 Le résultat précédent peut encore s’interpréter sous la forme : si x ∈ E,

\mathop{∀}φ ∈ {E}^{∗}, φ(x) = 0\quad \mathrel{⇔} x = 0

2.4.2 Base duale d’un espace vectoriel de dimension finie

Définition 2.4.2 Soit E un espace vectoriel de dimension finie, ℰ = ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) une base de E. Pour i ∈ [1,n], soit {φ}_{i} la forme linéaire coordonnée d’indice i dans la base . Alors {ℰ}^{∗} = ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}) est une base du dual {E}^{∗}, appelée la base duale de la base . Elle est caractérisée par les relations \mathop{∀}i,j ∈ [1,n], {φ}_{i}({e}_{j}) = {δ}_{i}^{j}.

Démonstration Tout d’abord, montrons que {ℰ}^{∗} est une famille libre en utilisant les relations de définition des formes coordonnées

\mathop{∀}i,j ∈ [1,n], {φ}_{i}({e}_{j}) = {δ}_{i}^{j}

Soit {λ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{λ}_{n} ∈ K tels que {λ}_{1}{φ}_{1} + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}{φ}_{n} = 0 ; on a alors, pout tout i ∈ [1,n]

0 = 0({e}_{i}) = {λ}_{1}{φ}_{1}({e}_{i}) + \mathop{\mathop{…}} + {λ}_{n}{φ}_{n}({e}_{i}) = {λ}_{i}

ce qui montre bien que la famille est libre. Pour montrer qu’elle est génératrice, soit φ ∈ E et considérons ψ ={\mathop{ \mathop{∑ }} }_{i=1}^{n}φ({e}_{i}){φ}_{i} ; on a alors pour tout j ∈ [1,n],

ψ({e}_{j}) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}φ({e}_{ i}){φ}_{i}({e}_{j}) ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}φ({e}_{ i}){δ}_{i}^{j} = φ({e}_{ j})

Les deux applications linéaires φ et ψ coïncidant sur une base, sont égales, ce qui montre que la famille est génératrice.

Remarque 2.4.3 Attention : la dimension finie est essentielle ; elle garantit qu’il n’y a qu’un nombre fini de φ({e}_{i}) non nuls et permet de considérer la somme {\mathop{\mathop{∑ }} }_{i∈I}φ({e}_{i}){φ}_{i} ; en dimension infinie, {ℰ}^{∗} n’est pas une base de {E}^{∗}, car elle n’est pas génératrice (considérer la forme linéaire φ qui à tout {e}_{i} associe 1).

Corollaire 2.4.2 La dimension de l’espace dual d’un espace vectoriel de dimension finie est égale à la dimension de l’espace.

2.4.3 Orthogonalité 1

Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}) une famille d’éléments de E. Nous pouvons associer à cette famille l’application u : {E}^{∗}→ {K}^{p}, définie par u(φ) = (φ({e}_{1}),\mathop{\mathop{…}},φ({e}_{p})). On vérifie immédiatement que u est linéaire. Son noyau est constitué des φ ∈ {E}^{∗} vérifiant \mathop{∀}i ∈ [1,p], φ({e}_{i}) = 0.

Proposition 2.4.3 Si ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}) est une base de E, alors u est un isomorphisme d’espace vectoriel de {E}^{∗} sur {K}^{p}.

Démonstration En effet dans ce cas, u envoie la base duale {ℰ}^{∗} sur la base canonique de {K}^{p} ; c’est donc un isomorphisme.

Proposition 2.4.4 La famille ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}) est libre si et seulement si u est surjective. Sous ces conditions, \mathop{\mathrm{Ker}}u est de codimension p et

\mathop{∀}x ∈ E,\quad (x ∈\mathop{\mathrm{Vect}}({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}) \mathrel{⇔} \mathop{∀}φ ∈\mathop{\mathrm{Ker}}u, φ(x) = 0)

Démonstration Si u est surjective, notons ({ε}_{1},\mathop{\mathop{…}},{ε}_{p}) la base canonique de {K}^{p} et soit {φ}_{i} ∈ {E}^{∗} tel que u({φ}_{i}) = {ε}_{i} ; on a donc \mathop{∀}i,j ∈ [1,p], {φ}_{i}({e}_{j}) = {δ}_{i}^{j} ce qui implique évidemment que la famille est libre : si {\mathop{\mathop{∑ }} }_{j=1}^{p}{λ}_{j}{e}_{j} = 0, on a pour tout i ∈ [1,p]

