Avant-propos

Pour Roger Godement et Edmond Ramis, mes maîtres

Publier un cours de mathématiques aujourd’hui peut sembler une gageure. Après avoir longtemps reculé devant ce défi, j’ai profité des récents changements de programme en classes préparatoires pour remettre mes notes au propre. Je n’ai pu résister alors à l’envie de mettre ce travail à la disposition de la communauté enseignante et étudiante.

Le contenu Ce cours est volontairement concis. Mon objectif est d’offrir au lecteur, en un seul volume, la totalité (et même plus) de ce que l’on peut enseigner en un an à un bon étudiant de classes préparatoires ou de premier cycle universitaire. Il ne s’agit aucunement d’un ouvrage destiné à l’auto-apprentissage des mathématiques et le lecteur n’y trouvera aucun exercice et très peu d’exemples développés. Par contre toutes les définitions et tous les résultats du cours y figurent, avec presque toujours des démonstrations complètes. Il s’agit donc d’un ouvrage qui peut servir d’instrument de révision et de référence tout au long de l’année. L’étudiant s’y reportera pour retrouver sous une autre forme l’enseignement magistral qu’il a déjà suivi, pour approfondir cet enseignement par des compléments qui font souvent l’objet de questions à l’écrit ou à l’oral, ou pour effectuer des révisions rapides avant les contrôles, examens et concours. Il ne manque pas, chez tous les éditeurs, de livres d’exercices et de problèmes pour permettre au lecteur de mettre en oeuvre toute sa sagacité et ses capacités de recherche et pour compléter, par des exemples et des applications, les résultats exposés ici.

Pour quel enseignement ? Nous avons voulu faire un cours de mathématiques, pas un cours de Mathématiques Spéciales. Pour cette raison, nous n’avons pas suivi à la lettre le programme des classes MP. Nous voulions d’une part que cet ouvrage soit facilement utilisable par les étudiants de premier cycle universitaire ou par les candidats au CAPES et à l’Agrégation ; d’autre part il est un proverbe bien connu dans le système éducatif : les programmes passent, les mathématiques (resp. les sciences physiques, les sciences industrielles, le fran\c{c}ais, la philosophie, etc.) restent. C’est pourquoi, sur des sujets traités de manière un peu originale à ce niveau dans le programme actuel de taupe, comme l’intégration, nous avons traité deux points de vue, aussi bien celui des fonctions intégrables que celui des intégrales impropres, au prix bien entendu de certaines redites. De plus, nous avons volontairement inclus un certain nombre de compléments de cours qui sont donc hors de tout programme, soit pour leur intérêt mathématique propre et leur beauté intrinsèque (réduction de Jordan, topologie générale, convexité dans les espaces vectoriels normés, applications du théorème de Baire), soit parce qu’ils exposent des techniques un peu vieillottes mais qui font toujours la joie des examinateurs de concours (enveloppes, trajectoires orthogonales, podaires, etc.). Nous espérons que les puristes des programmes nous pardonneront.

Remerciements Je voudrais remercier ici tous mes collègues du lycée Louis le Grand pour l’atmosphère d’amitié qui règne dans la salle des professeurs et pour les longues discussions qui m’ont permis d’améliorer peu à peu le contenu de mon cours ; de ce point de vue, ma reconnaissance va tout naturellement à Jacques Chevallet, Claude Deschamps, Daniel Mollier et Alain Pommellet. Merci également à tous mes élèves qui n’ont jamais manqué de souligner avec gentillesse tout passage un peu faible ou un peu obscur dans mon cours. Mais je voudrais remercier tout particulièrement Jacques Chevallet pour l’aide qu’il m’a apportée en gâchant toute une partie de ses vacances à relire et à corriger mon manuscrit ; ses corrections judicieuses ont largement contribué à améliorer la rédaction et les démonstrations sur bien des points. Je ne voudrais pas terminer sans remercier mon épouse et mes enfants pour le soutien moral et l’affection dont ils m’ont entouré tout au long de ces années.

Bibliographie

Marcel Berger, Géométrie, tomes 1 à 5, CEDIC-Nathan, 1977

Jean Dieudonné, Calcul infinitésimal, Hermann, 1968

Jean Dieudonné, Eléments d’analyse, tomes 1 et 2, Gauthier-Villars,1969

Roger Godement, Cours d’algèbre, Hermann, Paris 1966

Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1970

Walter Rudin, Functional Analysis, McGraw-Hill, 1974