0 = {φ}_{i}(0) = {φ}_{i}({\mathop{∑ }}_{j=1}^{p}{λ}_{ j}{e}_{j}) ={ \mathop{∑ }}_{j=1}^{p}{λ}_{ j}{φ}_{i}({e}_{j}) = {λ}_{i}

Inversement, si la famille est libre, on peut compléter la famille ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}) en une base ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) de E et soit ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}) la base duale. On a alors \mathop{∀}i,j ∈ [1,p], {φ}_{i}({e}_{j}) = {δ}_{i}^{j}, soit \mathop{∀}i ∈ [1,p], u({φ}_{i}) = {ε}_{i}. L’image de u contient une base de {K}^{p}, c’est donc {K}^{p} et u est surjective. Dans ces conditions, on peut appliquer le théorème du rang, et donc \mathop{dim} \mathop{\mathrm{Ker}}u =\mathop{ dim} {E}^{∗}− p =\mathop{ dim} E − p.

Soit φ ∈\mathop{\mathrm{Ker}}u ; alors \mathop{∀}i ∈ [1,p], φ({e}_{i}) = 0 et donc \mathop{∀}x ∈\mathop{\mathrm{Vect}}({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}), φ(x) = 0. Inversement, supposons que x\mathrel{∉}\mathop{\mathrm{Vect}}({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}) ; alors la famille ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p},x) est libre, on peut la compléter en une base de E et la forme coordonnée suivant x dans cette base, soit φ, appartient à \mathop{\mathrm{Ker}}u alors que φ(x) = 1. On a donc bien l’équivalence

\mathop{∀}x ∈ E,\quad (x ∈\mathop{\mathrm{Vect}}({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}) \mathrel{⇔} \mathop{∀}φ ∈\mathop{\mathrm{Ker}}u, φ(x) = 0)

Remarque 2.4.4 Application : Soit F un sous-espace vectoriel de E, ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}) une base de F, u : {E}^{∗}→ {K}^{p} l’application linéaire associée, ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n−p}) une base de \mathop{\mathrm{Ker}}u ; alors x ∈ F \mathrel{⇔} \mathop{∀}i ∈ [1,n − p], {φ}_{i}(x) = 0. On dit encore que F est défini par le système d’équations linéaires {φ}_{1}(x) = 0,\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n−p}(x) = 0.

2.4.4 Hyperplans

Définition 2.4.3 On appelle hyperplan de E tout sous-espace vectoriel H de E vérifiant les conditions équivalentes

  • (i) \mathop{dim} E∕H = 1
  • (ii) \mathop{∃}f ∈ E ∖\{0\}, H =\mathop{ \mathrm{Ker}}f
  • (iii) H admet une droite comme supplémentaire.

Démonstration

  • (i)(ii) : prendre \overline{e} une base de E∕H et écrire π(x) = f(x)\overline{e}.
  • (ii) (iii) : on prend a ∈ E tel que f(a)\mathrel{≠}0. Tout élément x s’écrit de manière unique sous la forme x = (x −{ f(x) \over f(a)} a) +{ f(x) \over f(a)} a avec x −{ f(x) \over f(a)} a ∈\mathop{\mathrm{Ker}}f, soit E =\mathop{ \mathrm{Ker}}f ⊕ Ka.
  • (iii)(i) : tout supplémentaire de H est isomorphe à E∕H.

Théorème 2.4.5 Soit H un hyperplan de E. Alors deux formes linéaires nulles sur H sont proportionnelles.

Démonstration Si E = H ⊕ Ka et H =\mathop{ \mathrm{Ker}}f, soit g ∈ {E}^{∗} nulle sur H. Alors g et { g(a) \over f(a)} f coïncident sur H et sur Ka, donc sont égales.

2.4.5 Orthogonalité 2

Remarque 2.4.5 Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie, ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}) une famille d’éléments de {E}^{∗}. Nous pouvons associer à cette famille l’application v : E → {K}^{p}, définie par v(x) = ({φ}_{1}(x),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}(x)). On vérifie immédiatement que v est linéaire. Son noyau est constitué de l’intersection des \mathop{\mathrm{Ker}}{φ}_{i} (en général des hyperplans, sauf si la forme linéaire est nulle).

Proposition 2.4.6 Si ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}) est une base de {E}^{∗}, alors v est un isomorphisme d’espace vectoriel de {E}^{∗} sur {K}^{p}.

Démonstration En effet dans ce cas, v est injective car

\begin{eqnarray*} v(x) = 0& \mathrel{⇔} & \mathop{∀}i ∈ [1,p], {φ}_{i}(x) = 0%& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}φ ∈ {E}^{∗}, φ(x) = 0 %& \\ & \mathrel{⇔} & x = 0 %& \\ \end{eqnarray*}

Comme \mathop{dim} E =\mathop{ dim} {E}^{∗} = p =\mathop{ dim} {K}^{p}, il s’agit d’un isomorphisme.

Théorème 2.4.7 Soit ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}) une base de {E}^{∗} ; alors il existe une unique base ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}) de E dont ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}) soit la base duale.

Démonstration On a en effet \mathop{∀}i ∈ [1,p],{φ}_{i}({e}_{j}) = {δ}_{i}^{j} \mathrel{⇔} v({e}_{j}) = {ε}_{j} (j-ième vecteur de la base canonique). La famille ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{p}) est donc l’image de la base canonique de {K}^{p} par l’isomorphisme {v}^{−1}.

Proposition 2.4.8 La famille ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}) est libre si et seulement si v est surjective. Sous ces conditions, \mathop{\mathrm{Ker}}v est de codimension p et \mathop{∀}φ ∈ {E}^{∗},

(φ ∈\mathop{\mathrm{Vect}}({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}) \mathrel{⇔} \mathop{∀}x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}v, φ(x) = 0)

Démonstration Si v est surjective, notons ({ε}_{1},\mathop{\mathop{…}},{ε}_{p}) la base canonique de {K}^{p} et soit {e}_{i} ∈ E tel que v({e}_{i}) = {ε}_{i} ; on a donc \mathop{∀}i,j ∈ [1,p], {φ}_{i}({e}_{j}) = {δ}_{i}^{j} ce qui implique évidemment que la famille est libre : si {\mathop{\mathop{∑ }} }_{j=1}^{p}{λ}_{j}{φ}_{j} = 0, on a pour tout i ∈ [1,p]

0 = 0({e}_{i}) ={ \mathop{∑ }}_{j=1}^{p}{λ}_{ j}{φ}_{j}({e}_{i}) ={ \mathop{∑ }}_{j=1}^{p}{λ}_{ j}{φ}_{j}({e}_{i}) = {λ}_{i}

Inversement, si la famille est libre, on peut compléter la famille ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}) en une base ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}) de {E}^{∗} qui est la base duale de la base ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) de E. On a alors \mathop{∀}i,j ∈ [1,p], {φ}_{i}({e}_{j}) = {δ}_{i}^{j}, soit \mathop{∀}i ∈ [1,p], v({e}_{i}) = {ε}_{i}. L’image de v contient une base de {K}^{p}, c’est donc {K}^{p} et v est surjective. Dans ces conditions, on peut appliquer le théorème du rang, et donc \mathop{dim} \mathop{\mathrm{Ker}}v =\mathop{ dim} E − p.

Soit x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}v ; alors \mathop{∀}i ∈ [1,p], {φ}_{i}(x) = 0 et donc \mathop{∀}φ ∈\mathop{\mathrm{Vect}}({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}), φ(x) = 0. Inversement, supposons que φ\mathrel{∉}\mathop{\mathrm{Vect}}({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}) ; alors la famille ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p},φ) est libre, on peut la compléter en une base de {E}^{∗} qui est la base duale d’une base ({e}_{1},\mathop{\mathop{…}},{e}_{n}) de E ; on a alors {e}_{p+1} ∈\mathop{\mathrm{Ker}}v et φ({e}_{p+1}) = 1. On a donc bien l’équivalence

\begin{eqnarray*} \mathop{∀}φ ∈ {E}^{∗},\quad (φ ∈\mathop{\mathrm{Vect}}({φ}_{ 1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p})&&%& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}v, φ(x) = 0)%& \\ \end{eqnarray*}

Remarque 2.4.6 Application : soit {H}_{1},\mathop{\mathop{…}},{H}_{p} des hyperplans de E d’équations respectives {φ}_{1}(x) = 0,\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}(x) = 0 ; soit r =\mathop{ \mathrm{rg}}({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}). Quitte à renuméroter les {H}_{i}, on peut supposer que ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{r}) est une base de \mathop{\mathrm{Vect}}({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p}). On a alors, si v : E → {K}^{r} est l’application linéaire associée à cette famille,

\begin{eqnarray*} x ∈{\mathop{⋂ }}_{i=1}^{p}{H}_{ i}& \mathrel{⇔} & \mathop{∀}i ∈ [1,p], {φ}_{i}(x) = 0%& \\ & \mathrel{⇔} & \mathop{∀}i ∈ [1,r], {φ}_{i}(x) = 0%& \\ & \mathrel{⇔} & x ∈\mathop{\mathrm{Ker}}v %& \\ \end{eqnarray*}

ce qui montre que {\mathop{\mathop{⋂ }} }_{i=1}^{p}{H}_{i} est un sous-espace vectoriel de dimension \mathop{dim} E − r. Soit alors H un hyperplan de E d’équation φ(x) = 0. On a alors

\begin{eqnarray*} {\mathop{⋂ }}_{i=1}^{p}{H}_{ i} ⊂ H& \mathrel{⇔} & \mathop{\mathrm{Ker}}v ⊂\mathop{\mathrm{Ker}}φ %& \\ & \mathrel{⇔} & φ ∈\mathop{\mathrm{Vect}}({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{r}) =\mathop{ \mathrm{Vect}}({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{p})%& \\ \end{eqnarray*}

2.4.6 Application : polynômes d’interpolation de Lagrange

Théorème 2.4.9 Soit K un corps commutatif, {x}_{1},\mathop{\mathop{…}},{x}_{n} ∈ K distincts. Soit {a}_{1},\mathop{\mathop{…}},{a}_{n} ∈ K. Alors il existe un unique polynôme P ∈ K[X] tel que \mathop{deg} P ≤ n − 1 et \mathop{∀}i ∈ [1,n], P({x}_{i}) = {a}_{i}.

Démonstration Soit {φ}_{i} : {K}_{n−1}[X] → K, P\mathrel{↦}P({x}_{i}) (où {K}_{n−1}[X] = \{P ∈ K[X]\mathrel{∣}\mathop{deg} P ≤ n − 1\}). Les {φ}_{i} sont des formes linéaires sur l’espace vectoriel {K}_{n−1}[X] de dimension n ; soit v : {K}_{n−1}[X] → {K}^{n}, P\mathrel{↦}({φ}_{1}(P),\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}(P)) = (P({x}_{1}),\mathop{\mathop{…}},P({x}_{n})). Alors v est une application linéaire injective car

\begin{eqnarray*} v(P) = 0& \mathrel{⇔} & \mathop{∀}i ∈ [1,n], P({x}_{i}) = 0 %& \\ & \mathrel{⇔} & {\mathop{∏ }}_{i=1}^{n}(X − {x}_{ i})\mathrel{∣}P(X) \mathrel{⇔} P = 0%& \\ \end{eqnarray*}

pour des raisons de degré évidentes. On en déduit que v est un isomorphisme d’espaces vectoriels, ce qui démontre le résultat.

Remarque 2.4.7 Comme v est surjective, la famille ({φ}_{1},\mathop{\mathop{…}},{φ}_{n}) est libre ; comme son cardinal est n, c’est une base du dual {K}_{n−1}{[X]}^{∗}. Cherchons la base dont c’est la duale, c’est-à-dire des polynômes {P}_{i} vérifiant {P}_{i}({x}_{j}) = {δ}_{i}^{j} ; un tel polynôme doit être divisible par {\mathop{\mathop{∏ }} }_{j\mathrel{≠}i}(X − {x}_{j}). Pour des raisons de degrés, il doit lui être proportionnel et le fait que {P}_{i}({x}_{i}) = 1 nécessite

{P}_{i}(X) ={ {\mathop{∏ }}_{j\mathrel{≠}i}(X − {x}_{j}) \over {\mathop{∏ }}_{j\mathrel{≠}i}({x}_{i} − {x}_{j})}

On a alors

\mathop{∀}P ∈ {K}_{n−1}[X], P ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}{φ}_{ i}(P){P}_{i} ={ \mathop{∑ }}_{i=1}^{n}P({x}_{ i}){ {\mathop{∏ }}_{j\mathrel{≠}i}(X − {x}_{j}) \over {\mathop{∏ }}_{j\mathrel{≠}i}({x}_{i} − {x}_{j})}